專(zhuān)題21、專(zhuān)題22－－錄入：江陰夏建平（QQ：705269007）

專(zhuān)題22與圓相關(guān)的比例線(xiàn)段

閱讀與思考

比例線(xiàn)段是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)核心問(wèn)題.

我們開(kāi)始是用平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例進(jìn)行研究的，隨著學(xué)習(xí)的深入、知識(shí)的增加，在平行線(xiàn)法的基礎(chǔ)上，我們

可以利用相似三角形研究證明比例線(xiàn)段，在這兩種最基本的研究與證明比例線(xiàn)段方法的基礎(chǔ)上，在不同的圖形中

又發(fā)展為新的形式.

在直角三角形中，以積的形式更明快地表示直角三角形內(nèi)線(xiàn)段間的比例關(guān)系.

在圓中，又有相交弦定理、切割線(xiàn)定理及其推論，這些定理用乘積的形式反映了圓內(nèi)的線(xiàn)段的比例關(guān)系.

相交弦定理、切割線(xiàn)定理及其推論，它們之間有著密切的聯(lián)系：

1．從定理的形式上看，都涉及兩條相交直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；

2．從定理的證明方法上看，都是先證明一對(duì)三角形相似，再由對(duì)應(yīng)邊成比例而得到等積式.

熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.

例題與求解

【例1】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作圓的切線(xiàn)與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.

3

若DE=CE，AC=85，點(diǎn)D為EF的中點(diǎn)，則AB=.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

4

解題思路：設(shè)法求出AE、BE的長(zhǎng)，可考慮用相交弦定理，勾股定理等.

例1題圖例2題圖

【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一點(diǎn)O為圓心作⊙O與AC、AB都相切，

又⊙O與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則線(xiàn)段BD的長(zhǎng)為（）

111

A．1B．C．D．

234

（武漢市中考試題）

解題思路：由切割線(xiàn)定理知BE2=BD·BC，欲求BD，應(yīng)先求BE.須加強(qiáng)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，充分挖掘隱含

條件.

【例3】如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CD切半圓于D，DE⊥AB于E.已知

AE∶EB=4∶1，CD=2，求BC的長(zhǎng).

（成都市中考試題）

解題思路：由題設(shè)條件“直徑、切線(xiàn)”等關(guān)鍵詞聯(lián)想到相應(yīng)的知識(shí)，尋找解題的突破口.

DBDC2

【例4】如圖，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線(xiàn)PB交直線(xiàn)AC于點(diǎn)D，==.

DPDO3

（1）求證：直線(xiàn)PB是⊙O的切線(xiàn)；

（2）求cos∠BCA的值.

（呼和浩特市中考試題）

解題思路：對(duì)于（1），恰當(dāng)連線(xiàn)，為已知條件的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件；對(duì)于（2），將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)段的比值.

【例5】如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn).延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BF交⊙

O于F，AF交CE于P.

求證：PE=PC.

（太原市競(jìng)賽試題）

解題思路：易證PC為⊙O切線(xiàn)，則PC2=PF·PA，只需證明PE2=PF·PA.證△PEF∽△PAE，作出常用輔

助線(xiàn)，突破相關(guān)角.

【例6】如圖，已知點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PS、PT是⊙O的兩條切線(xiàn).過(guò)點(diǎn)P作⊙O的割線(xiàn)PAB，交⊙O于A、

B兩點(diǎn)，與ST交于點(diǎn)C.

1111

求證：=（+）.

PC2PAPB

（國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題）

解題思路：利用切割線(xiàn)定理，再由三角形相似即可證.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．如圖，PA切⊙O于A點(diǎn)，PC交⊙O于B、C兩點(diǎn)，M是BC上一點(diǎn)，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，則

⊙O的半徑為.

（青島市中考試題）

2．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE的中點(diǎn).如果BD∥CF，BC=25，

則CD=.

（四川省競(jìng)賽試題）

（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）（第4題圖）

3．如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，AD交⊙O于點(diǎn)C、D，OP⊥CD于點(diǎn)P.若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半徑為

5cm，則OP=.

（天津市中考試題）

4．如圖，已知⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于點(diǎn)A，AE與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)

交于點(diǎn)E，AE=25，那么PE的長(zhǎng)為.

（成都市中考試題）

5．如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OC相交于點(diǎn)M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，則OC的長(zhǎng)為（）

A．26B．6C．23D．22

（遼寧省中考試題）

（第5題圖）（第6題圖）（第7題圖）

6．如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)P，大圓的弦CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且CD=13，PD=4，則兩

圓組成的圓環(huán)的面積為（）

A．16πB．36πC．52πD．81π

（南京市中考試題）

7．如圖，兩圓相交于C、D，AB為公切線(xiàn)，若AB=12，CD=9，則MD=（）

A．3B．33C．6D．63

8．如圖，⊙O的直徑AB=10，E是OB上一點(diǎn)，弦CD過(guò)點(diǎn)E，且BE=2，DE=22，則弦心距OF為（）

A．1B．2C．7D．3

（包頭市中考試題）

（第8題圖）（第9題圖）（第10題圖）

9．如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分線(xiàn)，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圓.

（1）求證：AC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若AD=6，AE=62，求DE的長(zhǎng).

（南京市中考試題）

10．如圖，PA切⊙O于A，割線(xiàn)PBC交⊙O于B、C兩點(diǎn)，D為PC的中點(diǎn)，連結(jié)AD并延長(zhǎng)交⊙O于E，

已知：BE2=DE·EA.

求證：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.

（天津市中考試題）

11．如圖，△ABC是直角三角形，點(diǎn)D在斜邊BC上，BD=4DC.已知⊙O過(guò)點(diǎn)C且與AC相交于F，與AB

相切于AB的中點(diǎn)G.求證：AD⊥BF.

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

（第11題圖）（第12題圖）

12．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A.連結(jié)CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D、E，連結(jié)BD并延

長(zhǎng)交邊AC于點(diǎn)F.

（1）求證：AD·AC=DC·EA；

（2）若AC=nAB（n為正整數(shù)），求tan∠CDF的值.

（太原市競(jìng)賽試題）

B級(jí)

1．如圖，兩個(gè)同心圓，點(diǎn)A在大圓上，AXY為小圓的割線(xiàn)，若AX·AY=8，則圓環(huán)的面積為（）

A．4πB．8πC．12πD．16π

（咸陽(yáng)市中考試題）

2．如圖，P為圓外一點(diǎn)，PA切圓于A，PA=8，直線(xiàn)PCB交圓于C、B，且PC=4，AD⊥BC于D，∠ABC=

sinα

α，∠ACB=β.連結(jié)AB、AC，則的值等于（）

sinβ

11

A．B．C．2D．4

42

（黑龍江省中考試題）

（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）

3．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC的中點(diǎn)，直線(xiàn)BE交⊙O于點(diǎn)F，若⊙O的半徑為2，則BF

的長(zhǎng)為（）

326545

A．B．C．D．

2255

（南京市中考試題）

4．如圖，已知⊙O的半徑為12，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，則sin∠CBD

的值等于（）

A．OM的長(zhǎng)B．2OM的長(zhǎng)C．CD的長(zhǎng)D．2CD的長(zhǎng)

（武漢市中考試題）

（第4題圖）（第5題圖）（第6題圖）

1

5．如圖，PC為⊙O的切線(xiàn)，C為切點(diǎn)，PAB是過(guò)O點(diǎn)的割線(xiàn)，CD⊥AB于D.若tan∠B=，PC=10cm，求

2

△BCD的面積.

（北京市海淀區(qū)中考試題）

6．如圖，已知CF為⊙O的直徑，CB為⊙O的弦，CB的延長(zhǎng)線(xiàn)與過(guò)F的⊙O的切線(xiàn)交于點(diǎn)P.

（1）若∠P=45°，PF=10，求⊙O半徑的長(zhǎng)；

⌒

（2）若E為BC上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PE2=PB·PC，連結(jié)FE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)A.求證：點(diǎn)A是BC的中點(diǎn).

（濟(jì)南市中考試題）

7．已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC.

（1）如圖1，能否在AB上確定一點(diǎn)E，使AC2=AE·AB?為什么？

（2）如圖2，在條件（1）的結(jié)論下延長(zhǎng)EC到P，連結(jié)PB，如果PB=PE，試判斷PB與⊙O的位置關(guān)系并

說(shuō)明理由；

（3）在條件（2）的情況下，如果E是PD的中點(diǎn)，那么C是PE的中點(diǎn)嗎？為什么？

（重慶市中考試題）

（第7題圖）（第8題圖）

PBPC

8．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA與⊙O切于A，PBC是⊙O的割線(xiàn)，AD⊥PO于D，求證：=.

BDCD

（四川省競(jìng)賽試題）

3

9．如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA邊和AB邊