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2024-2025學(xué)年福建省廈門市高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一?單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.1.若是平面內(nèi)的一個(gè)基底,則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是()A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)基底滿足的條件逐一分析即可.【詳解】對(duì)于:,所以為共線向量,不符合基底的定義,故錯(cuò)誤;對(duì)于:,所以為共線向量,不符合基底的定義,故錯(cuò)誤;對(duì)于:,所以為共線向量,不符合基底的定義,故錯(cuò)誤;對(duì)于:設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)使,則,此方程無(wú)解,故能作為平面向量的基底.故正確.故選.2.在三角形中,,,,則(
)A. B. C.或 D.或【正確答案】B【分析】由正弦定理求解出角,然后由內(nèi)角和定理求解角即可.【詳解】由可得:,所以,又,所以,結(jié)合內(nèi)角和定理,所以.故選:B3.平面向量,滿足,,,則在上投影向量為()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】?jī)蛇吰椒胶笄蟪觯倮猛队跋蛄康墓角蠼?【詳解】,其中,所以,解得,則在上投影向量為.故選:C4.冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源,結(jié)合中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài),將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體,呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知,書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度,比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求,該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD,測(cè)得AB=5,BD=6,AC=4,AD=3,若點(diǎn)C恰好在邊BD上,請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值()A. B. C. D.【正確答案】D【分析】在中,由余弦定理得,進(jìn)而求出,再在中,利用正弦定理得解.【詳解】由題意,在中,由余弦定理得;因?yàn)椋裕谥校烧叶ɡ硭裕獾?故選:D5.在中,角所對(duì)的邊分別為,向量,若,則角的大小為()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先利用向量平行坐標(biāo)運(yùn)算得,再利用正弦定理結(jié)合兩角和正弦公式進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化,求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚遥裕烧叶ɡ砜傻茫海矗矗郑剩桑獾?故選:C6.已知為單位向量,向量滿足,,則的最大值為()A.1 B.2 C. D.4【正確答案】C【分析】設(shè),,根據(jù)求出,再根據(jù)得到,最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】依題意設(shè),,由,所以,則,又,且,所以,即,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即的最大值為.故選:C7.如圖,在平行四邊形ABCD中,,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),G為EF上的一點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)m的值為A. B. C. D.【正確答案】A【分析】可根據(jù)條件得出,并可設(shè),然后根據(jù)向量加法的幾何意義和向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得出,從而根據(jù)平面向量基本定理即可得出,解出即可.【詳解】解:,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),,設(shè),又,,解得.故選:A.本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義,向量的數(shù)乘運(yùn)算,平面向量基本定理,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.8.在中,為邊上一點(diǎn),,且的面積為,則()A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由面積公式求出,即可得到為等腰三角形,則,在中由正弦定理求出,即可求出,最后由利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋獾茫詾榈妊切危瑒t,在中由正弦定理可得,即,解得,因?yàn)椋詾殇J角,所以,所以.故選:A二?多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.若向量,則()A. B.C.在上的投影向量為 D.與的夾角為【正確答案】BC【分析】用坐標(biāo)表示出向量,用模長(zhǎng)公式求出模長(zhǎng)即可判斷A選項(xiàng);用向量坐標(biāo)求向量的數(shù)量積判斷B選項(xiàng);由向量的投影向量的公式判斷C選項(xiàng);由坐標(biāo)求出模長(zhǎng)和向量的數(shù)量積,求出向量的夾角判斷D選項(xiàng).【詳解】由題,所以,故A錯(cuò);又,故B正確;,所以在上的投影向量為:,故C正確;因?yàn)椋郑裕蔇錯(cuò)誤.故選:BC.10.對(duì)于,角所對(duì)的邊分別為,下列說(shuō)法正確的有()A.若,則一定為等腰三角形B.若,則一定為等腰三角形C.若,則有兩解D.若,則一定為銳角三角形【正確答案】BD【分析】根據(jù)已知可得或,即可判斷A項(xiàng);根據(jù)正弦定理可得,即可判斷B項(xiàng);根據(jù)已知可推得只有一解,即可判斷C項(xiàng);根據(jù)兩角和的正切公式,可推得,即可得出D項(xiàng).詳解】對(duì)于A項(xiàng),由可知,或,所以,或,所以,為等腰三角形或直角三角形,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B項(xiàng),根據(jù)正弦定理可得,,所以,所以一定為等腰三角形,故B正確;對(duì)于C項(xiàng),因?yàn)椋裕郑灾挥幸唤猓裕幸唤猓蔆錯(cuò)誤;對(duì)于D項(xiàng),因?yàn)椋裕砜傻茫?因?yàn)椋裕裕际卿J角,所以一定為銳角三角形,故D正確.故選:BD.11.已知三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是,若,則下列選項(xiàng)正確的是()A.B.若是邊上的一點(diǎn),且,則的面積的最大值為C.若是銳角三角形,則的取值范圍是D.若是的外心,,則【正確答案】BCD【分析】用正弦定理及余弦定理求出角B判斷A;利用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算律解得,使用基本不等式即可求出面積最大值判斷B;利用正弦定理及三角恒等變換得,求出函數(shù)值域即可判斷C,根據(jù)模長(zhǎng)關(guān)系可得,再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解D即可.【詳解】對(duì)于A,因,由正弦定理可得,整理可得,由余弦定理可得,即,且,所以對(duì)于B,因?yàn)椋瑒t,可得,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以,即的面積的最大值為,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)椋忠驗(yàn)椋獾茫傻茫瑒t,所以,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)椋瑒t,可知點(diǎn)在優(yōu)弧上(端點(diǎn)除外),因?yàn)椋瑒t,又因?yàn)椋遥傻茫矗忠驗(yàn)椋矗獾茫?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,可得,故D正確.故選:BCD三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知菱形的邊長(zhǎng)為2,則向量__________.【正確答案】2【分析】應(yīng)用向量加減法的幾何意義化簡(jiǎn)得,即可得答案.【詳解】由圖知.故213.已知向量,,若,則實(shí)數(shù)a=___.【正確答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕此裕獾茫蚀鸢笧?14.在中,,,且在上,則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【正確答案】1【詳解】∵,∴,∴,∵且在上,∴線段為的角平分線,∴,以A為原點(diǎn),如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則,D∴故答案為1四?解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量.(1)當(dāng)且時(shí),求;(2)當(dāng),求向量與的夾角【正確答案】(1)(2)【分析】(1)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得和的坐標(biāo),再由,求得的值;(2)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則先求得的坐標(biāo),由當(dāng),求得的值,再由向量的夾角公式求得夾角的大小.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橄蛄浚裕忠驗(yàn)椋裕裕獾没颍忠驗(yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】由,,可得,又,又,所以,解得,所以,可得,,,所以,又,所以.16.設(shè)向量,,.(1)求;(2)若,,求的值;(3)若,,,求證:A,,三點(diǎn)共線.【正確答案】(1)1(2)2(3)證明見(jiàn)解析【分析】(1)先求,進(jìn)而求;(2)列出方程組,求出,進(jìn)而求出;(3)求出,從而得到,得到結(jié)果.小問(wèn)1詳解】,;【小問(wèn)2詳解】,所以,解得:,所以;【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋裕訟,,三點(diǎn)共線.17.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知(1)求角的大小;(2)若,求的面積【正確答案】(1)(2)【分析】(1)由代入,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即可求解;(2)由余弦定理可求得,再由三角形的面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由,可得,所以,所以,又因?yàn)椋裕裕郑裕弧拘?wèn)2詳解】因?yàn)椋Y(jié)合余弦定理,可得,解得,所以的面積為.18.已知,且.(1)求的最小正周期,以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),求的最大值和最小值.【正確答案】(1)(2)最小值、最大值分別為、【分析】(1)由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式化簡(jiǎn)得,再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)應(yīng)用整體法及正弦函數(shù)性質(zhì)求區(qū)間最值即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè),,所以的最小正周期為,故函數(shù)周期為,令,可得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由,則,故,所以的最小值、最大值分別為、19.如圖,,是單位圓上的相異兩定點(diǎn)為圓心,且為銳角點(diǎn)為單位圓上的動(dòng)點(diǎn),線段交線段于點(diǎn).(1)求結(jié)果用表示;(2)若.①求的取值范圍;②設(shè),記,求函數(shù)的值域.【正確答案】(1)(2)①;②【分析】(1)利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則,結(jié)合轉(zhuǎn)化法即可得解;(2)①設(shè),利用向量的數(shù)量積運(yùn)算
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