專題25平面幾何的最值問題

閱讀與思考

幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量（如線段長度、角度大小、

圖形面積）等的最大值或最小值．

求幾何最值問題的基本方法有：

1．特殊位置與極端位置法：先考慮特殊位置或極端位置，確定最值的具體數據，再進行一般情形

下的推證．

2．幾何定理（公理）法：應用幾何中的不等量性質、定理．

3．數形結合法等：揭示問題中變動元素的代數關系，構造一元二次方程、二次函數等．

例題與求解

【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M為斜邊AB上一動點．過點M作MD⊥AC于點D，過M

作ME⊥CB于點E，則線段DE的最小值為．（四川省競賽試題）

解題思路：四邊形CDME為矩形，連結CM，則DE=CM，將問題轉化為求CM的最小值．

【例2】如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一點M，N，使BM+MN

的值最小，求這個最小值．（北京市競賽試題）

解題思路：作點B關于AC的對稱點B′，連結B′M，B′A，則BM=B′M，從而BM+MN=B′M+MN．要

使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，當B′，M，N三點共線且B′N⊥AB時，B′M+MN的

值最?。?/p>

【例3】如圖，已知□ABCD，AB=a，BC=b(ab)，P為AB邊上的一動點，直線DP交CB的延

長線于Q．求AP+BQ的最小值．（永州市競賽試題）

解題思路：設AP=x，把AP，BQ分別用x的代數式表示，運用不等式以a2b22ab或a+b≥2ab

（當且僅當a=b時取等號）來求最小值．

【例4】閱讀下列材料：

問題如圖1，一圓柱的底面半徑為5dm，高AB為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發

沿圓柱表面爬行到C點的最短路線．

小明設計了兩條路線：

路線1：側面展開圖中的線段AC．如圖2所示．

222222

設路線l的長度為l1，則l1=AC=AB+BC=25+(5π)=25+25π．

路線2：高線AB十底面直徑BC．如圖1所示．

222

設路線l的長度為l2，則l2=(BC+AB)=(5+10)=225．

2222222

∵l1–l2=25+25π－225=25π－200=25(π－8)，∴l1＞l2，∴l1＞l2．

所以，應選擇路線2．

(1)小明對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1分米，高AB為5分米”繼

續按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：

22

路線1：l1=AC=；

2222

路線2：l2=（AB+BC）=．∵l1l2，∴l1l2（填“＞”或“＜”），所以

應選擇路線（填“1”或“2”）較短．

(2)請你幫小明繼續研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為r，高為h時，應如何選擇上面的兩條路

線才能使螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到C點的路線最短．（衢州市中考試題）

解題思路：本題考查平面展開一最短路徑問題．比較兩個數的大小，有時比較兩個數的平方比較簡

便．比較兩個數的平方，通常讓這兩個數的平方相減．

【例5】如圖，已知邊長為4的正方形鋼板，有一個角銹蝕，其中AF=2，BF=1．為了合理利用這

塊鋼板，將在五邊形EABCD內截取一個矩形塊MDNP，使點P在AB上，且要求面積最大，求鋼板的

最大利用率．（中學生數學智能通訊賽試題）

解題思路：設DN=x，PN=y，則S=xy．建立矩形MDNP的面積S與x的函數關系式，利用二次函

數性質求S的最大值，進而求鋼板的最大利用率．

【例6】如圖，在四邊形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC，AD的延長線交于P，

求AB·S△PAB的最小值．（中學生數學智能通訊賽試題）

ABPA

解題思路：設PD=x(x>1)，根據勾股定理求出PC，證Rt△PCD∽Rt△PAB，得到，求出

CDPC

AB，根據三角形的面積公式求出y=AB·S△PAB，整理后得到y≥4，即可求出答案．

能力訓練

A級

1．如圖，將兩張長為8、寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形．容易知道當兩張紙條垂

直時，菱形的周長有最小值，那么菱形周長的最大值是．（煙臺市中考試題）

2．D是半徑為5cm的⊙O內一點，且OD=3cm，則過點O的所有弦中，最短的弦AB=cm．

（廣州市中考試題）

3．如圖，有一個長方體，它的長BC=4，寬AB=3，高BB1=5．一只小蟲由A處出發，沿長方體表

面爬行到C1，這時小蟲爬行的最短路徑的長度是．（“希望杯”邀請賽試題）

第1題圖第3題圖第4題圖第5題圖

4．如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經過點C且與邊AB相切的動圓與CB，CA分別相

交于點E，F，則線段EF長度的最小值是()（蘭州市中考試題）

A．42B．4.75C．5D．4.8

5．如圖，圓錐的母線長OA=6，底面圓的半徑為2．一小蟲在圓錐底面的點A處繞圓錐側面一周又

回到點A，則小蟲所走的最短距離為()（河北省競賽試題）

A．12B．4πC．62D．63

6．如圖，已知∠MON=40°，P是∠MON內的一定點，點A，B分別在射線OM，ON上移動，當

△PAB周長最小時，∠APB的值為()（武漢市競賽試題）

A．80°B．100°C．120°D．140°

⌒

7．如圖，AD是以等邊三角形ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周，P為AD上任意一點．若AC=5，

則四邊形ACBP周長的最大值是()（福州市中考試題）

A．15B．20C．15+52D．15+55

第6題圖第7題圖第8題圖

8．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊上一點（點E與點A，D不重合），BE的垂直平

分線交AB于M，交DC與N．

(1)設AE=x，四邊形ADNM的面積為S，寫出S關于x的函數關系式．

(2)當AE為何值時，四邊形ADNM的面積最大？最大值是多少？（山東省中考試題）

9．如圖，六邊形ABCDEF內接于半徑為r的⊙O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA．

⌒

(1)當∠BAD=75°時，求BC的長；

(2)求證：BC∥AD∥FE；

(3)設AB=x，求六邊形ABCDEF的周長l關于x的函數關系式，并指出x為何值時，l取得最大值．

10．如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D）．Q是

BC邊上任意一點．連結AQ，DQ，過P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．

(1)求證：△APE∽△ADQ；

(2)設AP的長為x，試求△PEF的面積S△PEF關于x的函數關系式，并求當P在何處時，S△PEF取得

最大值？最大值為多少？

(3)當Q在何處時，△ADQ的周長最??？（須給出確定Q在何處的過程或方法，不必證明）

（無錫市中考試題）

11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．動點M，N分別在兩腰AB，AC上(M不與A，B重合，

N不與A，C重合)，且MN∥BC．將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P．

(1)當MN為何值時，點P恰好落在BC上？

(2)設MN=x，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y，試寫出y與x的函數關系式，當x為何值

時，y的值最大，最大值是多少？（寧夏省中考試題）

B級

1．已知凸四邊形ABCD中，AB+AC+CD=16，且S四邊彤ABCD=32，那么當AC=，BD=

時，四邊形ABCD面積最大，最大值是．（“華杯賽”試題）

2．如圖，已知△ABC的內切圓半徑為r，∠A=60°，BC=23，則r的取值范圍是．（江

蘇省競賽試題）

第2題圖第3題圖第4題圖第5題圖

⌒

3．如圖⊙O的半徑為2，⊙O內的一點P到圓心的距離為1，過點P的弦與劣弧AB組成一個弓形，

則此弓形面積的最小值為．

4．如圖，△ABC的面積為1，點D，G，E和F分別在邊AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，

DE∥AC，GF∥AB，則梯形DEFG面積的最大可能值為．（上海市競賽試題）

5．已知邊長為a的正三角形ABC，兩頂點A，B分別在平面直角坐標系的x軸，y軸的正半軸上滑

動，點C在第一象限，連結OC，則OC的最大值是．（濰坊市中考試題）

6．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當PA+

PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為()（鄂州市中考試題）

248

A．17B．17C．17D．3

171717

第6題圖第7題圖第8題圖

7．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B，C重合的任意一點，連結AP，

過點P作PQ⊥AP交DC于點Q．設BP的長為xcm，CQ的長為ycm．

(1)求點P在BC上運動的過程中y的最大值；

1

(2)當y=cm時，求x的值．（河南省中考試題）

4

8．如圖，y軸正半軸上有兩點A(0，a)，B(0，b)，其中a>b>0．在x軸上取一點C，使∠ACB最大，

求C點坐標．（河北省競賽試題）

9．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點M，N分別在BC，CD上，使得△CMN的周長為2．求：

(1)∠MAN的大?。?/p>

(2)△MAN的面積的最小值．（“宇振杯”上海市競賽試題）

10，如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC于F，DE與AB

相交于點E．

(1)求證：AB·AF=CB·CD；

(2)已知AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的動點，設DP=xcm(x>0)，四邊形BCDP的面積為ycm2．

①求y關于x的函數關系式；

②當x為何值時，△PBC的周長最小？求出此時y的值．（南通市中考試題）

第6題圖第7題圖第8題圖第9題圖

11．如圖，已知直線l：ykx24k(k為實數)．

(1)求證：不論k為任何實數，直線l都過定點M，并求點M的坐標；

(2)若直線l與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值．（太原市競賽試題）

12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，點F在邊AB上，點G，H在邊BC上，四邊

形EFGH是一個邊長為y的正方形，且AE=AC．

(1)求y關于x的函數解析式；

(2)當x為何值時，y取得最大值？求出y的最大值．（上海市競賽試題）

專題25平面幾何的最值問題

12ACBC12

例1提示：當CM⊥AB時，CM值最小，CM＝例2如圖，B′M＋MN的最小

5AB5

ABBC

值為點B′到AB的距離B′F，BE＝45cm，BB′＝85cm，

AC

21

AE＝AB2BE22024585cm．在△ABB′中，由BB′?

2

1

AE＝AB?B′F，得B′F＝16cm．故BM＋MN的最小值為

2

APAD

16cm．例3由△APD∽△BPQ，得，即BQ＝

BPBQ

ADBPbaxabab

，∴AP＋BQ＝x＋b．∵x＋≥

APxxx

abab

2x2ab，∴當且僅當x＝即x＝ab時，上式等號成立．故當AP

xx

＝時，＋最小，其最小值為－．例⑴22，2＝

abAPBQ2abb4l125l2

，＜，故要選擇路線較短．⑵222，22，

49l1l2ll1hrl2h2r

222．當＝4h時，22，當＞4h時，22，

l1l2r4r4hrl1l2rl1l2

2424

4h4y1

當r＜時，l2l2．例5設DN＝x，PN＝y，則S＝xy，由△APQ∽△ABF，得即

241224x2

2

5255

x＝10－2y，代入S＝xy得S＝xy＝y(10－2y)，即S＝－2y，因3≤y≤4，而y＝不在自變量

222

5

y的取值范圍內，所以y＝不是極值點，當y＝3時，S(3)＝12，當y＝4時，S(4)＝8，故Smax＝12．此時，

2

12

鋼板的最大利用率＝80%．例6設PD＝x(x＞1)，則PC＝x21，由Rt△PCD∽△PAB，

1

4221

2

2

CDPAx11x1

得AB＝，令y＝AB?S△PAB，則y＝AB×PA×AB＝，求y的最小值，有下列

PCx2122x1

2

不同思路：①配方：＝x12x12，∴當x12，即當＝時，

y24x3y

2x12x12x1

x12

有最小值4．②運用基本不等式：y＝22

2x1

32

x12x12

＋2＝4，∴當＝，即當x＝3時，y有最小值4.③借用判別式，去分母，得x2

2x12x1

＋2（1－y）x＋1＋2y＝0，由＝4（1－y）2－4（1＋2y）＝4y（y－4）≥0，得y≥4，∴y的最小值為4.

A級△

1.17提示：當兩張紙條的對角重合時，菱形周長最大.

2.83.744.D5.D6.B

7.C提示：當點P與點D重合時，四邊形ACBP的周長最大.

8.（1）連結ME，過N作NF⊥AB于F，可證明RtEBA≌RtMNF，得MF＝AE＝x.∵ME2＝AE2＋AM2，

1AMDNAMAF

故MB2＝x2＋AM2，即（2－AM）2＝x2＋AM2，AM△＝1－△x2，∴S＝×AD＝×2

422

11

＝AM＋AM＋MF＝2AM＋AE＝2（1－x2）＋x＝－x2＋x＋2.

42

1515

（2）S＝－（x2－2x＋1）＋＝－（x－1）2＋.故當AE＝x＝1時，四邊形ADNM的面積最大，

2222

5

此時最大值為.

2

2r

9.（1）BC長為.（2）提示：連結BD.（3）過點B作BM⊥AD于M，由（2）知四邊形ABCD

3

AB2x2x2

為等腰梯形，從而BC＝AD－2AM＝2r－2AM.由BAM∽△DAB，得AM＝＝，∴BC＝2r－.

AD2rr

△

x2x2x

同理，EF＝2r－.l＝4x＋2（2r－）＝－（x－r）2＋6r（0＜x＜2r）..當x＝r時，l取得

rrr

最大值6r.

10.（1）∵∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，∴APE∽△ADQ.（2）由APE∽△ADQ，PDF∽△

1121△323△3△

ADQ，SPEF＝S□PEQF，得SPEF＝－x＋x＝－（x－）＋.故當x＝時，即P是AD的中點

233242

△△

時，SPEF取得最大值，（3）作A關于直線BC的對稱點A′，連結DA′交BC于Q，則這個Q點就是使

△

ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點.

1

11△.（1）點P恰好在BC上時，由對稱性知MN是ABC的中位線，∴當MN＝BC＝3時，點P在

2

BC上.（△

2）由已知得ABC底邊上的高h＝52-32＝4.①當0＜x≤3時，如圖1，連結AP并延長交BC于點D，

△

AD與MN交于點O.

2121212

由AMN∽△ABC，得AO＝x，y＝SPMN＝SAMN＝·x·x＝x即y＝x.當＝3時，y的值最大，

32333

△△

最△大值是3.②當3＜x＜6時，如圖2，設PMN與BC相交于點E，F，AP與BC相交于D.由①中知

△4

x4

244SPD

AO＝x，∴AP＝x，∴PD＝AP－AD＝x－4，∵PEF∽△ABC.，∴PEF＝()2＝(3)2，

333SABCAD4

△

（2

SPEFx-3)421242

即＝.∵SABC＝12，∴SPEF＝（x－3）.∴y＝SAMN－SPEF＝x－（x－3）＝－

S9333

ABC△△△△

x2＋8x－12＝－（x－4）2＋4.故當x＝4時，y的最大值為4.綜上，當x＝4時，y的值最大，最大值為

4.

B級

1.88232提示：當∠CAB＝∠ACD＝90°時，四邊形ABCD的面積達到最大值.

11

2.0＜r≤1提示：設BC＝a，CA＝b，AB＝c，b＋c＝23（r＋1），又bcsin60°＝SABC＝（a＋b＋c）

22

△

131

r，即bc·＝［23＋23（r＋1）］r，.bc＝4r（r＋2）.b，c為方程x2－23（r＋1）x＋4r

222

（r＋2）＝0的兩個根，由≥0，得（r＋1）≤22.因r＞0，r＋1＞0，故r＋1≤2，即0＜r≤1.

4

3.2－3提示：過P△作垂直于OP的弦AB，此時弓形面積最小.

9

1ADBDCGSADG2SBDE2SCFG

4.提示：設＝x，則＝1－x＝，＝x，＝（1－x）＝，S梯形DEFG

3ABBACASABCSABCSABC

21

＝1―x2―2（1－x）2＝－3（x－）2＋.

33

31

5.a提示：當OA＝OB時，OC的長最大.6.C

2

BPABx41

7.（1）由RtABP∽RtPCQ，得＝，即＝，y＝－（x－2）2＋1（0＜x＜4）.當x

CQCPy4x4

△△

112

＝2時,y最大值＝1cm.（2）由＝－（x－2）＋1，得x＝（2＋3）cm或（2－3）cm.

44

8.當過A，B兩點的圓與x軸正半軸相切時，切點C為所求.作O′D⊥AB于D.，O′D2＝O′B2－BD2

(ab)2(ab)2

＝－＝ab，O′D＝ab故點C坐標為（ab，0）.

22

9.（1）如圖，延長CB到L，使BL＝DN，則RtABL≌RtADN，得AL＝AN，∠1＝∠2，又∵N＝2―CN―CM

＝DN＋BM＝BL＋BM＝ML，且AM＝AM，△∠NAL＝△∠DAB＝90°.∴AMN≌AML，故∠MAN＝∠MAL

△△

xyz2,x2yz,

90

＝＝45°.（2）設CM＝x，CN＝y，MN＝z，則x2y2z2x2y2z2，于是，（2―y―z）

2

2＋y2＝z2.整理得2y2＋（2z－4）y＋（4－4z）＝0.∵y＞0，故＝4（z－2）2－32（1－z）≥0，即（z＋2

△

＋22）（z＋2－22）≥0.又∵z＞0，故z≥22－2，當且僅當x＝y＝2－2時等號成立.由于SAMN

11z△

＝SAML＝·ML·AB＝MN×1＝，因此，AMN的面積的最小值為2－1.

222

△

△

10.（1）提示：證明ADF∽△BAC.（2）①AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝AB2BC2＝

22△1

15912，∴CF＝AF＝6，∴yx963x27x0．

2

②∵BC＝９（定值），∴△PBC的周長最小，就是PB＋PC最小，

由（1）知，點C關于直線DE