2024-2025學年浙江省湖州市高一下學期3月數學模擬檢測試卷考生須知：1.本卷共4頁，答題前在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字；2.所必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；考試結束后，只需上交答題紙.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知平面向量，，若，則k＝（）A. B.6 C. D.－6【正確答案】A【分析】根據向量垂直的坐標表示進行求解.【詳解】因為，，，所以，解得.故選：A.2.已知復數，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】B【分析】根據復數的幾何意義即可得到答案.【詳解】由題意得在復平面內對應的點為，則其位于第二象限.故選：B.3.若向量，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】計算向量的夾角余弦值，可判斷A;計算向量的數量積，可判斷B;根據向量共線的坐標表示，可判斷C;計算的模，判斷D.【詳解】向量,故，故A錯誤；，故B錯誤；由可得，，故C錯誤；，故，故D正確，故選：D4.在中，點為BC邊上一點，且，則實數（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據題意，過點P作PD∥AB，交AC于點D，作交AB于點，然后結合平面向量的線性運算及平面向量基本定理，即可得到結果．【詳解】如圖，過點P作PD∥AB，交AC于點D，作交AB于點E，∵，∴，∴，∴，∴，∴故選：C．5.已知，為不共線的兩個單位向量，若與平行，則的值為（）A.2 B. C.-2 D.【正確答案】C【分析】根據向量共線定理求解.【詳解】因為與平行，所以存在實數使，所以，由，解得.故選：C.6.在復數范圍內方程的解為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題設得，即可求復數解.【詳解】由題設.故選：C7.若中，，則此三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【正確答案】A【分析】根據三角函數和與差的正弦公式，即可判斷三角形的形狀.【詳解】中，，已知等式變形得，，即，整理得，即，或（不合題意，舍去）．，，則此三角形形狀為直角三角形．故選：A8.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑，兩點間的距離，現在珊瑚群島上取兩點，，測得，，，，則，兩點的距離為（）A. B.80 C.160 D.【正確答案】D【分析】首先利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖所示：在△中，，，，，由正弦定理，得，解得，在△中，，，，，則，在△中，由余弦定理，得，解得，即,兩點間的距離為，故選：．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數滿足，（是虛數單位），則以下命題正確的是（）A. B.的虛部為C. D.，是方程的兩個根【正確答案】ACD【分析】根據復數的四則運算法則求出，根據復數的基本概念逐項判斷即可．【詳解】由題意，.對于A，，故A正確；對于B，的虛部為，故B錯誤；對于C，復數的共軛復數，故C正確；對于D，將代入方程可得，，同理，將代入方程可得，，所以，，是方程的兩個根，故D正確；故選：ACD.10.已知是平面內的一個基底，則下列也是平面內一個基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】根據向量是否共線即可結合選項判斷.【詳解】對于A，由于，故共線，不能成為基底，對于B，不共線，可以作為基底，對于C，由于，所以共線，故不可以作為基底，對于D，不共線，可以作為基底，故選：BD11.如圖，已知梯形中，，，點，分別為線段，上的動點，，點為線段中點，則以下說法正確的是（）A.若，則 B.C. D.若為的外心，則【正確答案】ABD【分析】根據梯形的中位線即可判斷A；利用平面向量夾角的坐標表示和幾何意義計算即可判斷BC；如圖，根據三角形全等的判斷方法證明，進而證明、為正三角形，結合外心的定義即可判斷D.【詳解】A：當時，分別是的中點，則，所以，故A正確；B：連接，則為正三角形，得，建立如圖平面直角坐標系，則，所以，有，，所以，故B正確；C：由選項B知，，所以，所以，故C錯誤；D：在上取，使得，連接，，則，所以，得，又，所以，即，則為正三角形，得，同理可得為正三角形，得，所以，即為的外心，所以，即，故D正確.故選：ABD關鍵點點睛：解答選項D的關鍵是在上取，利用三角形全等的判斷方法證明、為正三角形，得到即為所求.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為________．【正確答案】【分析】根據題意，結合向量的數量積的運算，以及投影向量的計算方法，準確計算，即可求解.【詳解】由平面向量的夾角為，且，，可得，且，所以向量在方向上的投影向量為.故答案.13.若的面積為，則邊長AB的長度等于______【正確答案】2【分析】由三角形面積公式求得，判斷為正三角形，從而可得結果.【詳解】，，所以，又因為，，所以，為正三角形，，故答案為2.本題主要考查三角形面積公式的應用，以及正三角形的性質，屬于基礎題.14.設，且，則的最小值為__________.【正確答案】【分析】根據復數的定義設的代數式，利用復數的加減運算結合模長計算可得到參數間的關系，再利用基本不等式可求得最值.【詳解】設，因為，即，所以，則，解得所以，當且僅當，即時等號成立.所以，的最小值為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.實數取什么值時，復數是下列數？（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數.【正確答案】（1）或;（2）且；（3）.【分析】根據復數的概念分別列等式求解即可.【小問1詳解】當復數是實數時，，解得或；【小問2詳解】當復數虛數時，，解得且；小問3詳解】當復數是純虛數時，則，解得.16.已知，，且與的夾角.（1）求；（2）若與平行，求的值.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）利用向量模長計算公式，結合向量數量積計算公式，計算即可；（2）利用向量共線定理求解.【小問1詳解】由題意，，所以【小問2詳解】因為與平行，所以存在實數使得，則有，解得所以，17.已知復數z與均為純虛數．（1）求z；（2）若是關于x的方程的一個根，求實數的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設，化簡，根據其純虛數可得，即可求得答案；（2）利用（1）的結論可得為方程的一個根，代入化簡結合復數相等，可列出方程組，求得答案.【小問1詳解】設，則由題意得，由為純虛數，得解得，所以.【小問2詳解】由（1）可知為方程的一個根，∴，整理得，∴，得.18.的內角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若點在上，且滿足，求面積的最大值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換，結合三角形內角取值范圍、特殊角的三角函數值求解即可；（2）利用向量的線性運算、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理得，，，，，，，，.【小問2詳解】，，，又，，，，當且僅當時，等號成立，的面積，即面積的最大值為.19.如圖，在中，已知，BC邊上中點為M，AC邊上的中點為N，AM，BN相交于點P．（1）求；（2）求的余弦值；（3）過點P作直線交邊AB，BC于點E，F，求該直線將分成的上下兩部分圖形的面積之比的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）建立平面直角坐標系，利用向量的夾角的坐標運算求解；（3）設出線段的比例關系，用向量共線的條件轉化，消去變量求范圍即可.【小問1詳解】在中，，由余弦定理得，解得，（負值舍去）故；【小問2詳解】以為坐標原點建立平面直角坐標系，得，設，由兩點距離公式得，，解得，（負根