第20頁（共20頁）2024-2025學年上學期高一數學北師大版（2019）期中必刷常考題之任意角一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?赫章縣期末）已知角α＝631°，那么α的終邊在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2025?鎮雄縣校級開學）若θ為第四象限角，且sinθ2＜A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．（2024秋?浦東新區校級期末）經過5分鐘，分針的轉動角為（）A．﹣60° B．﹣30° C．30° D．60°4．（2024秋?棗莊期末）已知α是第一象限角，那么α2A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角5．（2024秋?山西期末）與﹣160°角終邊相同的角是（）A．160° B．260° C．460° D．560°二．多選題（共4小題）（多選）6．（2025?鄧州市校級開學）下列說法，不正確的是（）A．三角形的內角必是第一、二象限角 B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等 C．鈍角比第三象限角小 D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角（多選）7．（2024秋?鹽城期末）下列命題中正確的是（）A．“α=π6”是“B．若角α是第三象限角，則α3可能在第三象限C．若tanα＜0且sinα＞0，則α為第二象限角 D．銳角α終邊上一點坐標為P（sin37°，cos37°），則α＝53°（多選）8．（2024秋?廣東期末）下列命題正確的是（）A．若a＞b，d＜c，則a﹣d＞b﹣c B．終邊在y軸上的角的集合為{αC．若α為鈍角，則2α不一定是第三或第四象限角 D．若f(x（多選）9．（2024秋?十堰期末）θ是第二象限角的充分不必要條件有（）A．θ=-10π9C．tanθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＜0三．填空題（共3小題）10．（2025?鄧州市校級開學）若將時鐘撥慢20min，則分針轉過的角是；若時鐘從6時走到9時，則時針轉過的角是．11．（2024秋?浦東新區校級期末）已知角α＝1865°，則α的終邊在第象限．12．（2024秋?浦東新區校級期末）2025°是第象限角．四．解答題（共3小題）13．（2025?鄧州市校級開學）已知集合A＝{α|30°+k?180°＜α＜90°+k?180°，k∈Z}，集合B＝{β|﹣45°+k?360°＜β＜45°+k?360°，k∈Z}，求A∩B．14．（2024春?余干縣校級月考）用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：15．（2023秋?偃師區校級月考）如圖，將圓O放在平面直角坐標系中，圓心與原點重合．（1）如何表示圖中終邊落在射線OB上的角？（2）如何表示終邊落在圖中陰影區域角φ的范圍？（3）對頂區域的角如何表示？

2024-2025學年上學期高一數學北師大版（2019）期中必刷常考題之任意角參考答案與試題解析題號12345答案DDBDD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?赫章縣期末）已知角α＝631°，那么α的終邊在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】象限角、軸線角．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】D【分析】根據終邊相同角的定義計算確定角的象限即可．【解答】解：由題意α＝631°＝360°+271°，所以角α與271°角終邊相同，又因為270°＜271°＜360°，故α的終邊在第四象限．故選：D．【點評】本題考查了終邊相同角的定義，屬于基礎題．2．（2025?鎮雄縣校級開學）若θ為第四象限角，且sinθ2＜A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【考點】象限角、軸線角．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】D【分析】若θ為第四象限角，得到θ范圍，進而得到θ2【解答】解：由題意可得角θ滿足：3π2+2kπ＜則3π4+kπ＜當k為偶數時，角θ2為第二象限角，當k為奇數時，角θ又sinθ2＜故選：D．【點評】本題考查了象限角的范圍，屬于基礎題．3．（2024秋?浦東新區校級期末）經過5分鐘，分針的轉動角為（）A．﹣60° B．﹣30° C．30° D．60°【考點】任意角的概念．【專題】應用題；對應思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】B【分析】根據任意角的概念計算可得．【解答】解：由題意可得分針順時針轉過30°，可得分針轉動角為﹣30°．故選：B．【點評】本題考查了任意角的概念，屬于基礎題．4．（2024秋?棗莊期末）已知α是第一象限角，那么α2A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角【考點】象限角、軸線角．【專題】三角函數的求值；運算求解．【答案】D【分析】由題意α是第一象限角可知α的取值范圍（2kπ，π2+2kπ），然后求出【解答】解：∵α的取值范圍（2kπ，π2+2kπ），（k∈∴α2的取值范圍是（kπ，π4+kπ），（k分類討論①當k＝2i+1（其中i∈Z）時α2的取值范圍是（π+2iπ，5π4+2i②當k＝2i（其中i∈Z）時α2的取值范圍是（2iπ，π4+2iπ故選：D．【點評】此題考查象限角、軸線角以及半角的三角函數，角在直角坐標系的表示，屬于基礎題．5．（2024秋?山西期末）與﹣160°角終邊相同的角是（）A．160° B．260° C．460° D．560°【考點】終邊相同的角（角度制）．【專題】整體思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】D【分析】根據終邊相同的角的知識來確定正確答案．【解答】解：與﹣160°角終邊相同的角可表示為﹣160°+360°?k，k∈Z，令k＝2，可得560°與﹣160°終邊相同．故選：D．【點評】本題主要考查了終邊相同角的表示，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）6．（2025?鄧州市校級開學）下列說法，不正確的是（）A．三角形的內角必是第一、二象限角 B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等 C．鈍角比第三象限角小 D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角【考點】象限角、軸線角．【專題】轉化思想；轉化法；三角函數的求值；運算求解．【答案】ACD【分析】利用任意角和象限角概念分析不同的選項，即可得出答案．【解答】解：90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A錯誤；始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故B正確；鈍角大于﹣100°的角，而﹣100°的角是第三象限角，故C錯誤；零角或負角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D錯誤．故選：ACD．【點評】本題主要考查任意角和象限角概念，屬于基礎題．（多選）7．（2024秋?鹽城期末）下列命題中正確的是（）A．“α=π6”是“B．若角α是第三象限角，則α3可能在第三象限C．若tanα＜0且sinα＞0，則α為第二象限角 D．銳角α終邊上一點坐標為P（sin37°，cos37°），則α＝53°【考點】象限角、軸線角；任意角的三角函數的定義；充分條件與必要條件；命題的真假判斷與應用．【專題】對應思想；定義法；三角函數的求值；運算求解．【答案】BCD【分析】A選項通過充分性必要性兩方面驗證；B選項根據α是第三象限角，表示出α3范圍確定α3所屬象限；C選項綜合tanα＜0且sinα＞0情況確定α所屬象限；D選項求角α的正切值，確定銳角【解答】解：A選項：若α=π6若sinα=12，則α=πB選項：若角α是第三象限角，則π+2則π3+2kπ3＜α3＜π2+k＝3n+1（n∈Z）時，α3為第三象限角；當k＝3n+2（n∈Z）時，α所以α3可能在第三象限．BC選項：tanα＜0，則α為第二象限或第四象限角；sinα＞0，則α為第一象限或第二象限角，同時滿足上述條件，所以α為第二象限角．C正確；D選項：銳角α終邊上一點坐標為P（sin37°，cos37°），則有cosα=sin37°所以tanα=sinαcosα=sin53°cos53°=故選：BCD．【點評】本題考查象限角和軸線角的應用，屬于基礎題．（多選）8．（2024秋?廣東期末）下列命題正確的是（）A．若a＞b，d＜c，則a﹣d＞b﹣c B．終邊在y軸上的角的集合為{αC．若α為鈍角，則2α不一定是第三或第四象限角 D．若f(x【考點】象限角、軸線角；等式與不等式的性質；函數的值．【專題】對應思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】ACD【分析】對A，利用不等式性質判斷；對B，舉反例說明；對C，舉例說明；對D，根據解析式代入運算判斷．【解答】解：對于A，因為a＞b，d＜c，故﹣d＞﹣c，則a﹣d＞b﹣c，故A正確；對于B，例如-π2?對于C，取α=3π4，則對于D，f(x)=x-1x故選：ACD．【點評】本題考查了象限角，軸線角以及不等式的性質的應用，屬于基礎題．（多選）9．（2024秋?十堰期末）θ是第二象限角的充分不必要條件有（）A．θ=-10π9C．tanθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＜0【考點】象限角、軸線角；充分不必要條件的判斷．【專題】對應思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】AB【分析】利用充分必要條件的定義以及第二象限角的范圍分別對各個選項逐個判斷即可求解．【解答】解：由θ=-10π9可以推出θ是第二象限角，由θ是第二象限角不能推出θ=-由π4＜θ2＜由θ是第二象限角不能推出θ2為銳角，所以π4＜θ2tanθ＜0推出θ為第二或第四象限角，則tanθ＜0為θ是第二象限角的必要不充分條件；故C錯誤；sinθ＞0且cosθ＜0推出θ為第二象限角，所以選項D為θ是第二象限角的充要條件，故D錯誤．故選：AB．【點評】本題考查了象限角以及充分必要條件的定義的應用，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）10．（2025?鄧州市校級開學）若將時鐘撥慢20min，則分針轉過的角是120°；若時鐘從6時走到9時，則時針轉過的角是﹣90°．【考點】任意角的概念．【專題】轉化思想；定義法；三角函數的求值；運算求解．【答案】120°；﹣90°．【分析】根據角的定義即可按比例求解．【解答】解：若時鐘撥慢20分鐘，則分針逆時針轉動，且為正角，所以可得412所以分針轉過的角是120°，若時針從6時走到9時，時針順時針走動的是負角，所以時針轉過的度數為-3故答案為：120°；﹣90°．【點評】本題考查任意角的概念，屬于基礎題．11．（2024秋?浦東新區校級期末）已知角α＝1865°，則α的終邊在第一象限．【考點】象限角、軸線角．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】一．【分析】把角α化成0°到360°間角表示即可求出所在象限．【解答】解：由于α＝1865°＝5×360°+65°，由于角65°是第一象限，所以角α的終邊在第一象限．故答案為：一．【點評】本題考查了終邊相同的角的概念，屬于基礎題．12．（2024秋?浦東新區校級期末）2025°是第三象限角．【考點】終邊相同的角（角度制）．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】三．【分析】根據相同的角判斷象限角．【解答】解：因為2025°＝5×360°+225°，則2025°與225°的終邊相同，而225°終邊在第三象限，所以2025°是第三象限角．故答案為：三．【點評】本題考查了象限角的判斷，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2025?鄧州市校級開學）已知集合A＝{α|30°+k?180°＜α＜90°+k?180°，k∈Z}，集合B＝{β|﹣45°+k?360°＜β＜45°+k?360°，k∈Z}，求A∩B．【考點】象限角、軸線角；求集合的交集．【專題】轉化思想；轉化法；三角函數的求值；運算求解．【答案】{α|360°?k+30°＜α＜360°?k+45°，k∈Z}．【分析】根據角的范圍將其表示在平面直角坐標中，然后根據交集概念求解出A∩B的結果．【解答】解：集合A＝{α|30°+k?180°＜α＜90°+k?180°，k∈Z}，集合B＝{β|﹣45°+k?360°＜β＜45°+k?360°，k∈Z}，在平面直角坐標系中表示出角的范圍如下圖：由圖可知：A∩B＝{α|360°?k+30°＜α＜360°?k+45°，k∈Z}．【點評】本題主要考查軸線角，屬于基礎題．14．（2024春?余干縣校級月考）用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：【考點】象限角、軸線角．【專題】集合思想；轉化法；三角函數的求值；運算求解．【答案】（1）{α（2）{α【分析】首先找到對應邊界的終邊表示的角，再寫成集合形式．【解答】解：（1）由圖可知，邊界對應射線所在終邊的角分別為2kπ+π4，2kπ終邊在陰影部分的角的集合為{α|2kπ+π4＜α≤2（2）邊界對應射線所在終邊的角分別為2kπ，2kπ+π6，2kπ+π，2kπ∴終邊在陰影部分的角的集合為：{α={α【點評】本題考查角的范圍的表示方法，考查角度制與弧度制的轉化，是基礎題．15．（2023秋?偃師區校級月考）如圖，將圓O放在平面直角坐標系中，圓心與原點重合．（1）如何表示圖中終邊落在射線OB上的角？（2）如何表示終邊落在圖中陰影區域角φ的范圍？（3）對頂區域的角如何表示？【考點】象限角、軸線角．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數的求值；邏輯思維；運算求解．【答案】答案見解析．【分析】（1）先求∠xOB＝90°+40°＝130°，再寫終邊落在射線OB上的角；（2）用射線OB，OA上的角可表示；（3）根據對頂區域的對應角相差k?180°（k∈Z）可得到．【解答】解：（1）k?360°+130°，k∈Z．（2）由題圖可知k?360°+130°≤φ≤k?360°+180°，k∈Z．（3）對頂區域，先寫出在0°～180°范圍內始邊、終邊對應的角，再加上k?180°（k∈Z），即得對頂區域角的范圍．【點評】本題考查了用不等式表示區域角，關鍵是用區域的邊界上的角表示，屬于基礎題．

考點卡片1．求集合的交集【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．2．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．3．充分不必要條件的判斷【知識點的認識】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時，條件P不一定成立．用符號表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數學中表明某個條件足以保證結果成立，但不是唯一條件．【解題方法點撥】要判斷一個條件是否為充分不必要條件，可以先驗證P?Q，然后找反例驗證Q成立但P不成立．舉反例是關鍵步驟，找到一個Q成立但P不成立的例子即可證明P不是Q的必要條件．例如，可以通過幾何圖形性質驗證某些充分不必要條件．【命題方向】充分不必要條件的命題方向包括幾何圖形的特殊性質、函數的特定性質等．已知命題p：x2﹣4x+3＜0，那么命題p成立的一個充分不必要條件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，則1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要條件．故選：BD．4．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關系進行轉化判斷．【命題方向】該部分內容是《課程標準》新增加的內容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現．5．等式與不等式的性質【知識點的認識】1．不等式的基本性質（1）對于任意兩個實數a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，且6．函數的值【知識點的認識】函數的值是指在某一自變量取值下，函數對應的輸出值．【解題方法點撥】﹣確定函數的解析式，代入自變量值，計算函數的值．﹣驗證計算結果的正確性，結合實際問題分析函數的值．﹣利用函數的值分析其性質和應用．【命題方向】題目包括計算函數的值，結合實際問題求解函數的值及其應用．已知函數f（x）=x+2，x＜0x2，解：f(f(f(故f（f（f（-12）））7．任意角的概念【知識點的認識】一、角的有關概念1．從運動的角度看，角可分為正角、負角和零角．2．從終邊位置來看，可分為象限角與軸線角．3．若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β＝2kπ+α（k∈Z）．【解題方法點撥】角的概念注意的問題注意易混概念的區別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區間角．【命題方向】下列各命題正確的是（）A．終邊相同的角一定相等B．第一象限角都是銳角C．銳角都是第一象限角D．小于90度的角都是銳角分析：明確終邊相同的角、銳角、第一象限角、小于90°的角的定義，通過舉反例排除某些選項，從而選出答案．解：∵30°和390°是終邊相同的角，但30°≠390°，故可排除A．第一象限角390°不是銳角，故可排除B．﹣30°是小于90°的角，但它不是銳角，故可排除D．銳角是第一象限角是正確的，故選C．點評：本題考查終邊相同的角、銳角、第一象限角、小于90°的角的定義，通過舉反例說明某個命題不成立，是一種簡單有效的方法．8．終邊相同的角（角度制）【知識點的認識】終邊相同的角：k?360°+α（k∈Z）它是與α角的終邊相同的角，（k＝0時，就是α本身），凡是終邊相同的兩個角，則它們之差一定是360°的整數倍，應該注意的是：兩個相等的角終邊一定相同，而有相同的終邊的兩個角則不一定相等，也就是說，終邊相同是兩個角相等的必要條件，而不是充分條件．還應該注意到：A＝{x|x＝k?360°+30°，k∈Z}與集合B＝{x|x＝k?360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．相應的與x軸正方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°，k∈Z}；與x軸負方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°+180°，k∈Z}；與y軸正方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°+90°，k∈Z}；與y軸負方向終邊相同的角的集合是{x|x＝k?360°+270°，k∈Z}【解題方法點撥】終邊相同的角的應用利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需角．﹣利用終邊相同的角的性質，設定角度θ和θ+360°k（其中k為整數）．﹣確定具體問題中角度的表達形式，求解相關角度值．【命題方向】常見題型包括角度制下終邊相同的角的計算，結合具體問題求解相關角度值．下列角中終邊與330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°分析：直接利用終邊相同的角判斷即可．解：因為330°的終邊與﹣30°的終邊相同，所以B滿足題意．故選B．9．象限角、軸線角【知識點的認識】在直角坐標系內