第=page11頁，共=sectionpages11頁廣東省深圳高級中學高中園2025年高考數(shù)學二模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|2x?3<0}，B={x|log2x<12A.{x|x<32} B.{x|x<2}2.已知復數(shù)z=a+i(a∈R)，若z+z?=4，則復數(shù)z的共軛復數(shù)zA.2+i B.2?i C.3.已知向量a=(2,1),b=(x,2)，若(a?2A.1±222 B.4 C.14.已知高為4的圓臺存在內(nèi)切球，其下底半徑為上底半徑的4倍，則該圓臺的表面積為(

)A.57π B.50π C.25π D.42π5.奇函數(shù)f(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的單調(diào)減區(qū)間可以是(

)A.[?π4,π4] B.[?6.若a=log318，b=ln(2e2)，c=eln10A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a7.隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點率有了顯著的提高.據(jù)統(tǒng)計，途經(jīng)某車站的只有和諧號和復興號列車，且和諧號列車的列次為復興號列車的列次的2倍，和諧號的正點率為0.98，復興號的正點率為0.99，今有一列車未正點到達該站，則該列車為和諧號的概率為(

)A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.88.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，過F作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于A、A.2 B.3 C.2 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列四個命題是真命題的是(

)A.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

B.若m⊥α，n//α，則m⊥n

C.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n

D.若m//α，m//β，α∩β=n，則m//n10.隨機變量X，Y分別服從正態(tài)分布和二項分布，且X～N(3,1)，Y～B(6,12)，則A.E(X)=E(Y) B.D(X)=D(Y)

C.P(X≤1)=P(X≥5) D.P(Y≤3)>P(X≥4)11.設函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x?1)為奇函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，當x∈(?1,1]時，f(x)=?x2+1，則下列結(jié)論正確的是A.f(72)=?34 B.f(x+7)為奇函數(shù)

C.f(x)在(6,8)上為減函數(shù) D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知2cos(π4+θ)=cos(π13.已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2?14.設函數(shù)f(x)=2x3+ax2+bx，若f(x)的圖象過點P(1,3)，且曲線y=f(x)在(0,0)處的切線也過點P四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，BD=5，∠CBD=60°．

(1)若sin∠BCD=14，求CD的長；

(2)若AD=2，求16.(本小題15分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的底面是邊長為2的等邊三角形，D為AC的中點，AA1=3，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC．

(Ⅰ)證明：17.(本小題15分)

已知點E(?22,0)，F(xiàn)(22,0)，A(2,?1)，直線EM，F(xiàn)M相交于點M，且它們的斜率之積是?14．

(1)求動點M的軌跡方程Ω；

(2)直線l與曲線Q交于P，Q兩點，直線AP，AQ18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=2ex+aex?(a?2)x?4(a∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若19.(本小題17分)

北湖生態(tài)公園有兩條散步路線，分別記為路線A和路線B.公園附近的居民經(jīng)常來此散步，經(jīng)過一段時間的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，前一天選擇路線A的居民第二天選擇路線A和路線B的概率均為12；前一天選擇路線B的居民第二天選擇路線A和路線B的概率分別為34和14.已知居民第一天選擇路線A的概率為13，選擇路線B的概率為23．

(1)若有4位居民連續(xù)兩天去公園散步，記第二天選擇路線A散步的人數(shù)為Y，求Y的分布列及期望；

(2)若某居民每天都去公園散步，記第n天選擇路線A的概率為Pn；

(i)請寫出Pn+1與Pn(n∈N答案解析1.【答案】C

【解析】解：A={x|2x?3<0}=(?∞,1.5)，

B={x|log2x<12}=(0,2)，

故A∩B=(0,1.5)，

故選：C2.【答案】B

【解析】解：∵z=a+i，

∴z+z?=2a=4，得a=2．

∴復數(shù)z的共軛復數(shù)z?=2?i．

故選：B．

由已知可得z+z?=2a=4，得3.【答案】B

【解析】解：向量a=(2,1),b=(x,2)，

則a?2b=(2?2x,?3)，

又(a?2b)//b，

所以2(2?2x)=?3x4.【答案】D

【解析】解：依題意，圓臺的軸截面截其內(nèi)切球得球的大圓，且該大圓是圓臺軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓，

等腰梯形ABCD為圓臺軸截面，其內(nèi)切圓O與梯形ABCD切于點O1，E，O2，F(xiàn)，

其中O1，O2分別為上、下底面圓心，如圖，

高為4的圓臺存在內(nèi)切球，其下底半徑為上底半徑的4倍，

設圓臺上底半徑為r，則下底半徑為4r，BC=BE+CE=O2B+O1C=5r，

而等腰梯形ABCD的高O1O2=4，因此(5r)25.【答案】A

【解析】解：f(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)為奇函數(shù)，

即f(?x)=2cos(?2x+φ)=?2cos(2x+φ)=f(x)，

?cos(2x?φ)=?cos(2x+φ)?cos(2x?φ)+cos(2x+φ)=2cos2xcosφ=0對所有x均成立，

所以cosφ=0，又0<φ<π，故φ=π2．

f(x)=2cos(2x+π2)=?2sin(2x)．

令2kπ?π2≤2x≤π2+2kπ(k∈Z)，

解得：6.【答案】B

【解析】解：a=log318=2+log32<3，

b=ln(2e2)=2+ln2<3，

c=eln102=eln10=10>3，

又y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，e<3，7.【答案】D

【解析】解：令事件A：經(jīng)過的列車為和諧號；事件B，經(jīng)過的列車為復興號；事件C，列車未正點到達，

則P(A)=23,P(B)=13,P(C|A)=0.02,P(C|B)=0.01，

于是P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=23×0.02+13×0.01=0.058.【答案】B

【解析】解：雙曲線的右焦點為F(c,0)，漸近線方程為bx±ay=0，

OB?BF=0，則有OB⊥BF，F(xiàn)到漸近線的距離BF=bca2+b2=bcc=b，

|OF|=c，|BF|=b，∴|OB|=a，|AB|=2|BF|=2b，

則tan∠AOB=2ba，tan∠FOB=ba，tan2∠FOB=2?ba1?(ba)2，

由∠AOB=π?2∠FOB，有tan9.【答案】BCD

【解析】解：m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，

對于A，若α⊥γ，β⊥γ，則α/?/β或α與β相交，故A錯誤；

對于B，由n/?/α，m⊥α，可知m⊥n，故B正確；

對于C，m⊥α，n⊥β，不妨設m，n的方向向量m,n分別為α，β的法向量，

因為α⊥β，所以m⊥n，故m⊥n，故C正確；

對于D，由m/?/α，m?γ，α∩γ=l，則l/?/m，又l?β，m//β，

所以l/?/β，又l?α，α∩β=n，所以m//l，所以m/?/n，故D正確．

故選：BCD．

10.【答案】ACD

【解析】解：隨機變量X，Y分別服從正態(tài)分布和二項分布，且X～N(3,1)，Y～B(6,12)，

正態(tài)分布X～N(3,1)，其期望E(X)=3，D(X)=1，

由二項分布Y～B(6,12)，可得E(Y)=6×12=3，D(Y)=6×12×12=32，

所以E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，故A正確；B錯誤；

由于正態(tài)分布具有對稱性，由X～N(3,1)，可得P(X≤1)=P(X≥5)，故C正確；

對于Y～B(6,12)，

可得P(Y≤3)=C60(111.【答案】ABD

【解析】【分析】解：∵f(x?1)為奇函數(shù)，∴f(?x?1)=?f(x?1)，即f(?x)=?f(x?2)，則函數(shù)關于(?1,0)對稱，

∵f(x+1)為偶函數(shù)，∴f(?x+1)=f(x+1)，即為f(?x)=f(x+2)，則函數(shù)關于x=1對稱，

則f(x+2)=?f(x?2)，

當x=0時，由f(?x?1)=?f(x?1)，得f(?1)=?f(?1)，得f(?1)=0，

得f(x+4)=?f(x)，即f(x+8)=f(x)，同時f(x)=?f(x?4)，

即f(x)是周期為8的周期函數(shù)，

則f(72)=f(72?8)=f(?92)=?f(?92+4)=?f(?12)=?[1?(?12)2]=?34，故A正確，

f(x+7)=f(x+7?8)=f(x?1)=?f(?x?1)=?f(?x?1+8)=?f(?x+7)，則f(x+7)是奇函數(shù)，故B正確，

∵函數(shù)的周期是8，∴f(x)在(6,8)的單調(diào)性和(?2,0)的單調(diào)性相同，

由圖象知，f(x)在(?2,0)上為增函數(shù)，則f(x)在(6,8)上增函數(shù)，故C錯誤，

由f(x)+lgx=0得【解答】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)與方程的關系進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵，是中檔題．

根據(jù)函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)的對稱性和周期性，作出函數(shù)的圖像，利用函數(shù)奇偶性和周期性進行轉(zhuǎn)化求解即可．12.【答案】13【解析】解：由2cos(π4+θ)=cos(π4?θ)，

可得2cosπ4cosθ?2sinπ4sinθ=cosπ413.【答案】916【解析】解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，

由a2?b2=a3?b3，得a1+d?2b1=a1+2d?4b1，則d=2b1，

由a2?b2=b4?a414.【答案】?2

【解析】解：因為f(x)=2x3+ax2+bx，所以f′(x)=6x2+2ax+b，

又f(x)的圖象過點P(1,3)，

所以3=2+a+b，所以a+b=1，

又曲線y=f(x)在(0,0)處的切線方程為y=bx，且其過點P(1,3)，

所以b=3，所以a=?215.【答案】解：(1)在△BCD中，BD=5，∠CBD=60°，sin∠BCD=14，

由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，

則CD=103；

(2)因為AD//BC，所以∠ADB=∠CBD=60°，

在△ABD中，AD=2，BD=5，【解析】(1)在△BCD中，由正弦定理可得CD的值；

(2)在△ABD中，由余弦定理可得AB的值，再由余弦定理可得cos∠ABD的值．

16.【答案】解：(Ⅰ)證明：等邊三角形ABC中，D為AC中點，∴BD⊥AC，

∵側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，側(cè)面ACC1A1∩底面ABC=AC，

又BD?平面ABC，∴BD⊥平面ACC1A1，

又A1C?平面ACC1A1，∴BD⊥A1C.

(Ⅱ)在△A1AD中，AA1=3,2AD=AC=2,A1D=22，

∴AA12=AD2+A1D2，

∴A1D⊥AD．

由(Ⅰ)知，BD⊥AC，BD⊥平面ACC1A1，

又A1D?平面ACC1A1，∴BD⊥A1D，

∴DB，DC，DA1兩兩垂直，

以DB，DC，DA1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz，

則A1(0,0,22),B(3,0,0),C(0,1,0),A(0,?1,0),B1(3【解析】(Ⅰ)利用面面垂直求證BD⊥平面ACC1A1即可；

(Ⅱ17.【答案】x28+y22【解析】解：(1)已知點E(?22,0)，F(xiàn)(22,0)，A(2,?1)，直線EM，F(xiàn)M相交于點M，設M(x,y)，由題意有：kEMkFM=yx+22?yx?22=y2x2?8=?14，

化簡得：x28+y22=1，又x≠±22，

則所求動點M的軌跡方程Ω為：x28+y22=1(x≠±22)；

(2)直線l與曲線Q交于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0，且∠PAQ=π2，如圖：

設直線AP的傾斜角為α,α∈(0,π2)，由∠PAQ=π2，得2α+∠PAQ=π，

解得α=π4，故kAP=1，kAQ=?1，即AP：y=x?3，AQ：y=?x+1，

聯(lián)立y=x?3x28+y22=1，解得18.【答案】解：(1)定義域為R，由題意得f′(x)=(2ex?a)(ex+1)ex，

當a≤0時，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增；

當a>0時，由f(x)>0，得x>lna2，由f(x)<0，得x<lna2，

所以f(x)在(?∞,lna2)上單調(diào)遞減，在(lna2,+∞)上單調(diào)遞增；

綜上所述，當a≤0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間，

當a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,lna2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(lna2,+∞)；

(2)f′(x)=(2ex?a)(ex+1)ex，

由(1)知當a≤0時，f′(x)>0在(?∞,2)]上恒成立，所以f(x)在(?∞,2]上單調(diào)遞增，

因為f(0)=a?2<0，f(2)=2e2+a(1e2?2)>0，

由零點存