2024-2025學年福建省廈門市高一下學期3月月考數學檢測試卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若是平面內的一個基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據基底滿足的條件逐一分析即可.【詳解】對于：，所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯誤；對于：，所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯誤；對于：，所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯誤；對于：設存在唯一的實數使，則，此方程無解，故能作為平面向量的基底.故正確.故選.2.在三角形中，，，，則（

）A. B. C.或 D.或【正確答案】B【分析】由正弦定理求解出角，然后由內角和定理求解角即可.【詳解】由可得：，所以，又，所以，結合內角和定理，所以.故選：B3.平面向量，滿足，，，則在上投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】兩邊平方后求出，再利用投影向量的公式求解.【詳解】，其中，所以，解得，則在上投影向量為.故選：C4.冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結合中國書法的藝術形態，將悠久的中國傳統文化底蘊與國際化風格融為一體，呈現出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學要求，該同學取端點繪制了△ABD，測得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點C恰好在邊BD上，請幫忙計算sin∠ACD的值（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】在中，由余弦定理得，進而求出，再在中，利用正弦定理得解.【詳解】由題意，在中，由余弦定理得；因為，所以，在中，由正弦定理所以，解得.故選：D5.在中，角所對的邊分別為，向量，若，則角的大小為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先利用向量平行坐標運算得，再利用正弦定理結合兩角和正弦公式進行邊角轉化，求解即可.【詳解】因為向量，且，所以，由正弦定理可得：，即，即，又，，故，由，解得.故選：C6.已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.4【正確答案】C【分析】設，，根據求出，再根據得到，最后根據向量模的坐標表示及二次函數的性質計算可得.【詳解】依題意設，，由，所以，則，又，且，所以，即，所以，當且僅當時取等號，即的最大值為.故選：C7.如圖，在平行四邊形ABCD中，，F為BC的中點，G為EF上的一點，且，則實數m的值為A. B. C. D.【正確答案】A【分析】可根據條件得出，并可設，然后根據向量加法的幾何意義和向量的數乘運算即可得出，從而根據平面向量基本定理即可得出，解出即可．【詳解】解：，F為BC的中點，，設，又，，解得.故選：A.本題考查了向量加法和數乘的幾何意義，向量的數乘運算，平面向量基本定理，考查了計算能力，屬于中檔題．8.在中，為邊上一點，，且的面積為，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由面積公式求出，即可得到為等腰三角形，則，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用兩角差的正弦公式計算可得.【詳解】因為，解得，所以為等腰三角形，則，在中由正弦定理可得，即，解得，因為，所以為銳角，所以，所以.故選：A二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若向量，則（）A. B.C.在上的投影向量為 D.與的夾角為【正確答案】BC【分析】用坐標表示出向量，用模長公式求出模長即可判斷A選項；用向量坐標求向量的數量積判斷B選項；由向量的投影向量的公式判斷C選項；由坐標求出模長和向量的數量積，求出向量的夾角判斷D選項.【詳解】由題，所以，故A錯；又，故B正確；，所以在上的投影向量為：，故C正確；因為，又，所以，故D錯誤.故選：BC.10.對于，角所對的邊分別為，下列說法正確的有（）A.若，則一定為等腰三角形B.若，則一定為等腰三角形C.若，則有兩解D.若，則一定為銳角三角形【正確答案】BD【分析】根據已知可得或，即可判斷A項；根據正弦定理可得，即可判斷B項；根據已知可推得只有一解，即可判斷C項；根據兩角和的正切公式，可推得，即可得出D項.詳解】對于A項，由可知，或，所以，或，所以，為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；對于B項，根據正弦定理可得，，所以，所以一定為等腰三角形，故B正確；對于C項，因為，所以，又，所以只有一解，所以，有一解，故C錯誤；對于D項，因為，所以，，整理可得，.因為，所以，所以，都是銳角，所以一定為銳角三角形，故D正確.故選：BD.11.已知三個內角的對邊分別是，若，則下列選項正確的是（）A.B.若是邊上的一點，且，則的面積的最大值為C.若是銳角三角形，則的取值范圍是D.若是的外心，，則【正確答案】BCD【分析】用正弦定理及余弦定理求出角B判斷A；利用向量線性運算及數量積運算律解得，使用基本不等式即可求出面積最大值判斷B；利用正弦定理及三角恒等變換得，求出函數值域即可判斷C，根據模長關系可得，再結合基本不等式運算求解D即可.【詳解】對于A，因，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，即，且，所以對于B，因為，則，可得，即，當且僅當，即時，等號成立，所以，即的面積的最大值為，故B正確；對于C，因為，又因為，解得，可得，則，所以，故C正確；對于D，因為，則，可知點在優弧上（端點除外），因為，則，又因為，且，可得，即，又因為，即，解得，當且僅當時，等號成立，可得，故D正確.故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知菱形的邊長為2，則向量__________.【正確答案】2【分析】應用向量加減法的幾何意義化簡得，即可得答案.【詳解】由圖知.故213.已知向量，，若，則實數a＝___．【正確答案】【分析】根據向量垂直的坐標表示可得答案.【詳解】因為，所以，即所以，解得，故答案為.14.在中，，，且在上，則線段的長為______．【正確答案】1【詳解】∵，∴，∴，∵且在上，∴線段為的角平分線，∴，以A為原點，如圖建立平面直角坐標系，則，D∴故答案為1四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知向量.（1）當且時，求；（2）當，求向量與的夾角【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由向量的坐標運算法則求得和的坐標，再由，求得的值；（2）由向量的坐標運算法則先求得的坐標，由當，求得的值，再由向量的夾角公式求得夾角的大小.【小問1詳解】因為向量，所以，，又因為，所以，所以，解得或，又因為，所以.【小問2詳解】由，，可得，又，又，所以，解得，所以，可得，，，所以，又，所以.16.設向量，，.（1）求；（2）若，，求的值；（3）若，，，求證：A，，三點共線.【正確答案】（1）1（2）2（3）證明見解析【分析】（1）先求，進而求；（2）列出方程組，求出，進而求出；（3）求出，從而得到，得到結果.小問1詳解】，；【小問2詳解】，所以，解得：，所以；【小問3詳解】因為，所以，所以A，，三點共線.17.在中，內角的對邊分別為，已知（1）求角的大小；（2）若，求的面積【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由代入，利用三角恒等變換化簡即可求解；（2）由余弦定理可求得，再由三角形的面積公式即可求解.【小問1詳解】由，可得，所以，所以，又因為，所以，所以，又，所以；【小問2詳解】因為，，結合余弦定理，可得，解得，所以的面積為.18.已知，且.（1）求的最小正周期，以及單調遞增區間；（2）當時，求的最大值和最小值.【正確答案】（1）（2）最小值、最大值分別為、【分析】（1）由向量數量積的坐標表示及輔助角公式化簡得，再由正弦函數的性質求周期和單調遞增區間；（2）應用整體法及正弦函數性質求區間最值即可.【小問1詳解】由題設，，所以的最小正周期為，故函數周期為，令，可得，所以的單調遞增區間為.【小問2詳解】由，則，故，所以的最小值、最大值分別為、19.如圖，，是單位圓上的相異兩定點為圓心，且為銳角點為單位圓上的動點，線段交線段于點.（1）求結果用表示；（2）若.①求的取值范圍；②設，記，求函數的值域.【正確答案】（1）（2）①；②【分析】（1）利用向量的數量積運算法則，結合轉化法即可得解；（2）①設，利用向量的數量積運算