2024年高考數學第一次模擬考試數學·參考答案一、單項選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678910ADBDBBACCC二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．0 12． 13.14.（答案不唯一）15.②③④三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。16.（13分）【詳解】（1）由題意知函數的圖象與直線的相鄰兩個交點間的距離為，故函數最小正周期，即，故；..................................2分選①：函數為偶函數，即為偶函數，..................................3分故，..................................5分又，故，則；..................................6分選②：，則，即..................................3分則或，即或，..................................5分結合，故，則；..................................6分選③：，，則時，函數取最大值，..................................3分故，..................................5分結合，故，則；..................................6分（2）將的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，即，..................................7分當時，，結合在上單調遞增，在上單調遞減，，..................................10分可知當，即時，取最大值2；..................................12分當，即時，取最小值1...................................13分（14分）【詳解】（1）棱柱的所有棱長都為2，所以底面為菱形，故,..................................1分平面平面,且,平面,..................................3分平面,..................................4分且平面,..................................5分（2）連接,為的中點,為的中點,,且平面，平面，..................................6分平面..................................7分（3）平面所以側棱與底面的所成角為，即,..................................8分作,由（1）知，,且,平面,平面,且平面,,..................................10分故即二面角的平面角，由（1）知，平面,且平面,,,且,,,,..................................12分.故二面角的余弦值為.................................14分18．（本題13分）【詳解】（1）樣本中立定跳遠單項等級獲得優秀的男生人數為，獲得優秀的女生人數為，所以估計該校高三男生立定跳遠單項的優秀率為；估計高三女生立定跳遠單項的優秀率為．..................................2分（2）由題設，的所有可能取值為．估計為；..................................3分估計為；..................................4分估計為；..................................5分估計為．..................................6分估計的數學期望．..................................7分（3）估計為；..................................9分估計為；..................................11分估計為，..................................12分，所以與相互獨立．..................................13分19.（本題15分）【詳解】（1）由橢圓的定義知，，故，..................................1分所以橢圓的方程為，故，..................................2分所以橢圓的離心率為...................................3分（2）若直線的斜率存在，設直線的方程為：，則聯立可得：，則，解得：，..................................5分設，，則，，..................................6分由可得：，即，..................................7分設，由可得：，..................................8分即，即，..................................9分則，..................................11分因為點在直線上，所以，所以點在定直線上，..................................12分若直線的斜率不存在，過的直線與橢圓交于、兩點，，，所以，..................................13分則，..................................14分所以，解得：，滿足點在定直線上...................................15分（本題15分）【詳解】（1），..................................2分由題意可知是在處的切線方程，所以且，故..................................4分（2）由（1）知，所以，..................................5分所以，..................................6分令，當單調遞增，當單調遞減，..................................7分因此在單調遞增，故，所以函數在上單調遞增..................................8分（3）由（2）知:當單調遞增，當單調遞減，所以當時，取最小值，且，故存在，使得..................................10分因此當和當因此在上單調遞增，在上單調遞增，在時單調遞減，..................................12分由于，，因此存在使得，..................................13分故當時，，此時單調遞減，當時，，單調遞增，故在時取極小值，..................................14分故有1個極值點...................................15分21．（本題15分）【詳解】（1）解:由題知,..................................1分即..................................2分因為,所以不具有性質,..................................3分由于,即.................................4分因為故具有性質,..................................6分因為故;..................................7分（2）“”等價于“證明兩個元素至少有一個在中”,假設兩個元素均不在中,則有..................................8分不妨設,若,則由,可得,..................................9分與矛盾,故,同理,從而,所以,與具有性質矛盾,所以假設不成立,即;..................................11分（3）設規定時,,時,,則,所以,............................