專題08二次函數(shù)

閱讀與思考

二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，既有著應用非常廣泛的豐富性質(zhì)，又是進一步學習的基礎，主

要知識與方法有：

1.二次函數(shù)解析式y(tǒng)ax2bxc的系數(shù)符號，確定圖象的大致位置.

bb4acb2

2.二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，拋物線的形狀僅僅與a有關，與（，）決定拋

2a2a4a

物線對稱軸與頂點的位置.

3.二次函數(shù)的解析式通常有下列三種形式：

①一般式：yax2bxc；

②頂點式y(tǒng)a(xm)2n：；

③交點式：，其中，為方程2的兩個實根.

ya(xx1)(xx2)x1x2axbxc0

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)不同條件采用不同的設法，可使解題過程簡捷.

例題與求解

【例1】二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結論：①abc0；②bac；③

4a2bc0；④2c3b；⑤abmambm1.其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（天津市中考試題）

解題思路：由拋物線的位置確定a，b，c的符號，解題關鍵是對相關代數(shù)式的意義從函數(shù)角度理解并

能綜合推理.

【例2】若二次函數(shù)yax2bxc(a≠0)的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（－1，0），

則Sabc的值的變化范圍是（）

A.0＜S＜1B.0＜S＜2C.1＜S＜2D.－1＜S＜1

（陜西省競賽試題）

解題思路：設法將S表示為只含一個字母的代數(shù)式，求出相應字母的取值范圍，進而確定S的值的變化

范圍.

【例3】某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示的

坐標系下經(jīng)過原點O的一條拋物線（圖中標出的數(shù)據(jù)為已知條件）.

2

在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面10米，入水處距池邊的距離

3

為4米，同時，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就

會失誤.

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿

3

勢時，距池邊的水平距離為3米.此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由.（河北省中考試題）

5

3

解題思路：對于（2），判斷此次跳水會不會失誤，關鍵時求出距池邊的水平距離為3米時，該運動員

5

與跳臺的垂直距離.

【例4】如圖，在直角坐標xOy中，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（4，3），且在x軸上截得的線

段AB的長為6.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在y軸上求作一點P（不寫作法），使PA＋PC最小，并求P點坐標；

（3）在x軸的上方的拋物線上，是否存在點Q，使得以Q，A，B三點為頂點的三角形與△ABC相似？

如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.（泰州市中考試題）

解題思路：對于（1）、（2），運用對稱方法求出A，B，P點坐標；對于（3），由于未指明對應關系，需

分類討論.

【例5】如圖，已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE，其中AF＝2，BF＝1.試在AB

上求一點P，使矩形PNDM有最大面積.（遼寧省中考試題）

解題思路：設DN＝PM＝x，矩形PNDM的面積為y，建立y與x的函數(shù)關系式.解題的關鍵是：最

值點不一定是拋物線的頂點，應注意自變量的取值范圍.

【例】將拋物線2沿軸翻折，得拋物線，如圖所示.

6c1:y13x3xc2

（）請直接寫出拋物線的表達式.

1c2

（）現(xiàn)將拋物線向左平移個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為，與軸的交點從左到

2c1mMx

右依次為，；將拋物線向右也平移移個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為，與軸

ABc2mNx

的交點從左到右依次為D，E.

①當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值；

②在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的

值；若不存在，請說明理由.（江西省中考試題）

解題思路：把相應點的坐標用m的代數(shù)式表示，由圖形性質(zhì)建立m的方程.因m值不確定，故解題的

關鍵是分類討論.

能力訓練

A級

1.已知拋物線yx2(a2)x9的頂點在坐標軸上，則a的值為__________.

.已知拋物線2與軸交于點，與軸正半軸交于，兩點，且＝，＝，

2yxbxcyAxBCBC2SABC3

則b＝____________.（四川省中考試題）

3.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示.

（1）這個二次函數(shù)的解析式是y＝_________；

（2）當x＝________時，y3；

（3）根據(jù)圖象回答，當x_______時，y0.（常州市中考試題）

11

4.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點及點（，），且圖象與x軸的另一交點到原點的距離為1，則該

24

二次函數(shù)的解析式為_______________.（安徽省中考試題）

5.二次函數(shù)yax2bxc與一次函數(shù)yaxc在同一坐標系中的圖象大致是（）

ABCD

6.由于被墨水污染，一道數(shù)學題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象過點（1，0）……

求證：這個二次函數(shù)的圖象關于直線x2對稱，根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是

（）

A.過點（3，0）B.頂點是（2，－2）

C.在x軸上截得的線段長度是2D.與y軸的交點是（0，3）

（鹽城市中考試題）

7.如圖，拋物線yax2bxc與兩坐標軸的交點分別是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE

＝BE，則下列關系式不能總成立的是（）（大連市中考試題）

..2..

Ab0BSABEcCac1Dac0

第7題圖第8題圖

8.如圖，某中學的校門是一拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側距地面4米處高各有

一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，則校門的高為（精確到0.1米，水泥建筑物厚度

忽略不計）（）

A.9.2米B.9.1米C.9米D.5.1米

（吉林省中考試題）

9.如圖，是某防空部隊進行射擊訓練時在平面直角坐標系中的示意圖.在地面O，A兩個觀測點測得空

935

中固定目標C的仰角分別為α和β，OA＝1千米，tanα＝,tanβ＝,位于O點正上方千米D

2883

點處的直升機向目標C發(fā)射防空導彈，該導彈運行到達距地面最大高度3千米時，相應的水平距離為4

千米（即圖中E點）.

（1）若導彈運行為一拋物線，求拋物線的解析式；

（2）說明按（1）中軌道運行的導彈能否擊中目標的理由.

（河北省中考試題）

10.如圖，已知△ABC為正三角形，D，E分別是邊AC、BC上的點（不在頂點），∠BDE＝60°.

（1）求證：△DEC∽△BDA；

（2）若正三角形ABC的邊長為6，并設DC＝x，BE＝y(tǒng)，試求出y與x的函數(shù)關系式，并求BE最短

時，△BDE的面積.

11.如圖，在平面直角坐標系中，OB⊥OA且OB＝2OA，點A的坐標是（－1，2）.

（1）求點B的坐標；

（2）求過點A，O，B的拋物線的解析式；

（）連結，在（）中的拋物線上求出點，使.(陜西省中考試題)

3AB2PSABPSABO

12.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2mxn經(jīng)過點A（3，0），B（0，－3）兩點，點P是

直線AB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M.設點P的橫坐標為t；（1）分別求直線AB和

這條拋物線的解析式；

（2）若點P在第四象限，連結BM，AM，當線段PM最長時，求△ABM的面積；

（3）是否存在這樣的點P，使得以點P，M，B，O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫

出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.（南寧市中考試題）

B級

1.已知二次函數(shù)yx26xc的圖象頂點與坐標原點的距離為5，則c＝________.

2.如圖，四邊形ABCD是矩形，A，B兩點在x的正半軸上，C，D兩點在拋物線yx26x上.設

OA的長為m(0＜m＜3).矩形ABCD的周長為l，則l與m的函數(shù)解析式為__________________.

（昆明市中考試題）

第2題圖第3題圖第4題圖

3.如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，AB＋AC＝12，AD⊥BC，垂足為D（點D在邊BC上），且AD＝3，

當AB的長等于________時,⊙O的面積最大，最大面積為___________.

.如圖，已知二次函數(shù)2與一次函數(shù)的圖象相交于點（－

4y1axbxc(a0)y2kxm(k0)A

，），（，），則能使成立的的取值范圍時______________.(杭州市中考試題)

24B82y1y2x

5.已知函數(shù)yax2bxc的圖象如下圖所示，則函數(shù)yaxc的圖象只可能是（）

（重慶市中考試題）

ABCD

6.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，則下列6個代數(shù)式：ab，ac，abc，abc，

2ab，2ab中，其值為正的式子個數(shù)為()

A.2個B.3個C.4個D.4個以上

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

7.已知拋物線yax2bxc（a≠0）的對稱軸是x2，且經(jīng)過點P(3,0)則abc的值為（）

A.－1B.0C.1D.2

.已知二次函數(shù)2（）的對稱軸是，且當時，二次

8yaxbxca0x2x12,x2,x30

函數(shù)的值分別時，那么的大小關系是（）

yy1,y2,y3y1,y2,y3

....

Ay1y2y3By1y2y3Cy2y1y3Dy2y1y3

4

9.已知拋物線ymx2(3m)x4與x軸交于兩點A，B，與y軸交于C點，若△ABC是等腰三角

3

形，求拋物線的解析式.（“新世紀杯”初中數(shù)學競賽試題）

1

10.如圖，已知點M，N的坐標分別為（0，1），（0，－1），點P是拋物線yx2上的一個動點.

4

（1）判斷以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y1的位置關系；

1

（2）設直線PM與拋物線yx2的另一個交點為Q，連結NP，NQ，求證：∠PNM＝∠QNM.

4

（全國初中數(shù)學競賽試題）

11.已知函數(shù)yx2x12的圖象與x軸相交于相異兩點A，B，另一拋物線yax2bxc過點A，

B，頂點為P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c的值.（天津市競賽試題）

12.如圖1，點P是直線l:y2x2上的點，過點P的另一條直線m交拋物線yx2于A，B兩點.

13

（1）若直線m的解析式為yx，求A，B兩點的坐標；

22

（2）如圖2，①若點P的坐標為（－2，t），當PA＝AB時，請直接寫出點A的坐標；②試證明：對于

直線l上任意給定的一點P，在拋物線上都能找到點A，使得PA＝AB成立；

（3）如圖3，設直線l交y軸于點C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC＝∠OCP，求點P的坐標.

（武漢市中考試題）

圖1圖2圖3

專題08二次函數(shù)

例1C．

提示：③④⑤成立．

bb

對于④，當x＝－l時，y＝abc＜0，∴ac＜b．又∵＝1，則a＝代入上式，得2c

2a2

＜3b；

2

對于⑤，當x＝1時，ymax＝abc，∴abc＞ambmc，則ab＞m(amb)（m≠1）．

例2B．

提示：S＝2b，b＞0，b＝a1，a＜0．

2510

例3（1）O（0，0），B（2，—10），y＝x2x．

63

38161614

（2）x＝32＝時，y＝，此時運動員距水面的高為10－＝＜5，故此次試跳會

55333

出現(xiàn)失誤．

3

例4（1）y＝(x4)23；

9

3

（2）P（0，）；

5

（3）由點點A（l，0），C（4，3），B（7，0）得∠BAC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝120°．

①若以AB為腰，∠BAQ為頂角，使△ABQ∽△CBA，則Q（－2，33）；

②若以BA為腰，∠ABQ′為頂角，由對稱性得另一點Q′（10，33）；

③若以AB為底，AQ、BQ為腰．則Q點在拋物線的對稱軸上，舍去．

NPBCBFNP31111

例5由＝，得＝，∴NP＝x5，∴y＝x(x5)＝(x5)212.5（2

CNAF4x2222

1

≤x≤4）．∵y隨x的增大而增大，∴當x＝4時，y有最大值為(45)212.5＝12．

2

例6（l）y＝3x23．

2

（2）①令3x3＝0，得x1＝－1，x2＝1，則拋物線c1與x軸的兩個交點坐標為（－1，0），

（1，0）．∴A（1m，0），B（1m，0）．同理可得D（1m，0），E（1m，0）．當

1111

AD＝AE時，如圖1，(1m)(1m)＝(1m)(1m)，∴m＝．當AB＝AE

3323

11

時，如圖2，(1m)(1m)＝(1m)(1m)，∴m＝2．∴當m＝或2時，B、

32

D是線段AE的三等分點．

y

y

M

M

D

AOBExABOEx

②存在．連結AN、NE、EM、MA，依題意可得M（m，3），N（m，3），即M、N關于

原點O對稱，∴OM＝ON．∵A（1m，0），E（1m，0）．∴A、E關于原點O對稱，∴

OA＝OE．∴四邊形ANEM為平行四邊形．要使平行四邊形ANEM為矩形，必須滿足OM＝OA，

2

即m2(3)2＝(1m)，∴m＝1．∴當m＝1時，以點A、N、E、M為頂點的四邊形是

矩形．

A級

1．－2，4或－8．

2．－4

3．（l）x22x；（2〉3或－1；（3）x＜0或x＞2．

11

4．y＝x2x或y＝x2x．

33

提示：另一交點為（－1，0）或（1，0）．

5．D．

6．B．

7．D．

8．B．

12

9．（1）y＝x2x

123

5912

2C7,在拋物線上,故導彈能擊中目標.10.1略2yxx6

346

927

0x6.當x=3時,BE=y最短,其值為,此時SSSS3

2BDEABCABDCDE8

13

11.1B4,2,2yx2x3由題意知ABx軸.設P到AB距離為d,則

22

1113

SABdOBAO,d2P的縱坐標只能是0或4,令y=0,得x2x=0

ABP2222

341

x0,x3.符合條件的點為P0,0,P3,0.同理,當y=4的時候,x

12122

綜上符合條件的點有4個P341341

:10,0,P23,0,P3,4,P4,4

22

12.1yx3,yx22x32設Pt,t3,則Mt,t22t30t3

2

223939

則PMt3t2t3t3tt當t時,PM有最大值,

2424

127321321

此時SPMOA3點P的坐標為或

ABM2822

B級1.13或52.ｌ＝-2m2+8m+123.636提示:設O半徑為y,AB長為x,則

1

yx22x3x9.4.x2或x85.B6.A7.B8.B9.當x0

6

時當24時解得4即拋物線與軸的交點

,y4;mx3mx40,m0,x13,x2,y

33m

44

若AC=BC,由=－3,得m=－,

4?

C0,4,與x軸的2個交點為A3,0B,0.3m9

3m

4

yx24;?

9

41211122

若ACAB,由35,得m,mx2,yx2x4或yx2x4

3m16236633

2

若由424得88244故所求

3ACBC,34,m1,yxx4

3m3m7721

拋物線的解析式有上述三個.

22

設點的坐標為12則2121212

10.1Px0,x0,PMx0x01x01x01.

4444

11

又點P到直線y1的距離為x21=x21,以點P為圓心,PM為半徑的圓

4040

與直線y1相切.2如圖,分別過點P,Q作直線y1的垂線垂,足分別為H,R由.

1知PHPM,同理可得QMQR,PH,MN,QR都垂直于直線y1,PHMN

QM