2024-2025學(xué)年福建省廈門市高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)基底滿足的條件逐一分析即可.【詳解】對(duì)于：，所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯(cuò)誤；對(duì)于：，所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯(cuò)誤；對(duì)于：，所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯(cuò)誤；對(duì)于：設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)使，則，此方程無(wú)解，故能作為平面向量的基底.故正確.故選.2.在三角形中，，，，則（

）A. B. C.或 D.或【正確答案】B【分析】由正弦定理求解出角，然后由內(nèi)角和定理求解角即可.【詳解】由可得：，所以，又，所以，結(jié)合內(nèi)角和定理，所以.故選：B3.平面向量，滿足，，，則在上投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】?jī)蛇吰椒胶笄蟪觯倮猛队跋蛄康墓角蠼?【詳解】，其中，所以，解得，則在上投影向量為.故選：C4.冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD，測(cè)得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】在中，由余弦定理得，進(jìn)而求出，再在中，利用正弦定理得解.【詳解】由題意，在中，由余弦定理得；因?yàn)椋裕谥校烧叶ɡ硭裕獾?故選：D5.在中，角所對(duì)的邊分別為，向量，若，則角的大小為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先利用向量平行坐標(biāo)運(yùn)算得，再利用正弦定理結(jié)合兩角和正弦公式進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚遥裕烧叶ɡ砜傻茫海矗矗郑剩桑獾?故選：C6.已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.4【正確答案】C【分析】設(shè)，，根據(jù)求出，再根據(jù)得到，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】依題意設(shè)，，由，所以，則，又，且，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為.故選：C7.如圖，在平行四邊形ABCD中，，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，G為EF上的一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m的值為A. B. C. D.【正確答案】A【分析】可根據(jù)條件得出，并可設(shè)，然后根據(jù)向量加法的幾何意義和向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得出，從而根據(jù)平面向量基本定理即可得出，解出即可．【詳解】解：，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，，設(shè)，又，，解得.故選：A.本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．8.在中，為邊上一點(diǎn)，，且的面積為，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由面積公式求出，即可得到為等腰三角形，則，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋獾茫詾榈妊切危瑒t，在中由正弦定理可得，即，解得，因?yàn)椋詾殇J角，所以，所以.故選：A二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若向量，則（）A. B.C.在上的投影向量為 D.與的夾角為【正確答案】BC【分析】用坐標(biāo)表示出向量，用模長(zhǎng)公式求出模長(zhǎng)即可判斷A選項(xiàng)；用向量坐標(biāo)求向量的數(shù)量積判斷B選項(xiàng)；由向量的投影向量的公式判斷C選項(xiàng)；由坐標(biāo)求出模長(zhǎng)和向量的數(shù)量積，求出向量的夾角判斷D選項(xiàng).【詳解】由題，所以，故A錯(cuò)；又，故B正確；，所以在上的投影向量為：，故C正確；因?yàn)椋郑裕蔇錯(cuò)誤.故選：BC.10.對(duì)于，角所對(duì)的邊分別為，下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則一定為等腰三角形B.若，則一定為等腰三角形C.若，則有兩解D.若，則一定為銳角三角形【正確答案】BD【分析】根據(jù)已知可得或，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)正弦定理可得，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)已知可推得只有一解，即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)兩角和的正切公式，可推得，即可得出D項(xiàng).詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由可知，或，所以，或，所以，為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)正弦定理可得，，所以，所以一定為等腰三角形，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋裕郑灾挥幸唤猓裕幸唤猓蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋裕砜傻茫?因?yàn)椋裕裕际卿J角，所以一定為銳角三角形，故D正確.故選：BD.11.已知三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.若是邊上的一點(diǎn)，且，則的面積的最大值為C.若是銳角三角形，則的取值范圍是D.若是的外心，，則【正確答案】BCD【分析】用正弦定理及余弦定理求出角B判斷A；利用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算律解得，使用基本不等式即可求出面積最大值判斷B；利用正弦定理及三角恒等變換得，求出函數(shù)值域即可判斷C，根據(jù)模長(zhǎng)關(guān)系可得，再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解D即可.【詳解】對(duì)于A，因，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，即，且，所以對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的面積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋忠驗(yàn)椋獾茫傻茫瑒t，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t，可知點(diǎn)在優(yōu)弧上（端點(diǎn)除外），因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)椋遥傻茫矗忠驗(yàn)椋矗獾茫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，故D正確.故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知菱形的邊長(zhǎng)為2，則向量__________.【正確答案】2【分析】應(yīng)用向量加減法的幾何意義化簡(jiǎn)得，即可得答案.【詳解】由圖知.故213.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)a＝___．【正確答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕此裕獾茫蚀鸢笧?14.在中，，，且在上，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【正確答案】1【詳解】∵，∴，∴，∵且在上，∴線段為的角平分線，∴，以A為原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，D∴故答案為1四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量.（1）當(dāng)且時(shí)，求；（2）當(dāng)，求向量與的夾角【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得和的坐標(biāo)，再由，求得的值；（2）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則先求得的坐標(biāo)，由當(dāng)，求得的值，再由向量的夾角公式求得夾角的大小.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橄蛄浚裕忠驗(yàn)椋裕裕獾没颍忠驗(yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】由，，可得，又，又，所以，解得，所以，可得，，，所以，又，所以.16.設(shè)向量，，.（1）求；（2）若，，求的值；（3）若，，，求證：A，，三點(diǎn)共線.【正確答案】（1）1（2）2（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求，進(jìn)而求；（2）列出方程組，求出，進(jìn)而求出；（3）求出，從而得到，得到結(jié)果.小問(wèn)1詳解】，；【小問(wèn)2詳解】，所以，解得：，所以；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋裕訟，，三點(diǎn)共線.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求角的大小；（2）若，求的面積【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由代入，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即可求解；（2）由余弦定理可求得，再由三角形的面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，可得，所以，所以，又因?yàn)椋裕裕郑裕弧拘?wèn)2詳解】因?yàn)椋Y(jié)合余弦定理，可得，解得，所以的面積為.18.已知，且.（1）求的最小正周期，以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值.【正確答案】（1）（2）最小值、最大值分別為、【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式化簡(jiǎn)得，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）應(yīng)用整體法及正弦函數(shù)性質(zhì)求區(qū)間最值即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，，所以的最小正周期為，故函數(shù)周期為，令，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由，則，故，所以的最小值、最大值分別為、19.如圖，，是單位圓上的相異兩定點(diǎn)為圓心，且為銳角點(diǎn)為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段交線段于點(diǎn).（1）求結(jié)果用表示；（2）若.①求的取值范圍；②設(shè)，記，求函數(shù)的值域.【正確答案】（1）（2）①；②【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，結(jié)合轉(zhuǎn)化法即可得解；（2）①設(shè)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算