專題28順思逆想

閱讀與思考

解數學題時，大多是從條件出發，進行正面的順向思考．對有些數學問題，如果從正面去直接求解，

思維常常受阻，這時可以改變一下思維的角度，從問題的反面進行思考．順向推導有困難時就逆向推導，

直接證明有困難時就間接證明，探求問題的可能性有困難時就探求不可能性等，我們把這種“倒著干”

的思維方法稱為“逆向思維”.

逆向思維解題的常見形式有：

1．逆用定義；

2．逆用公式、法則；

3．常量與變量的換位；

4．主元與輔元的互換；

5．反倒否定；

6.反證法.

例題與求解

【例1】設a，b，c均為非零實數，并且ab2ab，bc3bc，ac4ca，則

abc________．（北京市競賽試題）

解題思路：直接通過解方程組求a，b，c的值較困難，就對已知條件變形，由ab2ab，得

ab1111

，逆用分式加法法則得，這是解本例的關鍵．

ab2ab2

【例2】設三個方程x24mx4m22m30，x22m1xm20，

m1x22mxm10中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是()

3131

A．mB.m≤或m≥

2424

3111

C．m≤或m≥D．＜m≤

2242

（江蘇省競賽試題）

解題思路：三個方程中至少有一個方程有實根的可能情況有七種，逐一討論情況復雜．若從反面考

慮，就只需研究三個方程均無實根一種情況，問題就簡單得多．

【例3】求出所有這樣的正整數a，使得二次方程ax222a1x4a30至少有一個整數根．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：常規的想法是用求根公式先求出方程的根，再討論方程至少有一個整數根的條件，從而

求出整數a，這樣解過程復雜，由于a的最高次數為1，不妨著眼于a來考慮．

分類討論法是解數學題中一個重要方法，但如何準確分類卻是一個技巧性很強的工作，有時為避免

分類使解題過程中得以優化，常用如下方法：

①整體考慮；

②數形結合；

③反面思考．

“順難則逆，直難則曲，正難則反”．在具體應用中，分析法、逆推法、反證法、常量與變量的換

位、主元與輔元的互換、公式定理的逆用，都體現了轉換角度昀思考．

【例4】證明：當n為自然數時，22n1形式的數不能表示為兩個整數的平方差．

（西安市競賽試題）

解題思路：由于n為任意自然數，不可能逐個試湊，而命題的結論又是否定形式，故可考慮用反證

法來證明.

【例5】解方程：x423x2x330．

解題思路：由于x次數較高，直接求解較困難，不妨令3為主元，將原方程轉化為關于3的方

程進行求解.

【例6】已知一平面內的任意四點，其中任何三點都不在一條直線上．試問：是否一定能從這樣的

四點中選出三點構成一個三角形，使得這個三角形至少有一內角不大于450？請證明你的結論．

（江蘇省競賽試題）

解題思路：結論是以疑問形式出現的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，則說明結論

是否定的；若推不出矛盾，則可考慮去證明結論是肯定的，

能力訓練

11114

1．方程的解是___________.

x2xx23x2x25x6x27x1221

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

5k322

2．若52，則k=__________.

5332

（“五羊杯”邀請賽試題）

3

3．已知x滿足x22x2，那么x22x的值為_____________.

x22x

（河南省競賽試題）

4.若a，b，c為實數，Aa22b，Bb22c，Cc22a，則A，B，C中至

236

少有一個的值大于______________.

32

5.化簡x13x13x11的結果是()

33

A．x31B.x3C．x2D．x1

111

6．化簡的值是()

211232231009999100

39

A．B．C.1D．2

410

（新加坡中學生數學競賽試題）

7．方程x23x20的最小一個根的負倒數是()

11

A．B．37

22

11

C．317D.173

24

8．設A，B，C，D為平面上的任意四點．如果其中任何三點不在一條直線上，則△ABC，△ABD，△

ACD，△BCD中至少有一個三角形的某個內角滿足()

A．不超過150B．不超過300

C．不超過450D．以上說法都不對

9．已知三個關于x的方程x2xm0，m1x22x10，m2x22x10.若其中至少

有兩個方程有實根，則實數m的取值范圍為()

1

A．m≤2B．m≤或1≤m≤2

4

1

C．m≥1D．≤m≤1

4

10.某班參加運動會的19名運動員的運動服號碼恰是1～19號，這些運動員隨意地站成一個圓圈，則一

定有順次相鄰的某3名運動員，他們運動服號碼之和不小于32，請你說明理由．

（“希望杯”邀請賽試題）

11.證明：如果整系數二次方程ax2bxc0a0有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數．

（波蘭中學生競賽試題）

1800

12.已知平面上n條直線兩兩相交，求證：它們的交角中至少有一個不大于

n

（天津市競賽試題）

13.在一次馬拉松長跑比賽上，有100位選手參加．大會準備了100塊標有整數1到100的號碼布，分

發給每位選手。選手們被要求在比賽結束時，將自己的號碼布上的數與到達終點時的名次相加，并

將這個和數交上去．問這樣交上去的100個數的末2位數字是否可能都不相同？請回答可能或不可

能，并清楚地說明理由．（注：沒有同時到達終點的選手）

（日本奧林匹克競賽試題）

14.有n(n≥b)名乒乓球選手進行單循環賽，比賽結果表明：任意5人中既有1人勝于其余4人，又有

1人負于其余4人．求證：必有1人獲全勝．

（《學習報》公開賽試題）

15.如果正整數a和b之和是n，則n可變為ab，問能不能用這種方法數次，將22變成2001？

（世界城際間數學聯賽試題）

16.能夠找到這樣的四個正整數，使得它們中任兩個數的積與2002的和都是完全平方數嗎？若能夠，

請舉出一例；若不能夠，請說明理由．

（北京市競賽試題）

17.【問題背景】在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．

小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格

點△ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)，如圖1所示，這樣不需求△ABC的高，而借

用網格就能計算出它的面積．

(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：_____________.

(2)【思維拓展】我們把上述求△ABC面積的方法叫作構圖法.若△ABC三邊的長分別為5a，22a，

17a(a0)，請利用圖2的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的△ABC，并求出它

的面積．

(3)【探索創新】若△ABC