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2024-2025學年福建省廈門市高一下學期3月月考數(shù)學檢測試卷一?單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.1.若是平面內(nèi)的一個基底,則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是()A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)基底滿足的條件逐一分析即可.【詳解】對于:,所以為共線向量,不符合基底的定義,故錯誤;對于:,所以為共線向量,不符合基底的定義,故錯誤;對于:,所以為共線向量,不符合基底的定義,故錯誤;對于:設(shè)存在唯一的實數(shù)使,則,此方程無解,故能作為平面向量的基底.故正確.故選.2.在三角形中,,,,則(
)A. B. C.或 D.或【正確答案】B【分析】由正弦定理求解出角,然后由內(nèi)角和定理求解角即可.【詳解】由可得:,所以,又,所以,結(jié)合內(nèi)角和定理,所以.故選:B3.平面向量,滿足,,,則在上投影向量為()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】兩邊平方后求出,再利用投影向量的公式求解.【詳解】,其中,所以,解得,則在上投影向量為.故選:C4.冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源,結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài),將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風格融為一體,呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學查閱資料得知,書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度,比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學要求,該同學取端點繪制了△ABD,測得AB=5,BD=6,AC=4,AD=3,若點C恰好在邊BD上,請幫忙計算sin∠ACD的值()A. B. C. D.【正確答案】D【分析】在中,由余弦定理得,進而求出,再在中,利用正弦定理得解.【詳解】由題意,在中,由余弦定理得;因為,所以,在中,由正弦定理所以,解得.故選:D5.在中,角所對的邊分別為,向量,若,則角的大小為()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先利用向量平行坐標運算得,再利用正弦定理結(jié)合兩角和正弦公式進行邊角轉(zhuǎn)化,求解即可.【詳解】因為向量,且,所以,由正弦定理可得:,即,即,又,,故,由,解得.故選:C6.已知為單位向量,向量滿足,,則的最大值為()A.1 B.2 C. D.4【正確答案】C【分析】設(shè),,根據(jù)求出,再根據(jù)得到,最后根據(jù)向量模的坐標表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】依題意設(shè),,由,所以,則,又,且,所以,即,所以,當且僅當時取等號,即的最大值為.故選:C7.如圖,在平行四邊形ABCD中,,F(xiàn)為BC的中點,G為EF上的一點,且,則實數(shù)m的值為A. B. C. D.【正確答案】A【分析】可根據(jù)條件得出,并可設(shè),然后根據(jù)向量加法的幾何意義和向量的數(shù)乘運算即可得出,從而根據(jù)平面向量基本定理即可得出,解出即可.【詳解】解:,F(xiàn)為BC的中點,,設(shè),又,,解得.故選:A.本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義,向量的數(shù)乘運算,平面向量基本定理,考查了計算能力,屬于中檔題.8.在中,為邊上一點,,且的面積為,則()A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由面積公式求出,即可得到為等腰三角形,則,在中由正弦定理求出,即可求出,最后由利用兩角差的正弦公式計算可得.【詳解】因為,解得,所以為等腰三角形,則,在中由正弦定理可得,即,解得,因為,所以為銳角,所以,所以.故選:A二?多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.若向量,則()A. B.C.在上的投影向量為 D.與的夾角為【正確答案】BC【分析】用坐標表示出向量,用模長公式求出模長即可判斷A選項;用向量坐標求向量的數(shù)量積判斷B選項;由向量的投影向量的公式判斷C選項;由坐標求出模長和向量的數(shù)量積,求出向量的夾角判斷D選項.【詳解】由題,所以,故A錯;又,故B正確;,所以在上的投影向量為:,故C正確;因為,又,所以,故D錯誤.故選:BC.10.對于,角所對的邊分別為,下列說法正確的有()A.若,則一定為等腰三角形B.若,則一定為等腰三角形C.若,則有兩解D.若,則一定為銳角三角形【正確答案】BD【分析】根據(jù)已知可得或,即可判斷A項;根據(jù)正弦定理可得,即可判斷B項;根據(jù)已知可推得只有一解,即可判斷C項;根據(jù)兩角和的正切公式,可推得,即可得出D項.詳解】對于A項,由可知,或,所以,或,所以,為等腰三角形或直角三角形,故A錯誤;對于B項,根據(jù)正弦定理可得,,所以,所以一定為等腰三角形,故B正確;對于C項,因為,所以,又,所以只有一解,所以,有一解,故C錯誤;對于D項,因為,所以,,整理可得,.因為,所以,所以,都是銳角,所以一定為銳角三角形,故D正確.故選:BD.11.已知三個內(nèi)角的對邊分別是,若,則下列選項正確的是()A.B.若是邊上的一點,且,則的面積的最大值為C.若是銳角三角形,則的取值范圍是D.若是的外心,,則【正確答案】BCD【分析】用正弦定理及余弦定理求出角B判斷A;利用向量線性運算及數(shù)量積運算律解得,使用基本不等式即可求出面積最大值判斷B;利用正弦定理及三角恒等變換得,求出函數(shù)值域即可判斷C,根據(jù)模長關(guān)系可得,再結(jié)合基本不等式運算求解D即可.【詳解】對于A,因,由正弦定理可得,整理可得,由余弦定理可得,即,且,所以對于B,因為,則,可得,即,當且僅當,即時,等號成立,所以,即的面積的最大值為,故B正確;對于C,因為,又因為,解得,可得,則,所以,故C正確;對于D,因為,則,可知點在優(yōu)弧上(端點除外),因為,則,又因為,且,可得,即,又因為,即,解得,當且僅當時,等號成立,可得,故D正確.故選:BCD三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知菱形的邊長為2,則向量__________.【正確答案】2【分析】應用向量加減法的幾何意義化簡得,即可得答案.【詳解】由圖知.故213.已知向量,,若,則實數(shù)a=___.【正確答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示可得答案.【詳解】因為,所以,即所以,解得,故答案為.14.在中,,,且在上,則線段的長為______.【正確答案】1【詳解】∵,∴,∴,∵且在上,∴線段為的角平分線,∴,以A為原點,如圖建立平面直角坐標系,則,D∴故答案為1四?解答題:本題共5小題,共77分,解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知向量.(1)當且時,求;(2)當,求向量與的夾角【正確答案】(1)(2)【分析】(1)由向量的坐標運算法則求得和的坐標,再由,求得的值;(2)由向量的坐標運算法則先求得的坐標,由當,求得的值,再由向量的夾角公式求得夾角的大小.【小問1詳解】因為向量,所以,,又因為,所以,所以,解得或,又因為,所以.【小問2詳解】由,,可得,又,又,所以,解得,所以,可得,,,所以,又,所以.16.設(shè)向量,,.(1)求;(2)若,,求的值;(3)若,,,求證:A,,三點共線.【正確答案】(1)1(2)2(3)證明見解析【分析】(1)先求,進而求;(2)列出方程組,求出,進而求出;(3)求出,從而得到,得到結(jié)果.小問1詳解】,;【小問2詳解】,所以,解得:,所以;【小問3詳解】因為,所以,所以A,,三點共線.17.在中,內(nèi)角的對邊分別為,已知(1)求角的大小;(2)若,求的面積【正確答案】(1)(2)【分析】(1)由代入,利用三角恒等變換化簡即可求解;(2)由余弦定理可求得,再由三角形的面積公式即可求解.【小問1詳解】由,可得,所以,所以,又因為,所以,所以,又,所以;【小問2詳解】因為,,結(jié)合余弦定理,可得,解得,所以的面積為.18.已知,且.(1)求的最小正周期,以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當時,求的最大值和最小值.【正確答案】(1)(2)最小值、最大值分別為、【分析】(1)由向量數(shù)量積的坐標表示及輔助角公式化簡得,再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)應用整體法及正弦函數(shù)性質(zhì)求區(qū)間最值即可.【小問1詳解】由題設(shè),,所以的最小正周期為,故函數(shù)周期為,令,可得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由,則,故,所以的最小值、最大值分別為、19.如圖,,是單位圓上的相異兩定點為圓心,且為銳角點為單位圓上的動點,線段交線段于點.(1)求結(jié)果用表示;(2)若.①求的取值范圍;②設(shè),記,求函數(shù)的值域.【正確答案】(1)(2)①;②【分析】(1)利用向量的數(shù)量積運算法則,結(jié)合轉(zhuǎn)化法即可得解;(2)①設(shè),利用向量的數(shù)量積運算
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