2024-2025學年福建省莆田市高一下學期第一次月考數學檢測試題一、單選題：（每題5分，共40分.在四個選項中只有一項是符合題目要求.）1.設分別為內角的對邊，則下列等式成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據余弦定理，即可求解.【詳解】根據余弦定理可知，.故選：B2.下面命題中，正確的是（）A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則【正確答案】C【分析】根據向量的概念逐一判斷【詳解】對于，若，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項錯誤；對于，向量無法比較大小，故選項錯誤；對于，若，則兩向量反向，因此，故選項正確；對于，若，則，故選項錯誤.故選：C3.已知向量，，若與共線，則實數（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【正確答案】C【分析】根據向量共線的坐標運算求解即可.【詳解】向量，，若與共線，則，所以.故選：C.4.已知四邊形是平行四邊形，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據平行四邊形的性質結合向量的坐標運算，即可得答案.【詳解】因為四邊形是平行四邊形，故,故選：A5.若在中，，且，，則的形狀是（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【正確答案】D【分析】結合平面向量數量積的運算律得，即可判斷求解．【詳解】在中，，且，，則，即，即AB⊥BC，，則的形狀是等腰直角三角形．故選：D6.如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由圖可知，由正弦定理即可求出BC的值.【詳解】由題意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為.故選：B.7.中，角，，的對邊分別是，，，且，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由已知可得，再由正弦定理得到，即可求出，從而得解.【詳解】由有，由正弦定理有，又，即，所以，又，則.故選：D8.在等腰梯形中，已知，，，.動點和分別在線段和上，且，，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據向量的運算法則，先化簡得到，，再利用向量的數據的運算公式，化簡得到，結合基本不等式，即可求解.【詳解】在等腰梯形中，已知，且，所以，，因為，，則，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設是平面內一個基底，則下列四組基底中，能作為基底的有（）A.與 B.與C.與 D.與【正確答案】ACD【分析】根據向量共線分別判斷各個選項即可得出基底.【詳解】選項A，假設與共線，則存在實數，使得，即，因為，是基底，所以無解，所以與不共線，可以作為基底.選項B，因為，所以與共線，不能作為基底.選項C，假設與共線，則存在實數，使得，即，因為，是基底，所以無解，所以與不共線，可以作為基底.選項D，假設與共線，則存在實數，使得，即，因為，是基底，所以無解，所以與不共線，可以作為基底.故選：ACD.10.如圖，在四邊形中，若，則圖中相等的向量是（）A與 B.與 C.與 D.與【正確答案】AD【分析】由可得四邊形是平行四邊形，從而結合平行四邊形的性質對選項逐一判斷即可．【詳解】對A,由，四邊形是平行四邊形，所以，選項A正確；對BD,平行四邊形對角線與互相平分，得，，選項B錯誤，選項D正確；對C,顯然與相交，他們不是相等向量，選項C錯誤；故選：AD11.已知中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列命題中，正確的命題是（）A.若，則為等腰三角形B若，則C.若，，則面積最大值為3D.，角B的平分線BD交AC邊于D，且，則的最小值為12【正確答案】BCD【分析】根據正弦定理和二倍角公式即可判斷AB；對C，利用余弦定理和二次函數性質即可判斷；對D，根據三角形面積公式和乘“1”法即可判斷.【詳解】對于A：若，根據正弦定理則，即，因為，所以或即或，所以為等腰三角形或直角三角形，A錯誤；對B，因為，則，，則根據正弦定理有，故B正確；對C，設，.則，，所以，當時，三角形的面積取得最大值，故C正確；對D，由題意可知，，由角平分線性質和三角形面積公式得，化簡得，即，因此，當且僅當，即時取等號，即的最小值為，則D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，若，，則__________【正確答案】【分析】根據向量的減法，可得答案.【詳解】.故答案為.13.在中，若，，，則__________【正確答案】【分析】利用求出，再利用正弦定理即可求解.【詳解】因為，且，所以，由正弦定理，可得.故14.圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為______．【正確答案】54m【分析】根據題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【詳解】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故54m.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，且與夾角為120°，求：（1）；（2）在上的投影；（3）與的夾角.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據向量的數量積公式計算即可；（2）根據投影的定義即可求出；（3）根據向量的夾角公式計算即可.【詳解】解：（1）∵，，且與夾角為120°，∴，∴（2）在上的投影為，（3）∵，∴，∴∴與的夾角為.本題考查了向量的數量積公式和向量的夾角公式，屬于基礎題.16.已知.（1）當k為何值時，與共線；（2）若，且三點共線，求m的值以及.【正確答案】（1）（2），【分析】（1）利用平面向量共線的坐標表示計算即可；（2）利用平面向量共線的坐標表示，及模長的坐標公式計算即可.【小問1詳解】易知，所以，即時，與共線；【小問2詳解】易知，由三點共線得，17.在中，內角所對的邊分別為，，，已知已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，判斷的形狀．【正確答案】（1）；（2）；（3）正三角形．【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.（2）代入給定等式計算作答（3）根據已知條件可得，再結合（1）確定三角形的形狀作答.【小問1詳解】在中，由及余弦定理得，而，所以.【小問2詳解】由，及，得，所以.【小問3詳解】由及，得，則，由（1）知，所以為正三角形.18.已知的內角，，所對的邊分別為，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由平行向量的坐標公式代入化簡結合正弦定理即可得出答案；（2）由余弦定理求出，進而結合三角形的面積公式可得出答案.【小問1詳解】因為，，且，則.，由正弦定理得，因為，所以，可得，即且，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，或（舍），所以的面積.19.如圖所示，已知在中，點是以為