2024-2025學年廣東省江門市鶴山市高二下學期第一次月考數學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在數列中，，且，則（）A. B. C.2 D.1【正確答案】A【分析】根據數列的遞推公式，發現規律，即數列為周期數列，然后求出即可.【詳解】；則;;數列為周期數列，周期為3.當時，當時..故選：A.2.已知函數在處可導，且則（）A. B. C. D.2【正確答案】A【分析】根據導數的定義計算可得.【詳解】因為函數在處可導，且，所以.故選：A3.已知等差數列的前項和為，若，則（）A.12 B.16 C.20 D.22【正確答案】D【分析】由等差數列及前項和的性質即可求解；【詳解】由，可得：，所以，又，故選：D4.已知數列滿足，，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據得，由題意，故為等比數列，可得，進而可得.【詳解】由得，又，故數列是以首項為1，公比為2的等比數列，故，得，故，故選：C5.已知數列通項公式是（），若數列是遞增數列，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據單調性的定義即可列不等式求解.【詳解】為單調遞增的數列，故，解得，故選：C6.已知函數（是的導函數），則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】對于原函數和導函數，分別取，代入運算求解即可.【詳解】因為，則，又因為，當時，，解得，所以.故選：D.7.已知等差數列的前項和為，則（）A.36 B.28 C.24 D.30【正確答案】D【分析】利用等差數列的通項公式和前項和公式求解即可.【詳解】設等差數列的公差為，由題意可得，解得，又因為，所以，所以，故選：D8.若點是曲線上任意一點，則點到直線距離最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題知過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小，再根據導數的幾何意義求解即可.【詳解】解：過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小.設切點為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時點到直線距離.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列導數運算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】根據導數運算法則及復合函數導數的求法逐項判斷可得結果.【詳解】令，，因為，，所以，故A正確；因為為常數，所以，故B錯誤；令，，因為，，所以，故C正確；因為，所以，故D錯誤.故選：AC.10.已知數列是等比數列，則下列命題中正確的是（）A.數列是等比數列B.若，，則C.若數列的前項和，則D.若，公比，則數列是遞增數列【正確答案】AD【分析】對于A，根據條件，利用等比數列的定義，即可求解；對于B，根據選項條件，直接求出，即可求解；對于B，利用，求接求出，再利用等比數列的性，即可求解，對于D，根據通項公式，結合選項條件及指數函數的性質，即可求解.【詳解】設等比數列的公比為，首項為，對于選項A，因為為常數，所以數列是等比數列，故選項A正確，對于選項B，因為，，則，解得，所以，故選項B錯誤，對于選項C，因為，令，得到，令，得到，所以，令，得到，所以，由題有，解得，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，又，公比，所以數列是遞增數列，故選項D正確，故選：AD.11.已知數列的前n項和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（）A.數列為等差數列 B.數列為等比數列C. D.【正確答案】BCD【分析】根據遞推式可得、，再根據等差、等比數列的定義判斷A、B；應用累加法求數列通項公式判斷C；應用分組求和及等比數列前n項和公式求判斷D.【詳解】因為，所以，則是首項為，公比為2的等比數列，故A錯誤；根據題意得，，所以數列為首項為1，公比為1的等比數列，則

，故B正確；所以，故C正確；，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.物體位移s和時間t滿足函數關系，則當時，物體的瞬時速度為______．【正確答案】80【分析】由瞬時變化速度計算公式可求當時，物體的瞬時速度.【詳解】因為.所以該物體時，物體的瞬時速度為.故8013.若數列滿足，，則_______．【正確答案】【分析】根據題意得到，結合累乘法即可求解.【詳解】由，得．所以，又滿足上式，所以．故答案為.14.已知,分別是等差數列的前項和，且，則________【正確答案】【分析】根據條件，利用等差數列的性質得，再結合條件，即可求解.【詳解】因為是等差數列，所以，又，所以，故答案為.四、解答題：本題5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數的圖象在點處的切線為．（1）求函數的解析式;（2）若曲線在點P處的切線與直線垂直，求點P的橫坐標．【正確答案】（1）（2）2【分析】（1）利用導數的意義求出切線的斜率，再利用切線方程求出即可；（2）由兩直線垂直得到斜率關系，再利用導數的意義求解即可；【小問1詳解】函數，，在點處的切線為，解得，所以【小問2詳解】設，則由題可知，即，所以P的橫坐標為2．16.記為數列的前n項和，已知（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由的關系求的通項公式；（2）應用錯位相減法及等比數列前n項和公式求【小問1詳解】當時，，當時，滿足上式，所以.【小問2詳解】由題知，所以，，兩式相減得所以17.數列中，（1）求數列通項公式；（2）設記數列的前項和為，證明.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由累加法求解數列的通項公式即可；（2）由裂項相消法求解數列的前項和為，然后證明即可.【小問1詳解】因為，即，所以當時，，將以上各式相加，得，則，當時也符合上式，故【小問2詳解】由題意，.18.已知函數.（1）求在區間上的平均變化率；（2）求曲線在點處的切線方程；（3）求曲線過點的切線方程.【正確答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）由平均變化率的公式即可求解；（2）依次求出的值，利用導數的幾何意義即可求切線方程；（3）首先設出切點坐標，利用可求出切點坐標，可得切線方程．【小問1詳解】因為，所以在區間上的平均變化率為．【小問2詳解】由，有，從而，，則切點坐標為，切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即．小問3詳解】易知直線與曲線不相切，故設切點為，則由，可得，即，解得或，當時，切點為，，此時滿足題意的切線方程為，顯然它過點，當時，切點為，，此時滿足題意的切線方程為，即，顯然它過點，綜上所述，滿足題意的切線方程為或．19.在數列中，，.（1）證明：數列是等差數列.（2）求的通項公式.（3）若，求數列的前項和.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3