第=page11頁，共=sectionpages11頁浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2025屆高三（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={3,4}，B={x∈Z|x2?8x+12<0}，則A∪B中元素的個(gè)數(shù)為A.3 B.4 C.5 D.62.已知向量a=(1,?2)，b=(x,?1)，c=(?4,x)，若2a+b，aA.?7 B.3 C.3或?7 D.?3或73.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，lgaA.511 B.61 C.41 D.94.設(shè)θ是銳角，cos(θ+π4)=cosA.2+1 B.2+12 5.設(shè)a>0，b>0，則“1a+1b≥4”是“A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是雙曲線C的左頂點(diǎn)，以F1FA.2 B.3 C.57.已知函數(shù)f(x)=sinωx+2cos2ωx2(ω>0)在區(qū)間(πA.(0,4] B.(0,23]∪[83,4]8.對任意正整數(shù)對(?,k)，定義函數(shù)f(?,k)如下：f(1,j)=1，(i+1)f(i+1,j)=(j?i)f(i,j)，i≤j，則(

)A.f(j+1,j)=1 B.f(i,j)=2Cji?1

C.i=1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.某校學(xué)生參加體育測試，其中甲班女生的成績X與乙班女生的成績Y均服從正態(tài)分布，且X～N(160,900)，Y～N(160,400)，則(

)A.E(X)=160 B.D(Y)=20

C.P(X<120)+P(X≤200)=1 D.P(X≤180)>P(Y≤180)10.如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為2，正方形BCC1B1內(nèi)A.存在點(diǎn)P使得PB⊥PC

B.直線BC1與點(diǎn)P的軌跡有公共點(diǎn)

C.點(diǎn)P運(yùn)動軌跡長為4π9

D.三棱錐11.函數(shù)f(x)=b|x|?a(a>0,b>0)的圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，并把其與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)稱為“囧點(diǎn)”，以“囧點(diǎn)”為圓心，凡是與“囧函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱之為“囧圓”，則當(dāng)a=1，b=1時(shí)，下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱

B.當(dāng)x∈(?1,1)時(shí)，f(x)的最大值為?1

C.函數(shù)f(x)的“囧點(diǎn)”與函數(shù)y=lnx圖象上的點(diǎn)的最短距離為

2

D.函數(shù)f(x)的所有“囧圓”中，面積的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=2?4i，則z?=______．13.已知(ax+1x2)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為6414.我們想把9張寫著1～9的卡片放入三個(gè)不同盒子中，滿足每個(gè)盒子中都有3張卡片，且存在兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有______種.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC為∠DAB的角平分線，∠ABC=π3，AB=3BC=3．

(1)求sin∠DAC；

(2)若∠ADC=2π16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=12BC=2，PA=4，E為棱BC上的點(diǎn)，且BE=14BC．

(1)求證：DE⊥平面PAC；

(2)設(shè)Q為棱CP上的點(diǎn)(不與C，P重合)，且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為17.(本小題15分)

已知實(shí)數(shù)a>0，設(shè)f(x)=?23ax3+x2．

(1)若a=3，求函數(shù)y=f(x)，x∈R的圖象在點(diǎn)(1,?1)處的切線方程；

(2)若對于任意的x118.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線M：x2m?y2=1經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱，C為M上一動點(diǎn)，且C異于A，B兩點(diǎn)．

(1)求M的離心率；

(2)若△BCT的重心為A，點(diǎn)D(8,4)，求|DT|的最小值；

(3)若19.(本小題17分)

對于無窮數(shù)列a0，a1，?，an，?，我們稱f(x)=k=0∞akxk=a0+a1x+?+anxn+?為數(shù)列{an}的生成函數(shù).生成函數(shù)是重要的計(jì)數(shù)工具之一.對于給定的正整數(shù)p，記方程s1+s2+?+sp=k(k=0,1,2,3,?)的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為bk，則bk為(1+x+?+xm+?)?(1+x+?+xm+?)???(1+x+?+xm+?)p個(gè)括號答案解析1.【答案】A

【解析】解：集合A={3,4}，B={x∈Z|x2?8x+12<0}={3,4,5}，

則A∪B={3,4,5}，

故A∪B中元素的個(gè)數(shù)為3．

故選：A．

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)橄蛄縜=(1,?2)，b=(x,?1)，c=(?4,x)，

所以2a+b=(2+x,?5)，a?c=(5,?2?x)，

因?yàn)?a+b，a?c反向共線，

所以(2+x)×(?2?x)?(?5)×5=0，

解得x=3或x=?7，

又2a+b，a3.【答案】A

【解析】解：因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，lgan+lgan+1=lg22n?1，n∈N?，

所以anan+1=22n?1，

所以a2=2，a3=24.【答案】C

【解析】解：因?yàn)棣葹殇J角，

原等式可化為tanθ=cos(θ+π4)cos(θ?π4)=22cosθ?25.【答案】B

【解析】解：若a>0，b>0，a+b≤1，

則(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2ba?ab=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號，

則16.【答案】D

【解析】解：以F1F2為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，

易得以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=c2．

又由雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，易得雙曲線C的漸近線方程為y=±bax．

當(dāng)y=bax時(shí)，如圖，設(shè)P(x0,y0)，則Q(?x0,?y0).

聯(lián)立y=baxx2+y2=c2，解得x=ay=b或x=?ay=?b，所以P(a,b)，Q(?a,?b)．

又因?yàn)锳(?a,0)7.【答案】C

【解析】解：由于f(x)=sinωx+2cos2ωx2=2sin(ωx+π4)+1，

因?yàn)閤∈(π2,3π4)，

所以ωx+π4∈(π2ω+π4,3π4ω+π4)，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(π2,3π4)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=sinx在(π2ω+π4,3π4ω+π8.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?i+1)f(i+1,j)=(j?i)f(i,j)，所以f(i+1,j)f(i,j)=j?ii+1，

令i=j，則f(j+1,j)f(j,j)=0，所以f(j+1,j)=0，A錯(cuò)誤；

因?yàn)閒(2,j)f(1,j)=j?12，f(3,j)f(2,j)=j?23，f(4,j)f(3,j)=j?34，…，f(i,j)f(i?1,j)=j?i+1i，

累乘得：f(i,j)f(1,j)=(j?1)(j?2)…(j?i+1)2×3×4×5×?×i=1jCji，

因?yàn)閒(1,j)=1，所以f(i,j)=1jCji(i≤j)，令i=1，則B錯(cuò)誤；

因?yàn)?1+1)n=Cn0+Cn1+9.【答案】AC

【解析】解：選項(xiàng)A：由X～N(160,900)，得E(X)=160，故A正確；

選項(xiàng)B：由Y～N(160,400)，得D(Y)=400，故B不正確；

選項(xiàng)C：由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，該正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=160，

所以P(X<120)+P(X≤200)=P(X>200)+P(X≤200)=1，故C正確；

選項(xiàng)D：由于隨機(jī)變量X，Y均服從正態(tài)分布，且對稱軸均為直線x=160，

D(X)=900>D(Y)=400，所以在正態(tài)曲線中，Y的峰值較高，正態(tài)曲線較“瘦高”，隨機(jī)變量分布比較集中．

所以P(X≤180)<P(Y≤180)，故D錯(cuò)誤．

故選：AC．

根據(jù)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)即可求解．

本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】AC

【解析】解：由題意：BPPC=2，且BC=2，如圖建系，設(shè)P(x,y)，(0<x<2,0<y<2)，

所以B(0,0)，C(2,0)，BP=x2+y2，CP=(x?2)2+y2，

所以BP=2PC?x2+y2=4[x2?4x+4+y2]，3x2+3y2?16x+16=0，

所以(x?83)2+y2=169，

點(diǎn)P的軌跡是以(83,0)為圓心，43為半徑的圓在正方形BCC1B1內(nèi)部的弧，

且lBC1：y=x，點(diǎn)(83,0)到該直線的距離為d=|83?0|2=432>43，

所以BC1與圓無公共點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

若PB⊥PC，設(shè)BP=2PC=2a，所以BP2+CP2=BC2?5a2=411.【答案】BCD

【解析】解：A.當(dāng)a=1，b=1時(shí)，函數(shù)f(x)=1|x|?1

的定義域?yàn)閧x|x≠±1,x∈R}，且為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于x=0對稱，故A錯(cuò)誤，

B.其圖象如圖所示，

當(dāng)0≤x<1，f(x)=1x?1為減函數(shù)，則當(dāng)x=0時(shí)，f(x)最大為f(0)=?1，故B正確，

C.當(dāng)x=0時(shí)，y=?1，即函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為B(0,?1)，其關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為C(0,1)，

所以“囧點(diǎn)”為C(0,1)，

設(shè)y=lnx，則y′=1?x，

設(shè)切點(diǎn)為(x0,lnx0)，

∴切線的斜率k=1x0，

當(dāng)“囧點(diǎn)”與切點(diǎn)的連線垂直切線時(shí)，距離最短，

∴l(xiāng)nx0?1x0?1x0=?1，

解得x0=1，

∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，

故函數(shù)f(x)的“囧點(diǎn)”與函數(shù)y=lnx圖象上的點(diǎn)的最短距離是(1?0)2+(0?1)2=2，故C正確，

D.“囧圓”的圓心為C(0,1)，要求“囧圓”的面積最小，則只需考慮y軸及y軸右側(cè)的函數(shù)圖象．當(dāng)圓C過點(diǎn)B時(shí)，其半徑為2，這是和x軸下方的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)的所有“囧圓”中半徑的最小值；

當(dāng)圓C和x軸上方且y軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)A時(shí)，設(shè)A(m,1m?1)(其中m>1)，

則點(diǎn)A到圓心C的距離的平方為d2=m2+(1m?1?1)212.【答案】2i

【解析】解：由(2+i)z=2?4i，得z=2?4i2+i=(2?4i)(2?i)(2+i)(2?i)=?10i5=?2i，

∴13.【答案】240或3840

【解析】解：由于(ax+1x2)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，即Cn0+Cn1+?+Cnn=2n=64，

解得n=6．

又由于(ax+1x2)6的展開式系數(shù)和為729，令x=1得，即(a+1)6=729，

解得a=2或?4，

(ax+1x2)6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6r(ax)6?r(14.【答案】198

【解析】解：由題意可知，設(shè)存在的這兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，設(shè)其相等的和為x．

當(dāng)x=11時(shí)，共有1種情況，即{(1,3,7)，(2,4,5)}；

當(dāng)x=12時(shí)，共有3種情況，

即{(1,2,9)，(3,4,5)}，{(1,3,8)，

(2,4,6)}，{(1,5,6)，(2,3,7)}；

當(dāng)x=14時(shí)，共有7種情況，即{(1,4,9)，(2,5,7)}，

{(1,4,9)，(3,5,6)}，{(1,5,8)，(2,3,9)}，

{(1,5,8)，(3,4,7)}，{(1,6,7)，(2,3,9)}，

{(1,6,7)，(2,4,8)}，{(2,4,8)，(3,5,6)}；

當(dāng)x=13時(shí)，共有5種情況，即{(1,3,9)，(2,4,7)}，{(1,3,9)，

(2,5,6)}，{(1,4,8)，(2,5,6)}，{(1,5,7)，

(2,3,8)}，{(1,5,7)，(3,4,6)}；

當(dāng)x=15時(shí)，共有2種情況，即{(1,5,9)，(2,6,7)，(3,4,8)}，

{(1,6,8)，(2,4,9)，(3,5,7)}；

當(dāng)x=16時(shí)，共有7種情況，即{(1,6,9)，(3,5,8)}，{(1,6,9)，(4,5,7)}，{(1,7,8)，(2,5,9)}，{(1,7,8)，(3,4,9)}，

{(2,5,9)，(3,6,7)}，{(2,6,8)，(3,4,9)}，

{(2,6,8)，(4,5,7)}；

當(dāng)x=17時(shí)，共有5種情況，即{(1,7,9)，(4,5,8)}，{(2,7,8)，(3,5,9)}，{(3,5,9)，(4,6,7)}，{(3,6,7)，(4,5,8)}，

{(1,7,9)，(3,6,8)}；

當(dāng)x=18時(shí)，共有2種情況，即{(2,7,9)，(4,6,8)}，{(3,7,8)，(4,5,9)}；

當(dāng)x=19時(shí)，共有1種情況，即{(3,7,9)，(5,6,8)}；

綜上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+2+1=33(種)情況，

∴不同的放法共有：33A33=198種．

故答案為：198．15.【答案】解：(1)△ABC中，∠ABC=π3，AB=3，BC=1，

由余弦定理可得AC2=BA2+BC2?2BA?BCcosB=7，

所以AC=7，

再由正弦定理ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，可得sin∠BAC=BCsin∠ABCAC=2114，

又因?yàn)锳C為∠DAB的角平分線，

所以sin∠DAC=sin∠BAC=21【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理可得AC的值，再由正弦定理sin∠BAC的值，由角平分線的性質(zhì)即可得解．

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos∠DAC的值，利用兩角差的正弦公式可求sin∠ACD的值，由正弦定理可得AD16.【答案】證明見解析；

CQCP=【解析】解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，因?yàn)锳B⊥AD則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

由已知可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，E(2,1,0)，

所以DE=(2,?1,0)，AC=(2,4,0)，AP=(0,0,4)，

因?yàn)镈E?AC=2×2?1×4+0=0，所以DE⊥AC，DE?AP=0，所以DE⊥AP，

又AP∩AC=A，AP?平面PAC，AC?平面PAC，所以DE⊥平面PAC；

(2)設(shè)CQCP=λ(0<λ<1)，即CQ=λCP=(?2λ,?4λ,4λ)，

則AQ=AC+CQ=(2?2λ,4?4λ,4λ)，即Q(2?2λ,4?4λ,4λ)，

則QE=(2λ,4λ?3,?4λ)，由(1)可取DE=(2,?1,0)為平面PAC法向量，

因QE與平面PAC夾角θ正弦值為5517.【答案】4x+y?3=0；

[34【解析】解：(1)因?yàn)閍=3，f(x)=x2?2x3，f′(x)=2x?6x2，

則f(1)=?1，f′(1)=?4．

故點(diǎn)(1,?1)處的切線方程為x(?∞,0)0(0,1(f′(x)?0+0?f(x)遞減0遞增1遞減所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1a)，單調(diào)減區(qū)間是(?∞,0)和(1a,+∞)，

當(dāng)x=1a時(shí)，f(x)取極大值，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取極小值0，

由f(0)=f(32a)=0知，當(dāng)x∈(0,32a)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x∈(32a,+∞)時(shí)，f(x)<0．

因?yàn)閷τ谌我獾膞1∈(2,+∞)，總存在x2∈(1,+∞)，使得f(x1)?f(x2)=1，

當(dāng)f(x1)=0時(shí)，不成立，故f(x1)≠0，所以32a≤2，所以a≥34，

設(shè)A={f(x)|x∈(2,+∞)}，B={1f(x)|x∈(1,+∞),f(x)≠0}，問題轉(zhuǎn)化為A?B．

下面分兩種情況討論：

當(dāng)32a<1，即a>32時(shí)，有f(1)<0，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，f(x)的值域?yàn)??∞,f(1))，

故B=(1f(1),0)，A=(?∞,f(2))，所以A不是B的子集．不封符合題意；

當(dāng)1≤32a≤2即34≤a≤32時(shí)，有f(2)≤0，f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減，故A=(?∞,f(2))，因而A?(?∞,0)18.【答案】解：(1)∵雙曲線M經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，∴4m?1=1，解得m=2，

∴a=2，c=a2+b2=3，則M