第19頁（共19頁）2024-2025學年上學期高二數學人教A版（2019）期中必刷常考題之數學歸納法一．選擇題（共5小題）1．（2023秋?虹口區校級期末）用數學歸納法證明1n+1+1n+2+1n+3A．12k+1 BC．12k+1+2．（2024?松江區校級模擬）用數學歸納法證明不等式1n+1+1n+2+?+12nA．增加了12(B．增加了12C．增加了12k+1D．增加了12k3．（2024春?青浦區校級期末）用數學歸納法證明“對任意偶數n，an﹣bn能被a﹣b整除”時，其第二步論證應該是（）A．假設n＝k（k為正整數）時命題成立，再證n＝k+1時命題也成立 B．假設n＝2k（k為正整數）時命題成立，再證n＝2k+1時命題也成立 C．假設n＝k（k為正整數）時命題成立，再證n＝2k+1時命題也成立 D．假設n＝2k（k為正整數）時命題成立，再證n＝2（k+1）時命題也成立4．（2023秋?永寧縣期末）用數學歸納法證明1+2+3+4+?+（2n﹣1）+2n＝2n2+n（n∈N*），當n＝k+1（k∈N*）時，等式左邊應在n＝k時的基礎上加的項是（）A．2k+1 B．2k+2 C．（2k+1）+（2k+2） D．15．（2024春?大連期中）用數學歸納法證明“2n＞n2對于n≥n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的初始值n0應取（）A．2 B．3 C．4 D．5二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024春?東昌府區期中）對于不等式n2①當n＝1時，12②假設當n＝k（n∈N*）時，不等式成立，即k2則當n＝k+1時，(k故當n＝k+1時，不等式成立．則下列說法錯誤的是（）A．過程全部正確 B．n＝1的驗證不正確 C．n＝k的歸納假設不正確 D．從n＝k到n＝k+1的推理不正確（多選）7．（2023春?斗門區校級期中）以下四個命題，其中滿足“假設當n＝k（k∈N*，k≥n0）時命題成立，則當n＝k+1時命題也成立”，但不滿足“當n＝n0（n0是題中給定的n的初始值）時命題成立”的是（）A．2n＞2n+1（n≥2） B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1） C．凸n邊形的內角和為f（n）＝（n﹣2）π（n≥3） D．凸n邊形的對角線條數g（多選）8．（2021春?濱湖區校級期中）對于不等式n2+n＜n+1（n①當n＝1時，12+1②假設n＝k（k∈N*）時，不等式成立，即k2+k＜k+1，則n＝k+1時，(k+1)2+(k+1)=(k2+3關于上述證明過程的說法正確的是（）A．證明過程全都正確 B．當n＝1時的驗證正確 C．歸納假設正確 D．從n＝k到n＝k+1的推理不正確三．填空題（共4小題）9．（2024秋?長沙縣校級期末）用數學歸納法證明1+12+13+?+12n-1＜n（n10．（2024春?虹口區校級期末）記f（n）＝1+2+3+?+（3n﹣1）+3n，在用數學歸納法證明對于任意正整數n，f（n）＞4n2的過程中，從n＝k到n＝k+1時，不等式左邊的f（k+1）比f（k）增加了項．11．（2023秋?閔行區校級期末）用數學歸納法證明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12=n(2n2+1)3時，第（ii）步從n＝k到n＝k+112．（2023秋?普陀區期中）用數學歸納法證明12+22+32+???+n2=n(n+1)(2n+1)6（n∈N，四．解答題（共3小題）13．（2024秋?上海校級期中）已知等差數列{an}的首項為a1＝2，公差為d，前n項和為Sn．若a1＝d＝1，用數學歸納法證明：i=114．（2024春?西城區校級期中）已知數列{an}滿足：a1＝1，且對任意n∈N*，都有an（1）直接寫出a2，a3，a4的值；（2）猜想{an}的通項公式，并用數學歸納法證明．15．（2024秋?泰安期中）數學歸納法是一種數學證明方法，通常被用于證明某個給定的命題在整個（或者局部）自然數范圍內成立，證明分為下面兩個步驟：1．證明當n＝n0（n0∈N）時命題成立；2．假設n＝k（k∈N，且k≥n0）時命題成立，推導出在n＝k+1時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有自然數n都成立．已知有窮遞增數列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定義：集合A={(x，y)|x=ai，y=aj，1≤i，j≤n，i，j∈N*}，若對?（x1，y1）∈A，?（1）若數列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性質T，求實數m的值；（2）若{an}具有性質T，且a2＝1，a3＝2，（ⅰ）猜想當n≥2時{an}的通項公式，并用數學歸納法證明你的猜想；（ⅱ）求32a2+2

2024-2025學年上學期高二數學人教A版（2019）期中必刷常考題之數學歸納法參考答案與試題解析題號12345答案DCDCD一．選擇題（共5小題）1．（2023秋?虹口區校級期末）用數學歸納法證明1n+1+1n+2+1n+3A．12k+1 BC．12k+1+【考點】數學歸納法．【專題】規律型．【答案】D【分析】只須求出當n＝k時，左邊的代數式，當n＝k+1時，左邊的代數式，相減可得結果．【解答】解：當n＝k時，左邊的代數式為1k當n＝k+1時，左邊的代數式為1k故用n＝k+1時左邊的代數式減去n＝k時左邊的代數式的結果為：1k故選：D．【點評】數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基）P（n）在n＝1時成立；2）（歸納）在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．2．（2024?松江區校級模擬）用數學歸納法證明不等式1n+1+1n+2+?+12nA．增加了12(B．增加了12C．增加了12k+1D．增加了12k【考點】數學歸納法的適用條件與步驟．【專題】轉化思想；轉化法；推理和證明；運算求解．【答案】C【分析】分別求出當n＝k，n＝k+1時，不等式左邊的表達式，通過比較，即可求解．【解答】解：當n＝k時，不等式左邊為1k當n＝k+1時，不等式的左邊為1k故不等式左邊增加了12k+1故選：C．【點評】本題主要考查數學歸納法的應用，屬于基礎題．3．（2024春?青浦區校級期末）用數學歸納法證明“對任意偶數n，an﹣bn能被a﹣b整除”時，其第二步論證應該是（）A．假設n＝k（k為正整數）時命題成立，再證n＝k+1時命題也成立 B．假設n＝2k（k為正整數）時命題成立，再證n＝2k+1時命題也成立 C．假設n＝k（k為正整數）時命題成立，再證n＝2k+1時命題也成立 D．假設n＝2k（k為正整數）時命題成立，再證n＝2（k+1）時命題也成立【考點】數學歸納法的適用條件與步驟．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解．【答案】D【分析】根據n為正偶數，故第二步的假設應寫成：假設n＝2k+2，k∈N*時命題正確，再推n＝2k+2時正確．【解答】解：根據證明的結論，n為正偶數，故第二步的假設應寫成：假設n＝2k，k∈N*時命題正確，即當n＝2k，k∈N*時，a2k﹣b2k能被a﹣b整除，再推n＝2k+2時正確．故選：D．【點評】本題考查數學歸納法，考查數學歸納法的證題步驟，屬于基礎題．4．（2023秋?永寧縣期末）用數學歸納法證明1+2+3+4+?+（2n﹣1）+2n＝2n2+n（n∈N*），當n＝k+1（k∈N*）時，等式左邊應在n＝k時的基礎上加的項是（）A．2k+1 B．2k+2 C．（2k+1）+（2k+2） D．1【考點】數學歸納法的適用條件與步驟．【專題】轉化思想；轉化法；推理和證明；運算求解．【答案】C【分析】分別令n＝k+1，n＝k，然后作差求解．【解答】解：等號左邊加的項是[1+2+3+4+?+2k+（2k+1）+（2k+2）]﹣（1+2+3+4+?+2k），＝（2k+1）+（2k+2）．故選：C．【點評】本題主要考查數學歸納法的應用，屬于基礎題．5．（2024春?大連期中）用數學歸納法證明“2n＞n2對于n≥n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的初始值n0應取（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】數學歸納法的適用條件與步驟．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；邏輯思維；運算求解．【答案】D【分析】利用數學歸納法的證明步驟，通過驗證n＝1，n＝1，n＝2，n＝4，n＝5，判斷即可．【解答】解：用數學歸納法證明“2n＞n2對于n≥n0的正整數n都成立”時，當n＝1時，21＞12；當n＝2時，22＝22；當n＝3時，23＜32；當n＝4時，24＝42；當n＝5時，25＞52．故選：D．【點評】本題考查數學歸納法的應用，證明步驟的應用，是基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024春?東昌府區期中）對于不等式n2①當n＝1時，12②假設當n＝k（n∈N*）時，不等式成立，即k2則當n＝k+1時，(k故當n＝k+1時，不等式成立．則下列說法錯誤的是（）A．過程全部正確 B．n＝1的驗證不正確 C．n＝k的歸納假設不正確 D．從n＝k到n＝k+1的推理不正確【考點】數學歸納法的適用條件與步驟．【專題】對應思想；歸納法；點列、遞歸數列與數學歸納法；邏輯思維．【答案】ABC【分析】根據數學歸納法證明的基本過程可得出結論．【解答】解：適合命題的第一個自然數n＝1，驗證n＝1時過程正確；假設當n＝k（n∈N*）時，不等式成立，即k2在n＝k+1時，沒有應用n＝k時的假設，即從n＝k到n＝k+1的推理不正確，故D錯誤，ABC正確．故選：ABC．【點評】本題考查利用數學歸納法證題的步驟，是基礎題．（多選）7．（2023春?斗門區校級期中）以下四個命題，其中滿足“假設當n＝k（k∈N*，k≥n0）時命題成立，則當n＝k+1時命題也成立”，但不滿足“當n＝n0（n0是題中給定的n的初始值）時命題成立”的是（）A．2n＞2n+1（n≥2） B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1） C．凸n邊形的內角和為f（n）＝（n﹣2）π（n≥3） D．凸n邊形的對角線條數g【考點】數學歸納法的適用條件與步驟．【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；簡易邏輯；運算求解．【答案】ABC【分析】對于命題A，可以驗證當n等于給定的初始值時不成立，所以滿足條件；對于命題B，容易驗證假設n＝k時命題成立，則當n＝k+1時命題也成立．對于初始值n＝1時，不成立，所以滿足條件；對于命題C，容易驗證假設n＝k時命題成立，則當n＝k+1時命題也成立．對于初始值n＝3內角和為π，不成立．故滿足條件；對于命題D，凸n邊形對角線條數f（n）=n(n-2)2，假設n＝k時命題成立，當n＝k+1時多了一條邊，即多了一個頂點，故多了k個【解答】解：對于命題A，2n＞2n+1（n≥2），當n＝2的時有4＜5，故當n等于給定的初始值時不成立，所以滿足條件；對于命題B，2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1），假設n＝k時命題成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+2，當n＝k+1時有2+4+6+…+2k+2（k+1）＝k2+k+2+2（k+1）＝k2+2k+1+k+3＝（k+1）2+（k+1）+2，故對n＝k+1時命題也成立，對于初始值n＝1時有4≠4+2+2，不成立．所以滿足條件；對于命題C，凸n邊形內角和為f（n）＝（n﹣1）π（n≥3），假設n＝k時命題成立，即f（k）＝（k﹣1）π，當n＝k+1時有f（k+1）＝f（k）+π＝kπ，故對n＝k+1時命題也成立，對于初始值n＝3內角和為π，不成立．故滿足條件；對于命題D，凸n邊形對角線條數f（n）=n假設n＝k時命題成立，即f（k）=k當n＝k+1時，有f（k+1）＝f（k）+k﹣1=k(k-2)故選：ABC．【點評】本題考查了數學歸納法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．（多選）8．（2021春?濱湖區校級期中）對于不等式n2+n＜n+1（n①當n＝1時，12+1②假設n＝k（k∈N*）時，不等式成立，即k2+k＜k+1，則n＝k+1時，(k+1)2+(k+1)=(k2+3k關于上述證明過程的說法正確的是（）A．證明過程全都正確 B．當n＝1時的驗證正確 C．歸納假設正確 D．從n＝k到n＝k+1的推理不正確【考點】數學歸納法的適用條件與步驟．【專題】轉化思想；定義法；點列、遞歸數列與數學歸納法；邏輯思維．【答案】BD【分析】利用數學歸納法的證明步驟，寫出正確的證明過程，即可判斷選項中的命題是否正確．【解答】解：用數學歸納法證明n2+n＜n+1（n①當n＝1時，12+1＜1+1，即②假設n＝k（k∈N*）時，不等式成立，即k2+k＜k+1，兩邊平方得，k2+k＜k2+2k+1，即0則n＝k+1時，(k+1)2+(k+1)所以當n＝k+1時，不等式也成立．由此知，原證明過程的說法中，正確的是BD．故選：BD．【點評】本題考查了數學歸納法的應用問題，也考查了分析與判斷能力，是中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?長沙縣校級期末）用數學歸納法證明1+12+13+?+12n-1＜n（n【考點】數學歸納法．【專題】計算題；規律型；分析法；推理和證明．【答案】見試題解答內容【分析】觀察不等式的特點，然后寫出結果即可．【解答】解：1+12+13+?+12n-1左側的表達式的分母可知第k項是由1，2，3，到2k﹣1，結束；第一步要證的不等式是：1+1故答案為：1+1【點評】本題考查數學歸納法的應用，注意觀察表達式的特征是解題的關鍵．10．（2024春?虹口區校級期末）記f（n）＝1+2+3+?+（3n﹣1）+3n，在用數學歸納法證明對于任意正整數n，f（n）＞4n2的過程中，從n＝k到n＝k+1時，不等式左邊的f（k+1）比f（k）增加了3項．【考點】數學歸納法．【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；邏輯思維．【答案】3．【分析】根據給定條件，分析從n＝k到n＝k+1時式子的變化即可作答．【解答】解：因為f（k）＝1+2+3+?+（3k﹣1）+3k，f（k+1）＝1+2+3+?+（3k﹣1）+3k+（3k+1）+（3k+2）+3（k+1），所以不等式左邊的f（k+1）比f（k）增加了3k+1，3k+2，3（k+1），共3項．故答案為：3．【點評】本題考查數學歸納法，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題．11．（2023秋?閔行區校級期末）用數學歸納法證明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12=n(2n2+1)3時，第（ii）步從n＝k到n＝k+1時等式左邊應添加的項是2k【考點】數學歸納法的適用條件與步驟．【專題】轉化思想；轉化法；推理和證明；運算求解．【答案】2k2+2k+1．【分析】根據數學歸納法的證明步驟解答．【解答】解：n＝k時，左邊＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；當n＝k+1時，左邊＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；觀察兩式易知增加的項為：（k+1）2+k2＝2k2+2k+1．故答案為：2k2+2k+1．【點評】本題主要考查數學歸納法的應用，屬于基礎題．12．（2023秋?普陀區期中）用數學歸納法證明12+22+32+???+n2=n(n+1)(2n+1)6（n∈N，n≥1）的過【考點】數學歸納法．【專題】對應思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解．【答案】（k+1）2．【分析】由題意，整理n取不同值時的式子，對比可得答案．【解答】解：由題意，當n＝k時，所得式子為12+22+32+?+k2；當n＝k+1時，所得式子為12+22+32+?+k2+（k+1）2；所以當n＝k+1時，左端應在n＝k時的左端上加上（k+1）2．故答案為：（k+1）2．【點評】本題考查數學歸納法的步驟，考查轉化思想和運算能力，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?上海校級期中）已知等差數列{an}的首項為a1＝2，公差為d，前n項和為Sn．若a1＝d＝1，用數學歸納法證明：i=1【考點】數學歸納法證明命題；求等差數列的前n項和．【專題】方程思想；綜合法；等差數列與等比數列；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解．【答案】證明見解析．【分析】根據給定條件，求出等差數列{an}的通項an，前n項和為Sn，再利用數學歸納法證明．【解答】證明：等差數列{an}的首項為a1＝2，公差為d，前n項和為Sn．若a1＝d＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，Sn＝n+12n（n﹣1）=12（n下面運用數學歸納法證明：當n＝1時，a13=1假設當n＝k（k∈N*）時，原等式成立，即i=1k則當n＝k+1時，i=1k+1ak+13=i=(即當n＝k+1時，原等式成立，所以對一切n∈N*，等式i=1【點評】本題考查等差數列的通項公式和求和公式，以及數學歸納法，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．14．（2024春?西城區校級期中）已知數列{an}滿足：a1＝1，且對任意n∈N*，都有an（1）直接寫出a2，a3，a4的值；（2）猜想{an}的通項公式，并用數學歸納法證明．【考點】數學歸納法證明命題．【專題】轉化思想；轉化法；推理和證明；運算求解．【答案】（1）a2（2）猜想：an【分析】（1）直接結合數列遞推式，即可求解；（2）結合數學歸納法的法則，即可證明．【解答】解：（1）a2（2）猜想：an=1下用數學歸納法證明：①當n＝1時，（*）成立．②假設n＝k（k≥1）時（*）成立，即ak則當n＝k+1時，ak故（*）對n＝k+1也成立．由①②，對任意n∈N*，（*）成立，即an【點評】本題主要考查數學歸納法的應用，屬于中檔題．15．（2024秋?泰安期中）數學歸納法是一種數學證明方法，通常被用于證明某個給定的命題在整個（或者局部）自然數范圍內成立，證明分為下面兩個步驟：1．證明當n＝n0（n0∈N）時命題成立；2．假設n＝k（k∈N，且k≥n0）時命題成立，推導出在n＝k+1時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有自然數n都成立．已知有窮遞增數列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定義：集合A={(x，y)|x=ai，y=aj，1≤i，j≤n，i，j∈N*}，若對?（x1，y1）∈A，?（1）若數列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性質T，求實數m的值；（2）若{an}具有性質T，且a2＝1，a3＝2，（ⅰ）猜想當n≥2時{an}的通項公式，并用數學歸納法證明你的猜想；（ⅱ）求32a2+2【考點】數學歸納法．【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解；新定義類．【答案】（1）4；（2）（ⅰ）an=2【分析】（1）討論（x1，y1）的不同取法，根據性質T的定義，結合數列的單調性，即可求得參數值；（2）（ⅰ）猜想an=2（ⅱ）利用（ⅰ）中所求通項公式，利用裂項求和法，即可求得結果．【解答】解：有窮遞增數列{an}，a1＝﹣1，a2＞0，n∈N*且n≥3．定義：集合A={(若對?（x1，y1）∈A，?（x2，y2）∈A，使得x1x2+y1y2＝0，則稱{an}具有性質T．（1）若數列﹣1，1，2，m（m＞2）具有性質T，當（x1，y1）＝（﹣1，m）時，取（x2，y2）＝（m，1），滿足題意；當（x1，y1）＝（1，m）時，取（x2，y2）＝（m，﹣1），滿足題意；當（x1，y1）＝（2，m）時，2x2+my2＝0，此時x2，y2中有且僅有一個數為﹣1，若x2＝﹣1，則m=若y2＝﹣1，則m＝2x2＝2或4或2m，又因為m＞2，故m＝4；綜上所述，m＝4．（2）（ⅰ）若{an}具有性質T，且a2＝1，a3＝2，猜想an運用數學歸納法證明如下：當n＝2時，an假設n＝k時，ak=2k-2若（x1，y1）＝（﹣1，ak+1），則取（x2，y2）＝（ak+1，1）滿足題意；若（x1，y1）＝（ai，ak+1），i＝2，3，?，k+1，則x2，y2中有且僅有一個數為﹣1，當x2＝﹣1時，設y2＝aj，j＝2，3，?，k+1，則﹣ai+ak+1aj＝0，故ak+1=aiaj≤ai當y2＝﹣1時，設x2＝aj，j＝2，3，?，k+1，則ai記i+j﹣4＝p，則j＝p﹣i+4；因為對任意的i＝2，3，?，k+1，都有j＝p﹣i+4＝p﹣k+3，p﹣k+4，?，p+2在2，3，4，?，k+1中取到，則2≤p-k+3p+2≤故i+j＝k+3，故ak綜上，an（ⅱ）因為n≥2時，n+1故3=2-【點評】本題考查數列的新定義和數列的性質，以及數學歸納法的應用，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．

考點卡片1．求等差數列的前n項和【知識點的認識】等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點撥】﹣代入計算：將具體問題中的n值代入前n項和公式，計算數列的前n項和．﹣推導公式：根據實際問題推導出數列的前n項和公式．﹣綜合應用：將前n項和公式與其他數列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數列的前n項和公式計算具體項，推導數列和公式，解決實際問題．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝a3，a4＝5，則Sn＝_____．解：設等差數列{an}的公差為d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n?a1+n(n-1)2?2＝故答案為：n2﹣2n．2．數學歸納法【知識點的認識】1．數學歸納法一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數n0的所有正整數n都成立時，可以用以下兩個步驟：（1）證明當n＝n0時命題成立；（2）假設當n＝k（k∈N+，且k≥n0）時命題成立，證明n＝k+1時命題也成立．在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數都成立．這種證明方法稱為數學歸納法．2．用數學歸納法證明時，要分兩個步驟，兩者缺一不可．（1）證明了第一步，就獲得了遞推的基礎，但僅靠這一步還不能說明結論的正確性．在這一步中，只需驗證命題結論成立的最小的正整數就可以了，沒有必要驗證命題對幾個正整數成立．（2）證明了第二步，就獲得了推理的依據．僅有第二步而沒有第一步，則失去了遞推的基礎；而只有第一步而沒有第二步，就可能得出不正確的結論，因為單靠第一步，我們無法遞推下去，所以我們無法判斷命題對n0+1，n0+2，…，是否正確．在第二步中，n＝k命題成立，可以作為條件加以運用，而n＝k+1時的情況則有待利用命題的已知條件，公理，定理，定義加以證明．完成一，二步后，最后對命題做一個總的結論．3．用數學歸納法證明恒等式的步驟及注意事項：①明確初始值n0并驗證真假．（必不可少）②“假設n＝k時命題正確”并寫出命題形式．③分析“n＝k+1時”命題是什么，并找出與“n＝k”時命題形式的差別．弄清左端應增加的項．④明確等式左端變形目標，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等，并用上假設．3．數學歸納法的適用條件與步驟【知識點的認識】1．數學歸納法一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數n0的所有正整數n都成立時，可以用以下兩個步驟：（1）證明當n＝n0時命題成立；（2）假設當n＝k（k∈N+，且k≥n0）時命題成立，證明n＝k+1時命題也成立．在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數都成立．這種證明方法稱為數學歸納法．2．用數學歸納法證明時，要分兩個步驟，兩者缺一不可．（1）證明了第一步，就獲得了遞推的基礎，但僅靠這一步還不能說明結論的正確性．在這一步中，只需驗證命題結論成立的最小的正整數就可以了，沒有必要驗證命題對幾個正整數成立．（2）證明了第二步，就獲得了推理的依據．僅有第二步而沒有第一步，則失去了遞推的基礎；而只有第一步而沒有第二步，就可能得出不正確的結論，因為單靠第一步，我們無法遞推下去，所以我們無法判斷命題對n0+1，n0+2，…，是否正確．在第二步中，n＝k命題成立，可以作為條件加以運用，而n＝k+1時的情況則有待利用命題的已知條件，公理，定理，定義加以證明．完成一，二步后，最后對命題做一個總的結論．3．用數學歸納法證明恒等式的步驟及注意事項：①明確初始值n0并驗證真假．（必不可少）②“假設n＝k時命題