第18頁（共18頁）2024-2025學年上學期高一數學人教A版（2019）期中必刷常考題之平面向量的基本定理及坐標表示一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?合肥期末）已知點M在平面ABC內，且對于平面ABC外一點O，滿足OM→A．13 B．512 C．12 2．（2024秋?丹東期末）已知向量a→=(x，1)，bA．﹣2 B．2 C．-12 D3．（2024秋?朝陽期末）如圖，四邊形ABCD中，AB→=2DC→，E為線段AD的中點，F為線段A．-CB→-12CD→ B．CB→4．（2025?山東模擬）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F為CE的中點，則AF→A．34AB→+14AD→ B．15．（2025?揚州校級模擬）如圖，已知AB→=a→，AC→=b→，BC→A．34b→-13a→ B．5二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?威海期末）設向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a→∥b→是x＝4D．a→∥b→是x＝﹣（多選）7．（2024秋?錦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→與ON→夾角為π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D（多選）8．（2024秋?遼寧期末）下列各組向量中，不能作為基底的是（）A．e1B．e1C．e1D．e三．填空題（共4小題）9．（2024秋?丹東期末）在△ABC中，D是BC上一點，且BD＝3DC，用基底{AD→，AC→}表示向量AB→10．（2024秋?海淀區期末）已知向量a→=（x，1），a→-2b→=（x，﹣1），則b→=11．（2024秋?安徽期末）已知向量a→=(λ-1，2-λ)，12．（2024秋?邢臺期末）已知向量a→=（m，3），b→=（2，﹣5），若（a→+b→）⊥b四．解答題（共3小題）13．（2024秋?中山區校級期末）在△ABC中，點D為邊AC上靠近A的三等分點，點M為形內一點．（1）如圖，若點M滿足5AM→=2AC→-BC（2）若點O為△ABC的外心，點M滿足3OM→=OA→+OB→+OC→14．（2024秋?大連校級期末）已知e1→，e2→是平面內兩個不共線的非零向量，AB→（1）求實數λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的條件下，若A，B，C，D四點按順時針順序構成平行四邊形，求點A的坐標．15．（2024秋?房山區期末）已知向量a→=(-1，（1）求|a（2）若向量c滿足2a→-（3）在（2）的條件下，若a→-mc→

2024-2025學年上學期高一數學人教A版（2019）期中必刷常考題之平面向量的基本定理及坐標表示參考答案與試題解析題號12345答案DADDB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?合肥期末）已知點M在平面ABC內，且對于平面ABC外一點O，滿足OM→A．13 B．512 C．12 【考點】平面向量的基本定理．【專題】對應思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據空間共面向量定理的推論得到λ+【解答】解：因為OM→=λOA→+所以λ+16故選：D．【點評】本題考查空間共面向量定理的應用，屬于基礎題．2．（2024秋?丹東期末）已知向量a→=(x，1)，bA．﹣2 B．2 C．-12 D【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】A【分析】根據平面向量平行的結論求參數．【解答】解：向量a→=(x，1)則﹣2x﹣4＝0?x＝﹣2．故選：A．【點評】本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題．3．（2024秋?朝陽期末）如圖，四邊形ABCD中，AB→=2DC→，E為線段AD的中點，F為線段A．-CB→-12CD→ B．CB→【考點】平面向量的基本定理．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據向量的線性運算即可求解．【解答】解：由題意，AB→=2DC→，F為AB上靠近B的四等分點，則EF=-=1故選：D．【點評】本題考查平面向量的線性運算，屬基礎題．4．（2025?山東模擬）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F為CE的中點，則AF→A．34AB→+14AD→ B．1【考點】平面向量的基本定理．【專題】計算題；平面向量及應用．【答案】D【分析】根據題意得：AF→【解答】解：根據題意得：AF→又AC→=AB所以AF→故選：D．【點評】本題主要考查了平面向量的基本定理的簡單應用，屬于基礎試題5．（2025?揚州校級模擬）如圖，已知AB→=a→，AC→=b→，BC→A．34b→-13a→ B．5【考點】平面向量的基本定理．【專題】計算題；轉化思想；向量法；平面向量及應用．【答案】B【分析】根據向量的三角形法和加減的幾何意義即可求出．【解答】解：∵BC→=4∴DC→=3∴DE→=DC→+CE→=3故選：B．【點評】本題考查了向量的三角形法和向量的數乘運算，屬于基礎題二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?威海期末）設向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a→∥b→是x＝4D．a→∥b→是x＝﹣【考點】平面向量數量積的坐標運算．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】AC【分析】根據已知條件，結合向量平行、垂直的性質，即可求解．【解答】解：向量a→=（x+4，x），b→=（若a→⊥b則（x+4）x+2x＝0，解得x＝0或x＝﹣6，故x＝0是a→⊥b→的充分條件，故A正確；x＝﹣6是a→⊥b若a→則2（x+4）＝x2，解得x＝4或x＝﹣2，故a→∥b→是x＝4的必要條件，故C正確；a→∥b故選：AC．【點評】本題主要考查向量垂直、平行的性質，屬于基礎題．（多選）7．（2024秋?錦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→與ON→夾角為π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D【考點】平面向量的基本定理；數量積表示兩個平面向量的夾角．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】CD【分析】由題意將OP→=xOM→+yON→平方可得x2+y2【解答】解：由|OM→|=2，|ON→|=2，所以OM→因為|OP→|=2且OP→=xOM→+所以4=x2OM→2+y2ON即x2+y2+xy＝1，所以(x所以34(x+y)2≤1結合選項可得C，D符合題意．故選：CD．【點評】本題考查平面向量的數量積運算，屬于中檔題．（多選）8．（2024秋?遼寧期末）下列各組向量中，不能作為基底的是（）A．e1B．e1C．e1D．e【考點】用平面向量的基底表示平面向量．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】ABD【分析】結合坐標運算，根據平面向量的基底定義逐個選項判斷即可．【解答】解：要使平面中兩個向量作為基底，必須滿足是非零向量，且不共線，故A不能作為基底；對于B，由e1→=2對于D，由e1→=-5對于C，兩向量不存在倍數關系，所以C能作為基底．故選：ABD．【點評】本題考查平面向量基底的概念及判定，屬基礎題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?丹東期末）在△ABC中，D是BC上一點，且BD＝3DC，用基底{AD→，AC→}表示向量AB→【考點】用平面向量的基底表示平面向量．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】4AD【分析】由題意可得出BD→=3DC→，利用平面向量的減法可得出AB→【解答】解：由題知，BD→所以AD→-AB故答案為：4AD【點評】本題考查平面向量的線性運算，屬于基礎題．10．（2024秋?海淀區期末）已知向量a→=（x，1），a→-2b→=（x，﹣1），則b→=（0，1）【考點】平面向量數量積的坐標運算．【專題】對應思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（0，1）；2．【分析】由平面向量的坐標運算計算即可．【解答】解：因為向量a→=（x，1），a→-2所以2b→=a→-(所以a→所以|a→+b→|=x2所以|a→+b→故答案為：（0，1）；2．【點評】本題考查平面向量的坐標運算，屬于基礎題．11．（2024秋?安徽期末）已知向量a→=(λ-1，2-λ)，【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】3．【分析】利用共線向量的坐標表示，列式計算得解．【解答】解：若a→∥b則﹣2（2﹣λ）＝λ﹣1，解得λ＝3．故答案為：3．【點評】本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題．12．（2024秋?邢臺期末）已知向量a→=（m，3），b→=（2，﹣5），若（a→+b→）⊥b【考點】平面向量數量積的坐標運算．【專題】轉化思想；參數法；平面向量及應用；運算求解．【答案】﹣7．【分析】根據已知條件，結合向量垂直的性質，即可求解．【解答】解：向量a→=（m，3），b→=（則a→（a→+b則(a→+b→故答案為：﹣7．【點評】本題主要考查向量垂直的性質，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?中山區校級期末）在△ABC中，點D為邊AC上靠近A的三等分點，點M為形內一點．（1）如圖，若點M滿足5AM→=2AC→-BC（2）若點O為△ABC的外心，點M滿足3OM→=OA→+OB→+OC→【考點】平面向量的基本定理．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）35（2）k=【分析】（1）延長AM至E使AE＝5AM，可以得到四邊形ABEC是平行四邊形，然后根據AC→=3AD→，所以S△（2）設MN→=λDN→，由BN→=【解答】解：（1）M是△ABC所在平面內一點，延長AM至E使AE＝5AM，因為5AM所以AB→連接BE，因為向量AB→和向量CE→則四邊形ABEC是平行四邊形，由于AC→=3AD又AE→=5AM在平行四邊形中，S△ABC＝S△ABE，所以△ABM與△ABD的面積之比為S△（2）因為3OM→=設MN→=λDN→因為BN→=k所以BN=λ=λ=(2又BN→則有23λ+(1+所以k=【點評】本題考查平面向量的基本定理的應用，屬中檔題．14．（2024秋?大連校級期末）已知e1→，e2→是平面內兩個不共線的非零向量，AB→（1）求實數λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的條件下，若A，B，C，D四點按順時針順序構成平行四邊形，求點A的坐標．【考點】平面向量加減法的坐標運算．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）λ=（2）（﹣7，﹣2）（3）（10，7）．【分析】（1）首先表示出AE→，根據AE（2）直接由向量線性運算的坐標表示即可求解；（3）根據AD→【解答】解：（1）AE→因為A，E，C三點共線，所以存在實數k，使得AE→即e1→+(1+因為e1→，e2→是平面內兩個（2）BE→（3）因為A，B，C，D四點按順時針順序構成平行四邊形，所以AD→設A（x，y），則AD→因為BC→=(-7，-2)即點A的坐標為（10，7）．【點評】本題主要考查平面向量的線性運算、坐標運算，屬于基礎題．15．（2024秋?房山區期末）已知向量a→=(-1，（1）求|a（2）若向量c滿足2a→-（3）在（2）的條件下，若a→-mc→【考點】平面向量數量積的坐標運算．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）2；（2）c→（3）m=【分析】（1）利用向量坐標的運算求出a→（2）利用向量坐標的運算解向量方程即得；（3）將各向量坐標代入，利用方程兩邊對應項系數相等可得方程組，解之即得．【解答】解：（1）由題意可知，a→所以|a（2）因為2a所以3c所以c→（3）因為a→-mc→所以(-所以2m-1=【點評】本題主要考查平面向量的坐標運算，屬于基礎題．

考點卡片1．平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內容：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內任一a→，有且僅有一對實數λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．2．用平面向量的基底表示平面向量【知識點的認識】1、平面向量基本定理內容：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內任一a→，有且僅有一對實數λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．【解題方法點撥】﹣表示轉換：將向量v→寫成基底向量的線性組合．例如，v→用基底e→1和﹣基底選擇：在特定的基底下表示向量時，選擇適當的基底并進行線性組合．【命題方向】﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．﹣基底下的計算：如何在給定的基底下進行向量運算．在△ABC中，若D，E，F分別是AB的3個四等分點，且CB→=e1→，CA→=e2→，試用基底解：在△ABC中，若D，E，F分別是AB的3個四等分點，且CB→=e由題意得BD→=14BA故CD→-CB→=同理，CE→-CB→=12所以CE→=12（因為CB→=e整理得，CE→=13．平面向量加減法的坐標運算【知識點的認識】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量減法：如果a→=(a1，【解題方法點撥】﹣坐標運算：直接對向量的坐標分量進行加減操作，得出結果．﹣實際應用：用于解決如點的移動、向量差等問題．【命題方向】﹣向量運算的實際應用：考查向量加減法在實際問題中的應用，如幾何問題中的位置計算．﹣坐標運算技巧：如何高效進行向量的坐標運算．向量a→，b→滿足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以b→=12（﹣6，2）＝（﹣4．平面向量數量積的坐標運算【知識點的認識】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量a→，b→如果以O為起點，作OA→=a→，OB→=b→，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量2、向量的數量積概念及其運算：（1）定義：