二、數學文化類一、新定義類選填解答提分練專題八閱讀理解三、解題方法、思路類一、新定義類

B

18A類型

概念類例2

(2023成都)定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數m，n的平方差，且m－n＞1，那么稱這個正整數為“智慧優數”．例如，

16＝52－32，16就是一個智慧優數，可以利用m2－n2＝(m＋n)(m－n)進行研究．若將智慧優數從小到大排列，則第3個智慧優數是__________；第23個智慧優數是__________.15574.(2023岳陽)若一個點的坐標滿足(k，2k)，我們將這樣的點定義為“倍值點”．若關于x的二次函數y＝(t＋1)x2＋(t＋2)x＋s(s，t為常數，t≠－1)總有兩個不同的倍值點，則s的取值范圍是(

)A．s＜－1B．s＜0C．0＜s＜1D．－1＜s＜0D5．(2023大慶)如圖1，在△ABC中，將AB繞點A順時針旋轉α至AB′，將AC繞點A逆時針旋轉β至AC′(0°＜α＜180°，0°＜β＜180°)，得到△AB′C′，使∠BAC＋∠B′AC′＝180°，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補三角形”，△AB′C′的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．下列結論正確的有________．①△ABC與△AB′C′面積相同；②BC＝2AD；③若AB＝AC，連接BB′和CC′，則∠B′BC＋∠CC′B′＝180°；④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，則B′C′＝10.圖1①②③6．(2023樂山)定義：若x，y滿足x2＝4y＋t，y2＝4x＋t且x≠y(t為常數)，則稱點M(x，y)為“和諧點”．(1)若P(3，m)是“和諧點”，則m＝__________；(2)若雙曲線y＝

(－3＜x＜－1)存在“和諧點”，則k的取值范圍為__________.－73＜k<47．(2023寧波)定義：有兩個相鄰的內角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．(1)如圖2①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，對角線BD平分∠ADC.求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．圖2證明：∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝180°－∠A＝90°，∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB.∴∠CBD＝∠CDB.∴CD＝CB.∴四邊形ABCD為鄰等四邊形．(2)如圖2②，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D.圖2解：如答圖1，2，3，點D1，D2，D3即為所求．答圖1答圖2答圖3

(3)如圖2③，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過點B作BE∥AC交DA的延長線于點E.若AC＝8，DE＝10，求四邊形EBCD的周長．圖2解：∵四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠BCD為鄰等角，∴CD＝CB.∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC.又BE∥AC，∴四邊形AEBC是平行四邊形．∴BE＝AC＝8，AE＝CB＝CD.設AE＝CB＝CD＝x.∵DE＝10，∴AD＝DE－AE＝10－x.如答圖4，過點D作DF⊥BC于點F，易證四邊形ABFD是矩形．答圖

4∴CD＝CB＝10－3.∴四邊形EBCD的周長為BE＋DE＋CD＋CB＝8＋10＋2×(10－3)＝38－6.∴AB＝DF，BF＝AD＝10－x.∴CF＝BC－BF＝x－(10－x)＝2x－10.在Rt△ABE和Rt△DFC中，根據勾股定理，得BE2－AE2＝AB2，CD2－CF2＝DF2.∴BE2－AE2＝CD2－CF2，即82－x2＝x2－(2x－10)2.整理，得x2－20x＋82＝0.解得x1＝10－3，x2＝10＋3(不符合題意，舍去).答圖

4二、數學文化類例1

(2023宜賓)《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖1，AB是以點O為圓心，OA長為半徑的圓弧，N是AB的中點，MN⊥AB.“會圓術”給出AB的弧長l的近似值計算公式：l＝AB＋

.當OA＝4，∠AOB＝60°時，l的值為(

)A．11－2B．11－4C．8－2D．8－4⌒⌒圖1B1.我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齊足．”其大意是：“牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若設有牧童x人，根據題意，可列方程為____________________.

6x＋14＝8x2．(2023福建)我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416.如圖2，⊙O的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計⊙O的面積，可得π的估計值為

，若用圓內接正十二邊形作近似估計，可得π的估計值為(

)圖2C3．(2023泰州)小明對《數書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖3，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前走6里到達樹下，則該城堡的外圍直徑為_________里．圖39三、解題方法、思路類例1閱讀下列材料：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，求證：證明：如圖1①，過點C作CD⊥AB于點D，則：在Rt△BCD中，CD＝asinB．在Rt△ACD中，CD＝bsinA．∴asinB＝bsinA．∴根據上面的材料解決下列問題：圖1

(1)如圖1②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，求證：.圖1證明：如答圖1，過點A作AM⊥BC于點M.在Rt△ABM中，AM＝csinB.在Rt△ACM中，AM＝bsinC.∴csinB＝bsinC．∴

.答圖

1

(2)為了辦好首屆旅游發展大會，某市積極優化旅游環境．如圖1③，規劃中的一片三角形區域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求這片區域的面積．(結果保留根號．參考數據：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)圖1解：如答圖2，過點A作AE⊥BC于點E.∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.易得

，即

.∴BC≈90.在Rt△ACE中，AE＝AC·sin60°＝80×＝40.∴S△ABC＝

BC·AE≈×90×40＝1800(平方米)．答：這片區域的面積約為1800平方米．答圖

21.折紙常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC(如圖2①)，怎樣證明∠C＞∠B呢？將AC沿∠BAC的平分線AD翻折，因為AB＞AC，所以點C落在邊AB上的點C′處(如圖2②)，于是由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B可得∠C＞∠B.利用上述方法(或者思路)解決下列問題：(1)如圖2②，在上述閱讀材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，則∠C′DB的度數為________°.圖215

(2)如圖2③，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D.若CD＝m，AB＝n，求△ABD的面積．(用含m，n的代數式表示)圖2解：如答圖3，把AC沿∠BAC的平分線AD翻折，則點C落在邊AB上的點C′處，∠AC′D＝∠C＝90°.∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，C′D⊥AB，∴C′D＝CD＝m.∴S△ABD＝

AB·C′D＝

.答圖

3

(3)如圖2④，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CD＝AB＋BD.若∠C