二、幾何變換探究一、圖形形狀變化探究選填解答提分練專題七幾何綜合探究三、其他探究一、圖形形狀變化探究例1

(2023深圳)(1)如圖1①，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，連接BE.①若BE＝BC，過C作CF⊥BE交BE于點F，求證：△ABE≌△FCB；圖1證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°.∴∠ABE＋∠CBF＝90°.又CF⊥BC，∴∠CFB＝90°＝∠A.∴∠FCB＋∠CBF＝90°.∴∠ABE＝∠FCB.又BE＝CB，∴△ABE≌△FCB(AAS).20②若S矩形ABCD＝20時，則BE·CF＝__________.

(2)如圖1②，在菱形ABCD中，cosA＝

，過C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，過E作EF⊥AD交AD于點F，若S菱形ABCD＝24時，求EF·BC的值．圖1解：在菱形ABCD中，cosA＝

，∴AD∥BC，AB＝BC.∴∠CBE＝∠A.∵CE⊥AB，即∠CEB＝90°，∴cos∠CBE＝

.∴BE＝BC·cos∠CBE＝BC·cos∠A＝

BC.∴AE＝AB＋BE＝AB＋

BC＝AB＋

AB＝

AB.又∠CBE＝∠A，∴△AFE∽△BEC.∴.∴EF·BC＝AE·CE＝

AB·CE＝

S菱形ABCD＝

×24＝32.∵EF⊥AD，CE⊥AB，∴∠AFE＝∠BEC＝90°.圖1

(3)如圖1③，在平行四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝5，點E在CD上，且CE＝2，點F為BC上一點，連接EF，過E作EG⊥EF交平行四邊形ABCD的邊于點G，若EF·EG＝7，請直接寫出AG的長．圖1解：AG的長為3或4或

.證明：∵∠EDF＝45°，∴∠BDE＋∠BDF＝45°.∵四邊形ABCD為正方形，BD，AC為對角線，∴∠CDF＋∠BDF＝∠BDC＝45°，∠EBD＝∠FCD＝45°.∴∠BDE＝∠CDF.∴△DBE∽△DCF.1.(1)【證明體驗】如圖2①，在正方形ABCD中，E，F分別是邊AB和對角線AC上的點，∠EDF＝45°.①連接BD，求證：△DBE∽△DCF；圖2②

＝__________.(2)【思考探究】如圖2②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F分別是邊AB和對角線AC上的點，tan∠EDF＝

，BE＝5，求CF的長．圖2解：如答圖1，連接BD交AC于點O.在矩形ABCD中，AC＝BD，OD＝OC.∵AB＝6，BC＝8，∴CD＝AB＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝

＝10.∴BD＝10.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.答圖1∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠ODC.∴∠ABD＝∠OCD.∵tan∠EDF＝

，tan∠BDC＝

＝

，∴∠EDF＝∠BDC.∵∠EDF＝∠EDB＋∠BDF，∠BDC＝∠BDF＋∠FDC，∴∠EDB＝∠FDC.∴△DBE∽△DCF.∴.∵BE＝5，∴CF＝3.答圖1

(3)【拓展延伸】如圖2③，在菱形ABCD中，BC＝5，對角線AC＝6，BH⊥AD，交DA的延長線于點H，E，F分別是線段HB和AC上的點，

tan∠EDF＝

，HE＝

，求CF的長．圖2解：在菱形ABCD中，BC＝AB＝DC＝AD＝5.如答圖2，連接BD交AC于點O.∴AC⊥BD，且AC與BD互相平分．∴OC＝

AC＝3，BD＝2OD.在Rt△ODC中，由勾股定理，得OD＝

＝4.答圖2∵BD為菱形ABCD的對角線，∴BD＝8，∠HDB＝∠ODC.∵BH⊥HD，AC⊥BD，∴∠DHB＝∠DOC＝90°.∴△DHB∽△DOC.∴

，即

.∴BH＝

.∵HE＝

，∴BE＝BH－HE＝

.∵tan∠EDF＝

，tan∠ODC＝

，∴∠EDF＝∠ODC.∵∠EDF＝∠EDB＋∠BDF，∠ODC＝∠CDF＋∠BDF，∴∠EDB＝∠FDC.答圖2∵∠HDB＝∠ODC，∠H＝∠DOC＝90，∴∠HBD＝∠OCD.∴△DBE∽△DCF.∴

.∴CF＝

＝2.答圖2例2

(2021深圳)如圖3①，已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，∠AFE＝90°，連接CE，H為CE的中點，連接BH，BF，HF，發現

和∠HBF為定值．(1)①＝__________；②∠HBF＝__________；③小明為了證明①②，連接AC交BD于點O，連接OH，證明了和

的關系，請你按他的思路證明①②.圖345°證明：由正方形的性質，得

＝

，O為AC的中點，∠BAC＝∠DBA＝45°，∠BOC＝90°.又H為CE的中點，∴OH∥AE，OH＝

AE.∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝45°，AE＝

AF.∴＝

＝

.∵OH∥AE，∴∠CAE＝∠COH.∵∠BAF＝∠CAE＋∠BAC＋∠EAF＝∠CAE＋90°，∠BOH＝∠COH＋∠BOC＝∠COH＋90°，∴∠BAF＝∠BOH.∴△BAF∽△BOH.∴＝

＝

，∠FBA＝∠HBO.∴∠HBF＝∠HBO＋∠DBF＝∠FBA＋∠DBF＝∠DBA＝45°．圖3

(2)小明又用三個相似三角形(△ABD，△CDB和△FEA，其中△ABD≌△CDB)按如圖3②所示的方式擺放，若

＝k，∠BDA＝∠EAF＝θ(0°＜θ＜90°).求：①＝__________(用含k的代數式表示)；②＝___________________(用含k，θ的代數式表示)圖3【提示】②如答圖3，連接AC交BD于點O，連接OH，過點H作HM⊥DF于點M.同理可證△DOH∽△DAF.答圖3∴∠HDO＝∠FDA.∴∠HDF＝∠BDA＝θ.在△HDF中，

.設DF＝2t，則DH＝kt.∴HM＝DH·sinθ＝ktsinθ，DM＝DH·cosθ＝ktcosθ.∴MF＝DF－DM＝(2－kcosθ)t.在Rt△HMF中，由勾股定理，得FH＝

.∴

.答圖32.(2023湖州)【特例感知】(1)如圖4①，在正方形ABCD中，點P在邊AB的延長線上，連接PD，過點D作DM⊥PD，交BC的延長線于點M.求證：△DAP≌△DCM.圖4證明：在正方形ABCD中，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∴∠DCM＝180°－∠BCD＝90°.∴∠A＝∠DCM.∵DM⊥PD，∴∠CDM＋∠PDC＝∠PDM＝90°.又∠ADP＋∠PDC＝∠ADC＝90°，∴∠ADP＝∠CDM.在△DAP和△DCM中，∴△DAP≌△DCM(ASA).【變式求異】(2)如圖4②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D在邊AB上，過點D作DQ⊥AB，交AC于點Q，點P在邊AB的延長線上，連接PQ，過點Q作QM⊥PQ，交射線BC于點M.已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求

的值．圖4解：如答圖4，過點Q作QN⊥BC于點N.∵∠ABC＝90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，∴四邊形DBNQ是矩形．∴∠DQN＝90°，QN＝DB.答圖4∵QM⊥PQ，∴∠NQM＋∠PQN＝∠PQM＝90°.又∠DQP＋∠PQN＝∠DQN＝90°，∴∠DQP＝∠NQM.又∠QDP＝∠QNM＝90°，∴△DQP∽△NQM.∴.∵BC＝8，AC＝10，∠ABC＝90°，∴AB＝

＝6.∵AD＝2DB，∴DB＝2.∵∠ADQ＝∠ABC＝90°，∴DQ∥BC.答圖4∴△ADQ∽△ABC.∴.∴DQ＝.∴.【拓展應用】(3)如圖4③，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點P在邊AB的延長線上，點Q在邊AC上(不與點A，C重合)，連接PQ，以Q為頂點作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的邊QM交射線BC于點M.若AC＝mAB，CQ＝nAC(m，n是常數)，求

的值(用含m，n的代數式表示)．圖4解：∵AC＝mAB，CQ＝nAC，∴CQ＝mnAB.∴AQ＝AC－CQ＝(m－mn)AB.∵∠BAC＝90°，∴BC＝

AB.如答圖5，過點Q作QN⊥BC于點N.答圖5∵∠BAC＋∠ABN＋∠BNQ＋∠AQN＝360°，∠BAC＝90°，∴∠ABN＋∠AQN＝180°.∵∠ABN＋∠PBN＝180°，∴∠AQN＝∠PBN.∵∠PQM＝∠PBC，∴∠PQM＝∠AQN.∴∠AQP＝∠NQM.又∠A＝∠QNM＝90°，∴△QAP∽△QNM.∴.又∠A＝∠QNC＝90°，∠QCN＝∠BCA，∴△QCN∽△BCA.答圖5二、幾何變換探究類型

折疊探究例1

(2022深圳)(1)發現：如圖1①，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△FEB處，延長EF交CD邊于點G.求證：△BFG≌△BCG.圖1證明：∵△AEB沿BE翻折到△FEB處，四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝BF，∠A＝∠C＝∠BFE＝90°.∴∠BFG＝90°.在Rt△BFG和Rt△BCG中，∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL).

(2)探究：如圖1②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD＝8，AB＝6.將△AEB沿BE翻折到△FEB處，延長EF交BC于點G，延長BF交CD于點H，且FH＝CH，求AE的長．圖1解：如答圖1，延長BH，AD交于點Q.由題意，得AB＝BF，AE＝EF，∠A＝∠BFE＝90°.∴∠BFG＝90°.設FH＝CH＝x，則BH＝BF＋FH＝AB＋FH＝6＋x.在Rt△BCH中，BC2＋CH2＝BH2，即82＋x2＝(6＋x)2.解得x＝

.∴DH＝DC－CH＝

，BH＝.答圖1∵∠BFG＝∠BCH＝90°，∠FBG＝∠CBH，∴△BFG∽△BCH．∴

，即.∴BG＝

，FG＝.∵AD∥BC，即DQ∥CB，∴△DHQ∽△CHB.∴

，即.∴DQ＝.設AE＝EF＝y，則DE＝8－y.答圖1∴EQ＝DE＋DQ＝8－y＋

＝

－y.∵AD∥BC，即EQ∥GB，∴△EFQ∽△GFB.∴

，即

.解得y＝

.∴AE的長為

.答圖1

(3)拓展：如圖1③，在菱形ABCD中，AB＝6，∠D＝60°.若E為CD邊上的三等分點，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交直線BC于點P，求PC的長．圖1解：分兩種情況：i．當DE＝

DC＝2時，CE＝4.如答圖2，連接AC，CF，過點P作PK⊥CD于點K．∵四邊形ABCD是菱形，∠D＝60°，∴△ABC，△ADC是等邊三角形．∴∠PCK＝∠ACB＝∠ACD＝60°，∠ACP＝120°，AD＝AC.答圖2∵將△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠AFE＝∠D＝60°＝∠ACB，AF＝AD＝AC，EF＝DE＝2.∴∠AFC＝∠ACF，∠AFP＝120°＝∠ACP.∴∠AFP－∠AFC＝∠ACP－∠ACF，即∠PFC＝∠PCF.∴PF＝PC.設PF＝PC＝2m.在Rt△PCK中，CK＝m，PK＝

m.∴EK＝CE－CK＝4－m.在Rt△PEK中，EK2＋PK2＝PE2，即(4－m)2＋(m)2＝(2＋2m)2.答圖2解得m＝

.∴PC＝2m＝

.ii.當CE＝

DC＝2時，DE＝4.如答圖3，連接AC，CF，過點P作PT⊥CD，交DC的延長線于點T.同理可得AC＝AD＝AF，DE＝EF＝4，∠ACB＝∠D＝∠AFE＝60°．∴∠ACF＝∠AFC.∴∠ACF－∠ACB＝∠AFC－∠AFE，即∠PCF＝∠PFC.∴PC＝PF.設PC＝PF＝2n.答圖3在Rt△PCT中，CT＝n，PT＝

n.∴ET＝CE＋CT＝2＋n，EP＝EF－PF＝4－2n.在Rt△PET中，PT2＋ET2＝EP2，即(n)2＋(2＋n)2＝(4－2n)2.解得n＝

.∴PC＝2n＝

.綜上，PC的長為

或

.答圖31.綜合與實踐：【問題背景】數學活動課上，老師將矩形ABCD按圖2①中的方式折疊，使點A與點C重合，點B的對應點為B′，折痕為EF.若△CEF為等邊三角形，試猜想AB與AD的數量關系，并加以證明．【獨立思考】(1)請解答老師提出的問題．圖2∵△CEF為等邊三角形，∴∠ECF＝60°.∴∠DCE＝∠BCD－∠ECF＝30°.設DE＝x.在Rt△DEC中，CE＝

＝2x，CD＝

＝

x.由折疊的性質可知，AE＝CE＝2x.∴AD＝AE＋DE＝2x＋x＝3x.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝

x.∴

.解：.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°.圖2【實踐探究】(2)小明受到此問題啟發，將三角形紙片ABC按圖2②所示的方式折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，若∠A＝45°，AC＝2.①試判斷重疊部分△CEF的形狀，并說明理由；圖2解：△CEF為等腰直角三角形．理由如下：由折疊的性質可知，∠EFC＝∠EFA＝90°，∠ECF＝∠A＝45°．∴∠FEC＝45°＝∠ECF.∴EF＝CF.∴△CEF為等腰直角三角形．②若D為EF的中點，連接CD，求CD的長．圖2解：由折疊的性質可知，CF＝AF.∵AC＝2，∴CF＝AF＝1.由①可知，△CEF為等腰直角三角形．∴EF＝CF＝1.∵D是EF的中點，∴DF＝

EF＝.在Rt△DFC中，由勾股定理，得CD＝.【問題解決】(3)小亮深入研究小明提出的這個問題后，發現并提出了新的探究點：如圖2③，在△ABC中，將△ABC折疊，使點A與點C重合，點D為折痕所在直線上一點，若AB＝AC＝

，BC＝2，∠ACD＝45°，請直接寫出線段BD的長．圖2解：BD的長為

或

.【提示】i.當點D在AC左側時，如答圖4，過點A作AE⊥BC于點E，過點D分別作DM⊥AE于點M，DN⊥BC于點N，連接AD，CD，BD.答圖4由折疊的性質，得∠CAD＝∠ACD＝45°，AD＝CD.∴∠ADC＝90°.∵AB＝AC，AE⊥BC，∴點E為BC的中點．∵BC＝2，∴BE＝CE＝1.在Rt△ABE中，AB＝

，由勾股定理，得AE＝

＝2.∵AE⊥BC，DM⊥AE，DN⊥BC，∴四邊形DMEN為矩形．∴∠MDN＝∠ADC＝90°.∴∠MDN－∠MDC＝∠ADC－∠MDC，即∠ADM＝∠CDN.答圖4在△ADM和△CDN中，∴△ADM≌△CDN(AAS).∴DM＝DN.∴四邊形DMEN為正方形．∴DN＝DM＝NE＝ME.設DN＝x，則DM＝NE＝ME＝x，AM＝NC＝NE＋CE＝x＋1．∴AE＝AM＋ME＝x＋1＋x＝2x＋1.∵AE＝2，∴2x＋1＝2.解得x＝

.∴DN＝NE＝.∴BN＝BE－NE＝.答圖4在Rt△DBN中，BD＝

＝

＝

.ii.當點D在AC右側時，如答圖5，過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DM⊥AE于點M，過點D作DN⊥BC，交BC的延長線于點N，連接AD，CD，BD.同理可得BE＝CE＝1，AE＝2，△ADM≌△CDN，四邊形DMEN為正方形．設DN＝x，則DM＝NE＝ME＝x，AM＝CN＝NE－CE＝x－1.∴AE＝x－1＋x＝2x－1.答圖5∵AE＝2，∴2x－1＝2.解得x＝

.∴BN＝BE＋EN＝1＋

＝

.在Rt△BND中，BD＝

＝

＝

.綜上，BD的長為

或

.答圖5類型

旋轉探究例2背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖3①所示的位置擺放(點E，A，D在同一條直線上)，發現BE＝DG且BE⊥DG.小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：圖3(1)將正方形AEFG繞點A旋轉至如圖3②所示的位置，還能得到BE＝DG嗎？若能，請給出證明；若不能，請說明理由．解：能．理由如下：∵四邊形AEFG為正方形，∴AE＝AG，∠EAG＝90°.又四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.∴∠EAG－∠BAG＝∠BAD－∠BAG，即∠EAB＝∠GAD.∴△AEB≌△AGD(SAS).∴BE＝DG.圖3(2)把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A旋轉至如圖3③所示的位置，試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE＝DG仍成立？請說明理由．圖3解：當∠EAG＝∠BAD時，BE＝DG仍成立．理由如下：∵∠EAG＝∠BAD，∴∠EAG＋∠BAG＝∠BAD＋∠BAG，即∠EAB＝∠GAD.又四邊形AEFG和四邊形ABCD均為菱形，∴AE＝AG，AB＝AD.∴△AEB≌△AGD(SAS).∴BE＝DG.(3)把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD，且

＝

，AE＝4，AB＝8，將矩形AEFG繞點A旋轉至如圖3④所示的位置，連接DE，BG.小組發現：在旋轉過程中，DE2＋BG2的值是定值，請求出這個定值．圖3解：方法一：如答圖6，過點E作EM⊥DA，交DA的延長線于點M，過點G作GN⊥AB于點N，則∠AME＝∠ANG＝90°.∵

，AE＝4，AB＝8，∴AG＝6，AD＝12.答圖6∵四邊形AEFG和四邊形ABCD為矩形，∴∠EAG＝∠BAD＝∠BAM＝90°.∴∠EAG－∠MAG＝∠BAM－∠MAG，即∠MAE＝∠NAG.∴△AME∽△ANG.∴.設EM＝2a，AM＝2b，則GN＝3a，AN＝3b，BN＝8－3b，DM＝12＋2b.在Rt△EMD中，DE2＝EM2＋DM2＝(2a)2＋(12＋2b)2＝4a2＋144＋48b＋4b2.在Rt△BNG中，BG2＝GN2＋BN2＝(3a)2＋(8－3b)2＝9a2＋64－48b＋9b2.∴DE2＋BG2＝13(a2＋b2)＋208.答圖6在Rt△AEM中，EM2＋AM2＝AE2，即(2a)2＋(2b)2＝42.∴a2＋b2＝4.∴DE2＋BG2＝13×4＋208＝260.方法二：如答圖7，設BE與DG交于點Q，BE與AG交于點P，連接EG，BD.∵

，AE＝4，AB＝8，∴AG＝6，AD＝12.∵四邊形AEFG和四邊形ABCD為矩形，∴∠EAG＝∠BAD.∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，即∠EAB＝∠GAD.∵

，∴△EAB∽△GAD.∴∠BEA＝∠DGA.答圖7又∠GPQ＝∠EPA，∴∠GQP＝∠PAE＝90°.∴GD⊥EB.在Rt△EQD中，DE2＝EQ2＋QD2.在Rt△BQG中，BG2＝GQ2＋QB2.∴DE2＋BG2＝EQ2＋QD2＋GQ2＋QB2＝EG2＋BD2.在Rt△AEG中，EG2＝AE2＋AG2.在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2.∴EG2＋BD2＝AE2＋AG2＋AB2＋AD2＝42＋62＋82＋122＝260.∴DE2＋BG2＝260.答圖72.已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.(1)如圖4①，若AC＝BC＝2，取AC的中點D，連接BD，則sin∠ABD的值是__________.圖4(2)在(1)的條件下，在BC的延長線上截取CE，使CE＝CD，連接DE，將△DCE繞點C順時針旋轉，設旋轉角度為α(0°≤α＜90°)，當點A，D，E在同一直線上時(如圖4②)，求AE的長．解：如答圖8，過點C作CF⊥AE于點F.由題意，得∠DCE＝90°，CD＝CE＝1.∴DE＝

.∴F是DE的中點．∴DF＝FE＝

＝CF.在Rt△ACF中，AF＝

．∴AE＝AF＋FE＝

.答圖8(3)如圖4③，在△ACD中，∠ADC＝45°，CD＝

，AD＝3，將AC繞著點C逆時針旋轉得到BC，設旋轉角度為α，連接AB，BD.①當α＝90°時，求AB，BD的長；圖4解：如答圖9，在CD的左側以C為直角頂點作等腰直角三角形CDE，連接AE，DE.∴∠DCE＝90°，CE＝CD，∠CDE＝45°.∴DE＝

DC＝2.答圖9∵∠ADC＝45°，∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝45°＋45°＝90°．∴AE＝

.由題意，得∠ACB＝90°，AC＝BC.∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS).∴BD＝AE＝

.答圖9解：mn＝3.【提示】如答圖10，過點C作CH⊥AD于點H.∵∠ADC＝45°，CD＝

，CH⊥AD，∴CH＝DH＝1.∴AH＝AD－DH＝2.∴AC＝

.②當0°≤α＜360°，設BD的長的最大值為m，最小值為n，直接寫出mn的值．圖4答圖10∵將AC繞點C逆時針旋轉至BC，∴點B在以點C為圓心，AC長為半徑的圓上．當點B在DC的延長線上時，BD有最大值，最大值為m＝

＋

.當點B在CD的延長線上時，BD有最小值，最小值為n＝

－.∴mn＝(＋)(－)＝3.答圖10類型

平移探究3.綜合與實踐【問題背景】如圖5①，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，點E為邊BC上一點，沿直線DE將矩形折疊，使點C落在AB邊上的點C′處．【問題解決】(1)填空：AC′的長為__________；圖53(2)如圖5②，展開后，將△DC′E沿直線AB向右平移，使點C′的對應點與點B重合，得到△D′BE′，D′E′與BC交于點F，求線段EF的長；圖5解：由(1)，得AC′＝3.∴BC′＝AB－AC′＝2.由折疊的性質，得C′E＝CE.設BE＝x，則C′E＝CE＝4－x.在Rt△BEC′中，BE2＋BC′2＝C′E2，即x2＋22＝(4－x)2.解得x＝

.∴BE＝

，CE＝4－

＝.如答圖11，連接EE′.由平移的性質，得E′E＝BC′＝2，E′E∥AB∥CD，D′E′∥DE.∴△FEE′∽△FCD′∽△ECD.∴

，即

.∴EF＝

EE′＝1.答圖11【拓展探究】(3)如圖5③，在△DC′E沿直線AB向右平移的過程中，設點D，C′，E的對應點分別為D′，C″，E′，則當△D′C″E′在線段BC上截得的線段PQ的長度為1時，請直接寫出△DC′E平移的距離．圖5解：△DC′E平移的距離為

或

.【提示】①如答圖12，當點C″在線段AB上時，連接EE′.由平移的性質，得E′E＝C″C′，EE′∥AB，C″E′∥C′E.∴△E′EQ∽△C″BQ∽△C′BE.答圖12∴

，即

.由題意，得∠CPD′＝∠EPE′＝∠CED＝∠QE′D′.∴E′Q＝PQ＝1.∴E′E＝

E′Q＝

.②如答圖13，當點C″在AB的延長線上時，連接EE′.由平移的性質，得E′E＝D′D，DE∥D′E′，DC′∥D′C″.易得△CD′P∽△CDE，△CD′Q∽△AC′D.答圖13∴CD′＝2CP，CD′＝

CQ.∴CQ＝2CP，即

(CP＋PQ)＝2CP.又PQ＝1，∴(CP＋1)＝2CP.解得CP＝

.∴CD′＝2CP＝

.∴DD′＝CD－CD′＝5－

＝

.綜上所述，△DC′E平移的距離為

或

.答圖13三、其他探究【獨立思考】(1)如圖1①，當點P在對角線BD上，點E在邊CD上時，BP與CE之間的數量關系是______________．類型

動點探究1.綜合與實踐【問題情境】在綜合與實踐課上，數學老師給出了一道思考題：如圖1，在正方形ABCD中，P是射線BD上一動點，以AP為直角邊在AP的右側作等腰直角三角形APE，使得∠APE＝90°，AP＝PE，且點E恰好在射線CD上．圖1【探索發現】(2)當點E在正方形ABCD外部時，(1)中的結論是否還成立？若成立，請在圖1②與圖1③中選擇一種情況進行證明；若不成立，請說明理由．圖1解：(1)中的結論成立．選擇題圖1②證明如下：如答圖1，連接AC.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABP＝∠ACE＝∠BAC＝45°.答圖1∴cos∠BAC＝

.∵△APE是等腰直角三角形，∴∠PAE＝∠AEP＝45°.∴∠BAC＋∠CAP＝∠PAE＋∠CAP.∴∠BAP＝∠CAE.又∠ABP＝∠ACE，∴△ABP∽△ACE.∴.∴CE＝

BP.(若選擇題圖1③，證明同理)答圖1【問題拓展】(3)如圖1④，在正方形ABCD中，AB＝2，當點P在對角線BD的延長線上時，連接BE，若BE＝6，求△BPE的面積．圖1答圖2解：如答圖2，連接AC交BD于點F，過點E作EG⊥BD，交BD的延長線于點G.∵四邊形ABCD是正方形，∴AF＝BF，AC⊥BD，∠BAC＝45°.∴BF＝AF＝AB·sin45°＝2，∠AFP＝90°.∴∠FAP＋∠APF＝90°.∵∠APE＝90°，∴∠APF＋∠GPE＝90°.∴∠FAP＝∠GPE.∵EG⊥BG，∴∠PGE＝90°.∴∠AFP＝∠PGE.在△FAP和△GPE中，∴△FAP≌△GPE(AAS).∴PF＝EG，AF＝PG＝2.設PF＝EG＝x，則BG＝BF＋PF＋PG＝x＋4.在Rt△EGB中，由勾股定理，得BE2＝BG2＋EG2.∴(6)2＝(x＋4)2＋x2.答圖2解得x1＝4－2，x2＝－4－2(舍去).∴PF＝EG＝4－2.∴BP＝PF＋BF＝4.∴S△BPE＝

BP·EG＝

×4×(4－2)＝16－4.答圖2類型

新定義探究

2.【閱讀理解】三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，若這兩條線段長度的乘積等于這個點與該邊所對頂點距離的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”．如圖2①，在△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD，若CD2＝AD·BD，則稱點D是△ABC中AB邊上的“好點”．圖2【探究應用】(1)如圖2②，在4×4的網格中，△ABC的頂點都在格點上，請僅用無刻度的直尺畫出△ABC中AB邊上的“好點”．(保留作圖痕跡，不寫作法)圖2解：如答圖3，點D1，D2即為所求．答圖3(2)如圖2③，在△ABC中，AB＝14，cosA＝

，tanB＝

，若點D是AB邊上的“好點”，求線段AD的長．圖2解：如答圖4，過點C作CH⊥AB于點H.∵AB＝14，cosA＝

，tanB＝

，∴＝1，

＝

.設CH＝3k，則AH＝3k，BH＝4k.∵AB＝14，∴AH＋BH＝3k＋4k＝14.解得k＝2.∴AH＝CH＝6，BH＝8.設BD＝x，則AD＝14－x，DH＝|8－x|.答圖4在Rt△CDH中，CD2＝CH2＋DH2＝62＋(8－x)2＝x2－16x＋100．∵點D是BC邊上的“好點”，∴CD2＝BD·AD＝x(14－x)＝－x2＋14x.∴x2－15x＋50＝0.解得x＝5或10.∴線段AD的長為9或4.答圖4

(3)如圖2④，△ABC是⊙O的內接三角形，點H在AB邊上，連接CH并延長，交⊙O于點D，點H恰好是△ACD中CD邊上的“好點”．①求證：AH＝BH；圖2證明：如答