2024-2025學(xué)年福建省寧德市福鼎市高二下學(xué)期第一次月考（3月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于（）A.軸對(duì)稱 B.平面對(duì)稱 C.軸對(duì)稱 D.平面對(duì)稱【正確答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合已知條件即可得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)和的縱坐標(biāo)相等，其余兩個(gè)坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱.故選：C2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由基本初等函數(shù)求導(dǎo)法則即可得解.【詳解】由題意，，，.故選：C.3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.，【正確答案】A【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定的減區(qū)間.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；的減區(qū)間是；故選：A.4.設(shè)，是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且、、三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.8【正確答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算表示，根據(jù)、、三點(diǎn)共線可得，建立等量關(guān)系可得的值.【詳解】∵，，，∴，∵、、三點(diǎn)共線，∴，使得，即，∴，，解得．故選：C．5.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的斜率公式結(jié)合圖形可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，如圖，分別表示在點(diǎn)處切線的斜率,又，由圖可知，故選：B.6.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成方程有兩個(gè)不同的正根.再設(shè)函數(shù)，分析其單調(diào)性即函數(shù)值的符號(hào)，數(shù)形結(jié)合，可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋ǎ?因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的正的變號(hào)根.由（）.設(shè)（），則.由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.且，，當(dāng)時(shí)，.所以要想方程（）有兩個(gè)不同的解，須有，即.故選：D7.已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再依次比較各項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)值大小即可.【詳解】設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，，化簡(jiǎn)得，A正確；對(duì)于B，，化簡(jiǎn)得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，化簡(jiǎn)得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，化簡(jiǎn)得，D錯(cuò)誤.故選：A關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性是比較大小的關(guān)鍵.8.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】依題意可得對(duì)任意，不等式恒成立，令，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到對(duì)任意恒成立，參變分離可得對(duì)任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可得解.【詳解】因?qū)θ我猓坏仁胶愠闪⒓磳?duì)任意，不等式恒成立，即對(duì)任意，不等式恒成立，因?yàn)椋裕郑裕睿瑒t，所以在上單調(diào)遞增，由對(duì)恒成立，得到對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，故得，即的取值范圍是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極小值 D.函數(shù)在處取得極大值【正確答案】AD【分析】利用函數(shù)的函數(shù)的圖象，可判斷函數(shù)的單增區(qū)間與單減區(qū)間，進(jìn)而可得極大值點(diǎn)，從而可得結(jié)論.【詳解】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故A正確；所以函數(shù)在處取得極大值，不是極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（

）A.有一個(gè)零點(diǎn)B.的極小值為C.的對(duì)稱中心為D.直線是曲線的切線【正確答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，得出極值點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的大致圖像即可判斷A和B，利用函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)中心對(duì)稱的結(jié)論即可判斷C，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：，令或，令，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，可畫(huà)出函數(shù)的大致圖像如圖所示：故A正確；對(duì)于B：由選項(xiàng)A分析可知，函數(shù)的極小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：∵，故C正確；對(duì)于D：令，又∴斜率為-1切線方程為，即，故D正確；故選：ACD11.定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若，且，則下列不等式一定正確的是（）A.B.C.D.【正確答案】ABD【分析】對(duì)于AB：由題意可知在上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于CD：令，分析可知在上單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而分析判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)椋芍谏蠁握{(diào)遞增，且，則，所以，A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)椋遥瑒t，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，B正確；C選項(xiàng)：令，則，可知上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕矗忠驗(yàn)椋瑒t，可得，所以，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由C可知，且，則，令當(dāng)單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)在處有極值10，則實(shí)數(shù)_________．【正確答案】【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，由題意得和，聯(lián)立求得，再回代檢驗(yàn)是否符合題意即得.【詳解】由求導(dǎo)得，，依題意，①，②，聯(lián)立①，②，解得：或.當(dāng)，時(shí)，，，函數(shù)為增函數(shù)，顯然不符合題意，故舍去；當(dāng)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)，故在處有極小值為，符合題意.故答案為.13.已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，請(qǐng)寫(xiě)出與的一條公切線的方程______.【正確答案】或(寫(xiě)出其中一條即可)【分析】分別設(shè)、并利用導(dǎo)數(shù)幾何意義寫(xiě)出切線方程，根據(jù)所得切線相同列方程求參數(shù)，即可得切線方程.【詳解】設(shè)公切線與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，，，則公切線斜率，公切線方程為或，整理得或，所以，即，，解得或，公切線方程為或.故或<(寫(xiě)出其中一條即可)14.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______.【正確答案】【分析】令，分離，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域是，令，得，令，令，令解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減.，當(dāng)時(shí)，，，所以，要使有兩個(gè)解，則需.故方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，可以考慮分離參數(shù)法，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行求解.在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要是一次求導(dǎo)無(wú)法解決，可以考慮利用多次求導(dǎo)來(lái)進(jìn)行求解.求解過(guò)程中要注意原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)（），且．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）將代入的表達(dá)式即可解出，從而得到的解析式；（2）由導(dǎo)數(shù)的定義可知所求直線為經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，然后將點(diǎn)斜式方程化為一般式即可.【小問(wèn)1詳解】由，得，又，所以，解得，即．【小問(wèn)2詳解】由（1），得，，所以，即切點(diǎn)為，又切線的斜率為，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．16.已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有極值．（1）求，的值；（2）求在上的最大值和最小值．【正確答案】（1），；（2）最大值為，最小值為．【分析】（1）由極值的必要條件以及可列方程求解參數(shù)；（2）求導(dǎo)得出在的單調(diào)性，比較極值點(diǎn)與端點(diǎn)函數(shù)值即可得解.【小問(wèn)1詳解】由，得，又當(dāng)時(shí)，有極值，所以，解得所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，有極小值．所以，滿足題意．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，．令，得，，，的值隨的變化情況如下表：34

＋0－0＋

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表可知在上的最大值為，最小值為．17.現(xiàn)有一張長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形鐵皮，準(zhǔn)備用它做成一只無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵皮盒，要求鐵皮材料的利用率為（剪切與焊接不可避免），不考慮剪切與焊接處的損耗與增加.如圖，在長(zhǎng)方形的一個(gè)角剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側(cè)面.設(shè)做成后的長(zhǎng)方體鐵皮盒的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為，體積為.（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的范圍；（2）要使得無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵盒的容積最大，對(duì)應(yīng)的為多少？并求出的最大值.【正確答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)容積取最大值，且最大值為.【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積等于無(wú)蓋長(zhǎng)方體的表面積可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合實(shí)際意義可得出的取值范圍；（2）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)可求出的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椴牧侠寐蕿椋裕矗灰驗(yàn)殚L(zhǎng)方形鐵皮長(zhǎng)為，寬為，故，綜上，.【小問(wèn)2詳解】鐵皮盒體積，其中，，令，得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為.18.已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.（1）設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，試討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若是的極大值點(diǎn)，判斷并證明與大小關(guān)系.【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2），證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出，分為和兩種情形，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論結(jié)合極大值的概念，求出滿足，求出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.小問(wèn)1詳解】∵，∴令，則.①若，則，所以單調(diào)遞增；②若，則當(dāng)時(shí)，，所以所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；∵，且故存在兩個(gè)零點(diǎn)且.的符號(hào)及的單調(diào)性如下表所示：x+0-0+↗極大↘極小↗由于是的一個(gè)零點(diǎn)，故，所以于，∵，∴所以.19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明.【正確答案】（1）（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義，結(jié)合常變量分離法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)所證明不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】，該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，由，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交