黃山市2022屆高中畢業班第二次質量檢測數學（文科）試題本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答題前，務必在試卷、答題卡規定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致.務必在答題卡背面規定的地方填寫姓名和座位號后兩位.2．答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.3．答第Ⅱ卷時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規定的位置繪出，確認后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號所指示的答題區域作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效.第Ⅰ卷（選擇題滿分60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請在答題卷的相應區域答題.）1.若集合，，則等于（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡集合A，B，再利用交集的定義直接求解作答.【詳解】不等式化為：，解得：，則，不等式，即，整理得：，解得，則，所以.故選：D2.已知復數滿足（為虛數單位），則（）A. B. C. D.【2題答案】【答案】A【解析】【分析】利用復數的除法運算求出，進而求出即可計算作答.【詳解】因，則，于是得，所以.故選：A3.“”是“對任意的正數，均有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【3題答案】【答案】A【解析】【分析】根據基本不等式可判斷充分性，取特值可判斷不必要性.【詳解】當，時，由基本不等式可知，故“”是“對任意的正數，均有”的充分條件；當時，成立，不成立，故“”是“對任意的正數，均有”的不必要條件.故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【4題答案】【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，切化弦，利用誘導公式、同角公式求解作答.【詳解】由得：，即，，整理得，而，解得，所以.故選：B5.設實數、滿足，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】D【解析】【分析】對于A，B，C可以取特殊值驗證，對于D，根據題意得，，利用基本不等式求解即可.【詳解】對于A：當，時不成立，故A錯誤；對于B：當，，所以，，即，故C錯誤；對于C：當時不成立，故C錯誤；對于D：因為，所以，又，所以（等號成立的條件是），故D正確.故選：D.6.函數的圖象的大致形狀是()A. B.C. D.【6題答案】【答案】C【解析】【分析】分x＞0和x＜0去掉絕對值化簡函數解析式即可判斷函數圖像.【詳解】∵，∴根據指數函數圖像即可判斷選項C符合.故選：C.7.趙爽是我國古代著名的數學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形組成)，如圖(1)類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖(2)所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，則圖中陰影部分與空白部分面積之比為()A. B. C. D.【7題答案】【答案】B【解析】【分析】設，根據幾何關系求出AD、DF、BD、，根據余弦定理求出AB，再根據等邊三角形面積即可計算.【詳解】設，則，，，，在中，根據余弦定理得，，∴，，∴，∴圖中陰影部分與空白部分面積之比為.故選：B.8.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于、兩點，為線段的中點，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【8題答案】【答案】B【解析】【分析】設出點A，B的坐標，利用拋物線定義結合已知求出p，再借助斜率坐標公式計算作答.【詳解】設，拋物線的準線為：，因為線段的中點，則，又，解得，則拋物線C的方程為：，有，，顯然直線l的斜率存在，所以直線的斜率.故選：B9.將函數的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，若在上為增函數，則的最大值為（）A.1 B. C.2 D.【9題答案】【答案】C【解析】【分析】化簡函數，再根據給定條件求出，并求出含數0的遞增區間，然后列式計算作答.【詳解】依題意，函數，于是得，由，得：，因此，函數在上為增函數，而在上為增函數，于是得，解得，有，所以的最大值為2.故選：C10.在四棱錐中，底面梯形中，，，與交于點，，連接，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【10題答案】【答案】D【解析】【分析】依題得則，所以異面直線與所成角與直線與所成角相等，結合余弦定理即可求解．【詳解】因為，則又，所以故所以異面直線與所成角與直線與所成角相等，由故異面直線與所成角的余弦值為．故選：D11.從雙曲線的右焦點引圓的切線交雙曲線左支于，為切點，為線段的中點，為坐標原點，則（）A. B. C. D.【11題答案】【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，求出，再結合雙曲線定義變形，并計算作答.【詳解】令雙曲線左焦點為，連接，如圖，顯然，依題意，，，為線段的中點，而為線段的中點，，所以.故選：B12.已知函數，至少有個零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【12題答案】【答案】A【解析】【分析】構造函數，由導數研究單調性后作出圖象，轉化為交點問題求解【詳解】令，當時，，當時，，求導得，時，，時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，，，作出大致圖象如圖所示，由題意得和圖象至少有兩個交點，故的取值范圍是故選：A【點睛】函數零點的判斷：將問題轉化為兩函數的交點，作出兩個函數的圖象，看其交點的個數，利用導數研究函數的單調性，?；癁闃O(最)值問題，注意分類討論與數形結合思想．第II卷（非選擇題滿分90分）二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.請在答題卷的相應區域答題.）13.已知，均為單位向量，若，則與的夾角為______．【13題答案】【答案】【解析】【分析】由兩邊平方，再利用數量積的定義求解.【詳解】因為，均為單位向量，且，所以，即，因為，所以，故答案為：14.若整數、滿足不等式組，則的最小值為________．【14題答案】【答案】4【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區域，利用目標函數的幾何意義計算作答.【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影(含邊AB，不含邊AC，BC)，其中，又均為整數，上述可行域內橫縱坐標均為整數的點只有四點，目標函數，即表示斜率為-2，縱距為z的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當直線過點M時，直線的縱截距最小，z最小，，所以的最小值為4.故答案為：415.已知三棱錐各個頂點都在球的表面上，，，，，、分別為、的中點，且.則球的表面積是_______．【15題答案】【答案】【解析】【分析】由幾何關系求出球的半徑后計算表面積【詳解】由題意，，是中點，故，又，可得平面，，由勾股定理可得，而，由題意即為球的球心，半徑為，故球的表面積為故答案為：16.在△中，角，，的對邊分別為，，，，，若有最大值，則實數的取值范圍是_____．【16題答案】【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，根據目標式結合正弦定理的邊角互化，易得且、，可知存在最大值即，進而可求的范圍.【詳解】∵，，由正弦定理得：，∴，其中，又，∴存在最大值，即有解，即，∴，解得，又，解得，故的范圍是．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：應用正弦定理邊角關系、輔助角公式，結合三角形內角和、三角函數的性質列不等式組求參數范圍.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請在答題卷的相應區域答題.）（一）必考題：共60分.17.為了解高一年級學生的選科意愿，某學校隨機抽取該校名高一學生進行調查，其中女生與男生人數比是2：3，已知從人中隨機抽取人，抽到報考物理的學生的概率為.學科物理歷史合計女生20男生合計（1）請補全列聯表，并判斷是否有的把握認為選科與性別有關；（2）為了解選擇物理學科意愿的同學的選擇原因，從選物理的同學中抽取了人，其中有名女生，并從這名同學選出人進行“當面交流”，問該組有女生的概率？附表及公式：3.8416.63510.828【17題答案】【答案】（1）列聯表見解析，有的把握認為選科與性別有關（2）【解析】【分析】（1）直接填出列聯表，按照公式計算即可；（2）直接列舉出所有情況，找出包含女生的情況，按照古典概型計算即可.【小問1詳解】由比例可知男生有60人，女生40人，報考物理的有人，故有：學科物理歷史合計女生202040男生55560合計7525100，故有的把握認為選科與性別有關.【小問2詳解】由題意可知：把這個人中女生記為、，男生記為、、、.從人中選出個人，所有的基本事件為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共20種．有女生的有、、、、、、、、、、、、、、、共16種.故有女生的概率是．19.直角梯形中，，，，，，將梯形沿中位線折起使，并連接、得到多面體，連接，，.（1）求證：平面；（2）求到平面的距離.【19題答案】【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過作垂足為，得到平面，即可求解；（2）根據題意得，求解計算即可.【小問1詳解】因為，，，，過作垂足為，則，，，所以，因為，，平面，平面，所以平面，又有，所以，又，平面【小問2詳解】設點到平面的距離為，因為，由（1）知，平面，因為平面，所以，因為平面，平面，，所以平面，所以，即由，得，又，且由（1）知平面，所以，所以，所以，即，故到平面的距離為.21.已知數列、滿足，若數列是等比數列，且．（1）求數列、的通項公式；（2）令，求的前項和為.【21題答案】【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由條件解出的公比后求通項公式，由指數冪的運算性質求；（2）寫出的通項公式，由錯位相減法求和．【小問1詳解】當時，，，又，∴是以為首項，為公比的等比數列，∴當時，由累加法可得：，又當時，也適合上式，∴【小問2詳解】∴①∴②①-②得：∴23已知函數.（1）求的極值；（2）當時，求證：.【23題答案】【答案】（1）極小值，無極大值；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數的導數及零點，再探討在零點左右值的符號即可作答.（2）在給定條件下，等價變形要證不等式，再構造函數，借助單調性推理作答.小問1詳解】函數定義域為R，求導得，由得x=0，當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，取極小值，無極大值.【小問2詳解】因，有，，令，求導得，當時，，，即，則，因此，在上單調遞增，當時，，即，所以當時，成立.【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數，利用函數思想是解決問題的關鍵.25.如圖，已知橢圓：經過點，、為橢圓的左右頂點，為橢圓的右焦點，．（1）求橢圓的方程；（2）已知經過右焦點的直線（不經過點）交橢圓于、兩點，交直線：于點，若，求直線的斜率．【25題答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由結合求出，再由給定的點求解作答.（2）設出直線l的方程，與橢圓的方程聯立，結合韋達定理及斜率坐標公式計算作答.【小問1詳解】依題意，，，令右焦點，則，，由，得，而，則，由橢圓過點，得，有，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，，依題意，直線斜率存在，設直線：，，，由消去并整理得：，則，，顯然，，解得，點，則有，所以直線的斜率為.【點睛】思路點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設出直線方程，再與圓錐曲線方程聯立，利用韋達定理并結合已知推理求解.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.選修4-4：坐標系與參數方程27.已知直線參數方程為(其中為參數)，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（其中）.(1)若點的直角坐標為，且點在曲線內，求實數的取值范圍；(2)若,當變化時，求直線被曲線截得的弦長的取值范圍.【27題答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）化曲線的參數方程為直?角坐標方程是:由點在曲線的內部，可得，解不等式可得實數的取值范圍；(2)根據極徑的幾何意義可得直線截得曲線的弦長為：，根據三角函數的有界性可得結果.試題解析：(1)由得曲線對應的直?角坐標?方程為:由點在曲線的內部，,求得實數m的取值范圍為.(2)直線的極坐標?方程為，代入曲線的極坐標?方程整理理得設直線與曲線的兩個交點對應的極徑分別為，則直線截得曲線的弦長為：.即直線與曲線截得的弦長的取值范圍是.選修4-5：不等式選講28.已知函數.（1）當時