緒論緒論信號的概念系統的概念信號與系統是專門研究信息載體的信號和傳輸與加工信號的系統的基本理論。具體什么是信號，什么是系統，為什么要把信號與系統這兩個概念放在一起？緒論1、信息：待傳輸的語言、文字、圖像、數碼等統稱為信息。2、信號：是帶有信息的物理量，是信息的表現形式，是運載信息的工具。1.信號的概念信號是信息的載體，信息是信號的內涵緒論1.信號的概念欲傳遞的信息→以光和聲的形式（形成了光信號和聲信號）互相傳遞古代：1、我國人民利用烽火臺的火光傳遞敵人入侵的警報；2、古希臘人以火炬的位置表示不同的字母符號；3、人們還利用擊鼓鳴金的聲響傳遞戰斗命令等。緒論1.信號的概念十九世紀以后：開始利用電信號傳遞信息

1、1837年莫爾斯（F.B.Morse）發明了電報；

2、1876年貝爾（A.G.Bell）發明了電話；

3、1895年俄國的波波夫（popov），意大利的馬可尼（Marconi）

實現了電信號的無線傳輸。從此以后，傳送電信號的通信方式得以迅速發展，無線電廣播，超短波通信，廣播電視，雷達，無線電導航等相繼出現，并有了廣泛的應用前景。緒論2.系統的概念能夠產生、傳輸和處理信號的物理裝置為系統，即指若干相互關聯的事物組合而成具有特定功能的整體。手機電視音響緒論2.系統的基本作用系統的基本作用是信號的傳輸和處理。系統輸入信號激勵輸出信號響應信號的處理（噪音去除，聲音識別等）手機信號的傳輸緒論2.通訊系統信號信息信息信號信號的傳輸和處理信號的定義及分類信號定義及分類信號是信息的物理表現和傳輸載體，它一般是一種隨時間變化而變化的物理量。根據物理屬性，信號可以分為電信號和非電信號。1.信號的定義電信號：隨時間變化的電壓或電流。電信號容易產生，便于控制，易于處理。本課程主要討論電信號，簡稱為信號。信號的描述方法：（1）數學函數表達式（2）圖形表達形式信號的分類信號的分類方法各種各樣，可以從不同的角度對信號進行分類。按實際用途劃分——

電視信號雷達信號控制信號通信信號廣播信號.......

按時間特性分為——一維信號和多維信號確定信號和隨機信號連續信號和離散信號周期信號和非周期信號實信號和復信號能量信號和功率信號……信號的分類一維信號： 只由一個自變量描述的信號，如語音信號；一維信號和多維信號多維信號： 由多個自變量描述的信號，如圖像信號．xy確定性信號信號的分類確定信號和隨機信號可用確定的時間函數表示的信號。對于指定的某一時刻t，有確定的函數值f(t)。隨機信號取值具有未可預知的不確定性信號。偽隨機信號看似隨機但卻遵循一定規律的信號（如偽隨機碼）。信號的分類連續信號和離散信號連續時間信號：信號在連續時間內都有定義用t表示連續時間變量這里的“連續”指函數的定義域—時間是連續的，并不要求值域也連續，即信號可含間斷點。

-1-1-1111-1-10僅在一些離散的瞬間才有定義的信號，簡稱離散信號。tt上述離散信號可簡畫為或寫為f(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0通常將對應某序號m的序列值稱為第m個樣點的“樣值”。用表達式可寫為信號的分類數字信號：時間和幅值均為離散的信號。模擬信號：時間和幅值均為連續的信號。抽樣信號：時間離散的，幅值連續的信號。量化抽樣連續信號與模擬信號，離散信號與數字信號常通用。信號的分類信號的分類周期信號和非周期信號周期信號定義在(-∞，∞)區間，每隔一定時間T(或整數N），按相同規律重復變化的信號。f(t)=f(t+nT)，n=0,±1,±2,…f(k)=f(k+nN)，n=0,±1,±2,…滿足上述關系的最小T(或整數N)稱為該信號的周期。非周期信號不具有周期性的信號稱為非周期信號。1.判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t

（2）f2(t)=cos2t+sinπt作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂2.判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)主觀題10分信號的分類分析兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數。解答(1)sin2t是周期信號,其角頻率和周期分別為ω1=2rad/s,

T1=2π/ω1=(π)scos3t是周期信號,其角頻率和周期分別為ω2=3rad/s,T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數2π。（2）

cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無理數，故f2(t)為非周期信號。解（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的數字角頻率分別為β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4為有理數，故它們的周期分別為N1=8，N2=4，故f1(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數8。（2）sin(2k)的數字角頻率為β1=2rad；由于2π/β1=π為無理數，故f2(k)=sin(2k)為非周期序列。信號的分類由上面幾例可看出：①連續正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。信號的分類能量信號和功率信號給定信號

f(t)，若其施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時功率為，則該信號在區間(–∞,∞)的能量和平均功率定義如下信號的能量信號的功率能量信號若，即信號的能量有界，則稱信號

f(t)為能量信號。此時P=0功率信號若，即信號的功率有界，則稱信號

f(t)為功率信號。此時信號的分類離散信號的功率與能量對于離散信號，其能量信號、功率信號定義如下離散信號的能量離散信號的功率能量信號若，則為能量信號功率信號若，則為功率信號信號的分類例1：判斷下列信號是否能量或功率信號1).2).解：能量信號1).功率信號2).一般規律

一般周期信號為功率信號。

時限信號(僅在有限時間區間不為零的非周期信號)為能量信號。

還有一些非周期信號，也是非能量信號。如ε(t)是功率信號；而tε(t)、et為非功率非能量信號;δ(t)是無定義的非功率非能量信號。信號的分類幾種典型確定性信號幾種典型確定性信號直流信號單位斜坡信號指數信號正余弦信號復指數信號抽樣信號可用確定的時間函數表示的信號。對于指定的某一時刻t，有確定的函數值f(t)。幾種典型確定性信號1.直流信號直流信號C0t2.單位斜坡信號10t1幾種典型確定性信號3.指數信號雙邊指數信號a>0a＜0a=00t單邊指數信號a＜0a=0a>00tA幾種典型確定性信號4.正余弦信號AT0wt振幅：周期：頻率：角頻率：初相：幾種典型確定性信號5.復指數信號t實部t虛部（包絡）（＜0，衰減振蕩）討論：直流升指數信號衰減指數信號等幅振蕩增幅振蕩衰減振蕩幾種典型確定性信號6.抽樣信號01Sa(t)t階躍函數與沖激函數1.階躍函數

階躍函數t

01t

01

t

01

階躍函數與沖激函數2.沖激函數

函數值只在t=0時不為零；

積分面積為1；

沖激函數：狄拉克δ函數

階躍函數與沖激函數3.階躍函數和沖激函數關系

階躍函數

沖激函數

階躍函數與沖激函數t

1-12

t

(1)-12(-1)

求導階躍函數與沖激函數5.沖激函數的性質5.1取樣性同理可得：如果f(t)在t=0處連續，且處處有界，則有

階躍函數與沖激函數5.2沖激偶

階躍函數與沖激函數

394-408ABCD提交單選題1分階躍函數與沖激函數

5.3比例性推論:當a=–1時所以，δ(–t)=δ(t)為偶函數，δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數階躍函數與沖激函數424/5-4/50ABC提交單選題1分沖激函數的性質總結（1）取樣性（2）奇偶性（3）比例性（4）微積分性質（5）沖激偶階躍函數與沖激函數階躍函數與沖激函數6.

單位階躍和單位脈沖序列

作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題5分正確錯誤AB提交投票最多可選1項信號的運算信號的運算1.相加和相乘連續信號：同一瞬時兩信號對應值相加（相乘）

信號的運算1.相加和相乘離散信號：用同序號的值對應相加/相乘構成新序列信號的運算

2.平移

T<0,左移-110120T=110-10-2T=-1-1雷達接收到的目標回波信號就是平移信號。信號的運算3.反轉將信號以縱軸為軸對折，即f(t)→f(-t)例-110120反轉-1-2把信號的過去與未來對調沒有可實現此功能的實際器件。數字信號處理中可實現此概念，如堆棧的“后進先出”。信號的運算4.尺度變換將信號進行壓縮或者擴展，即f(t)→f(at)若a>1，則波形沿橫坐標壓縮；若0<a<1，則擴展。-110壓縮t=2t01-0.50.51-110擴展t=0.5t10-221注意：（1）尺度變換并不改變信號的幅度（2）對于離散信號，由于f(ak)僅在ak為整數時才有意義，進行尺度

變換時可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。信號的運算5.混合運算f(t)

→f(at±b)=f[a(t±b/a)]混合運算時，3種運算次序可隨意，尺度變換：

a>1，壓縮a倍；a<1，擴展1/a倍平移：+，左移b/a單位；－，右移b/a單位

反轉：

f(-atb)=f[-a(tb/a)]注意！一切變換都是對t而言，建議先平移，后尺度變換，再反轉

信號的運算例：已知f(t)如圖，畫出

f(-2t+2)

平移、尺度變換、反轉-2201左移2f(t+2)-201-4壓縮2倍-201-1反轉1012f(t)f(2t+2)f(-2t+2)信號的運算尺度變換、平移、反轉-2201左移1f(2t)-101壓縮2倍反轉1012f(-2t+2)f(t)1f(2(t+1))-101-2信號的運算驗證-2201f(t)1012f(-2t+2)宗量t宗量-2t+2函數值t=-2-2t+2=-2，t=20t=0-2t+2=0，t=11t=2-2t+2=2，t=01信號的運算例：已知f(-2t+2)如圖所示，畫出f(t)1012f(-2t+2)f(t)？令x=-2t+2，則t=-0.5x+1,則原問題變為已知

f(x),畫出f(-0.5x+1).1012f(x)左移1101-1f(x+1)擴展2倍101-1f(0.5x+1)-22反轉01f(-0.5x+1)-22例：若已知f(–4–2t)，畫出f(t)。反轉，得f

(2t–4)展開，得f

(t–4)左移4，得f

(t)信號的運算總結：

混合運算時，三種運算的次序可任意。但一定要注意一切變換都是相對t而言。

通常，對正向運算，先平移，后反轉和展縮不易出錯；對逆運算，反之。信號的運算微分和積分信號的運算

系統的描述1.3.1系統的描述由相互作用、相互聯系的事物按一定規律組成的具有特定功能的整體，稱為系統。手機？電視？分析系統時，需要建立描述該系統的數學模型，求解，并對結果賦予實際意義。1.系統的概念連續系統：系統的激勵是連續信號，響應也是連續信號。離散系統：系統的激勵是離散信號，響應也是離散信號?；旌舷到y：系統的激勵是連續信號，響應是離散信號；或反之。1.3.1系統的描述1.1連續系統的描述：微分方程例1，簡單RLC串聯電路，寫出描述該電路的數學模型。依據基爾霍夫電壓定律：

依據各元件的電壓與電流關系：

整理可得，

上式即為描述該電路的微分方程。+-+-LRuL(t)uR(t)+-+-uS(t)uC(t)C1.3.1系統的描述1.1連續系統的框圖描述延時器加法器積分器數乘器乘法器連續系統的基本框圖單元1.3.1系統的描述1.1連續系統的框圖描述

是否可以根據框圖寫出系統微分方程？例2，畫出下述微分方程對應的系統框圖。y(t)f(t)

c

--ab+1.3.1系統的描述1.1連續系統的框圖描述例3，求出下述系統框圖的微分方程

y(t)f(t)+--a2a1

+b2

b1++

右邊加法器

左邊加法器

作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題5分1.3.1系統的描述1.2離散系統的描述：差分方程例4，設某水庫中第k年有鯉魚y(k)條，鯉魚的出生率和捕撈率分別為a和b，而第k年還會投放鯉魚f(k)條，那么該水庫第k年的總鯉魚數為？上式即為描述該水庫鯉魚條數的差分方程。y(k)=y(k-1)+ay(k-1)-by(k-1)+f(k)y(k)-(1+a-b)y(k-1)=f(k)1.3.1系統的描述1.2離散系統的框圖描述離散系統的基本框圖單元加法器遲延單元數乘器1.3.1系統的描述1.2離散系統的描述：差分方程是否可以根據框圖寫出系統差分方程？例5，畫出下述差分方程對應的系統框圖。y(k)-(1+a-b)y(k-1)=f(k)

+f(k)y(k)D(1+a-b)+y(k-1)1.3.1系統的描述1.2離散系統的描述例6，求出下述系統框圖的差分方程

左邊加法器右邊加法器

y(k)f(k)+--a2a1

+

b1+DD作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題5分系統的分類1.3.2系統的分類可從多角度觀察和分析系統，將系統分成多種類別。連續與離散系統線性與非線性系統時變與時不變系統因果與非因果系統記憶與非記憶系統穩定與發散系統1.3.2系統的分類1.連續與離散系統連續系統：系統的激勵是連續信號，響應也是連續信號。離散系統：系統的激勵是離散信號，響應也是離散信號?；旌舷到y：系統的激勵是連續信號，響應是離散信號；或反之。2.線性與非線性系統1.3.2系統的分類滿足線性性質（齊次性和可加性）和分解特性的系統為線性系統，否則為非線性系統。系統Tf(·)y(·)y(·)=T[f(·)]f(·)→y(·)齊次性f(·)→y(·)af(·)→ay(·)可加性f1(·)→y1(·)f2(·)→y2(·)f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)線性性質af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)y(·)=T[{x(0)},{f(·)}]2.線性與非線性系統1.3.2系統的分類

零輸入響應零狀態響應分解特性零輸入響應線性零狀態響應線性判斷下列系統是否為線性系統？1.3.2系統的分類不滿足分解特性，非線性系統滿足分解特性不滿足零狀態響應線性特征，非線性系統滿足分解特性不滿足零輸入響應線性特征，非線性系統3.時變與時不變系統1.3.2系統的分類如果激勵??(?)作用于系統的響應為??????

(?)，那么當激勵延遲一定的時間????（或????）時，其零狀態響應也延遲同樣的時間的系統為時不變系統，反之為時變系統。yzs(t)f(t)0Tt0tt0f(t-td)tdtd+Tyzs(t-td)0tdt

判斷下列系統是否為時不變系統？1.3.2系統的分類所以是時不變系統所以是時變系統所以是時變系統所以是時變系統若激勵f(·)之前有變系數，或反轉、展縮變換，則系統為時變系統?。?）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）4.因果與非因果系統1.3.2系統的分類因果系統：當且僅當輸入信號激勵系統時，系統才出現零狀態響應輸出的系統。即，系統的零狀態響應不出現于激勵之前。反之則為非因果系統。

（1）若t＜t0時，f(t)=0，有yzs(t0)=f(t0-1)=0，是因果系統（2）若t＜t0時，f(t)=0，有yzs(t0)=f(t0+1)≠0，是非因果系統（3）若t＜t0時，f(t)=0，有yzs(t0)=f(2t0)≠0，是非因果系統（1）（2）（3）5.記憶與非記憶系統1.3.2系統的分類記憶系統又稱為動態系統，即系統的輸出不僅與當前時刻的輸入有關，還與過去/將來的輸入相關。如，含有電容、電感的系統非記憶系統又稱為即時系統，即系統的輸出僅與當前時刻的輸入有關，與過去/將來的輸入無關。如，僅還有電阻的簡單系統6.穩定與發散系統1.3.2系統的分類某系統對于有界激勵??(?)產生的零狀態響應??????

(?)也是有界時，稱該系統為有界輸入有界輸出系統，簡稱為穩定系統。即若|??(?)|<∞，有|??????

(?)|<∞的系統。否則，稱為發散系統，或不穩定系統。穩定系統發散系統作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂試判斷如下系統的線性、時不變性、因果性、穩定性。

主觀題10分LTI系統分析（求解）的基本思路：

把零輸入響應和零狀態響應分開求。把復雜信號分解為眾多基本信號之和，根據線性系統的可加性：多個基本信號作用于線性系統所引起的響應等于各個基本信號所引起的響應之和。采用的數學工具：

時域：卷積積分與卷積和頻域：傅里葉變換復頻域：拉普拉斯變換與Z變換線性時不變系統描述線性時不變系統描述1.連續時間系統與離散時間系統對比

LTI連續系統

LTI離散系統變量tk函數輸入f(t);輸出y(t)輸入f(k)；輸出y(k)基本信號求導微分差分系統描述微分方程差分方程LTI（LinearTimeInvariant）系統的時域分析，歸結為：建立并求解線性微(差)分方程。這種方法是在時域內進行的，比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。變量和函數：線性時不變系統描述v連續時間系統離散時間系統基本信號：線性時不變系統描述

一階差分

微分與差分：線性時不變系統描述一階后向差分一階前向差分：

f(k)=f(k+1)–f(k)和稱為差分算子，無原則區別。本課程主要用后向差分。差分的性質：線性時不變系統描述

常系數線性微分方程與差分方程：

階次線性時不變系統描述

線性時不變系統描述

+

++LR

C

建立并求解線性微(差)分方程線性時不變系統描述

+

+

線性時不變系統描述2.線性時不變系統的特性

LTI連續系統

LTI離散系統經典解零輸入+零狀態卷積線性：可分解性、零狀態線性和零輸入線性

微分方程經典解請問同學們是否預習了我發布的微分方程經典解知識？是否需要老師講解？已預習，但有些知識點不明白，需要講解。已預習，已掌握，不需要講解。沒預習，需要講解。沒預習，但該知識掌握好，不需要講解。ABCD提交投票最多可選1項微分方程經典解1.n階線性時不變系統的描述

方程的階次由獨立的動態元件的個數決定。

若系統為時不變的，則a，b均為常數，此方程為常系數的n階線性常微分方程。微分方程經典解齊次解：2.求解微分方程經典法微分方程的經典解：完全解=齊次解+特解。

由特征方程→求特征根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。

微分方程經典解

解：系統的特征方程為

特征根

對應的齊次解為

重根微分方程經典解特解：

F（常數）（特征根均不為0）

P（常數）

（有r重0特征根）

微分方程經典解

微分方程經典解代入微分方程可得

全解為:

將初始條件代入，得

微分方程經典解解得:

最后得微分方程的全解為:

微分方程經典解3.響應的劃分自由響應＋強迫響應(Natural+forced)零輸入響應＋零狀態響應(Zero-input+Zero-state)暫態響應+穩態響應 (Transient+Steady-state)

例2：描述某系統的微分方程為

作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂

例2：描述某系統的微分方程為

主觀題10分0-到0+的問題0-到0+的問題1.起始點的跳變

0+狀態

是不是等于

0-到0+的問題一個具體的電網絡，系統的狀態就是系統中儲能元件的儲能情況。

一般情況下，換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發生突變。

0-到0+的問題當系統用微分方程表示時，系統的到狀態有沒有跳變取決于微分方程右端是否包含及其各階導數項。

0-到0+的問題2.沖激函數匹配法配平的原理：t=0時刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導數應該平衡(其它項也應該平衡，我們討論初始條件，可以不管其它項）

也應該包含且僅有1131,01,10，00,1ABCD提交單選題1分0-到0+的問題

利用系數匹配法分析：

(1)

0-到0+的問題

比較等式兩邊沖激項系數，有

0-到0+的問題

零輸入響應和零狀態響應零輸入響應和零狀態響應

1.零輸入、零狀態概念

0-到0+的問題零輸入響應和零狀態響應

零狀態響應，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應有對于零輸入響應，由于激勵為零，故有yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)零輸入響應和零狀態響應

全解=齊次解+特解

2.零輸入+零狀態求解零輸入響應和零狀態響應

該齊次方程的特征根為–1，–2，故

零輸入響應和零狀態響應

0-到0+

零輸入響應和零狀態響應

不難求得其齊次解為，其特解為常數3，

于是有代入初始值求得

零輸入響應和零狀態響應從零狀態或零輸入求解的過程依然是經典解的求解方法

全解=齊次解+特解(由方程右邊的形式決定)

3.對線性系統的進一步理解經典解零狀態+零輸入沖擊響應和階躍響應沖擊響應和階躍響應1.沖擊響應定義：系統在單位沖激信號作用下產生的零狀態響應，稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用

表示。

沖擊響應和階躍響應沖擊響應的數學模型：對于線性時不變系統，可以用一高階微分方程表示令

則

沖擊響應和階躍響應

①與特征根有關②與n，m相對大小有關

由于及其導數在時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統的沖激響應形式與齊次解的形式相同。

沖擊響應和階躍響應例1：求系統

的沖激響應解：將

求特征根

中不包含沖激項沖激響應

兩種求待定系數方法：

奇異函數項相平衡法沖擊響應和階躍響應

設

∴

代入，

確定系數

得

沖擊響應和階躍響應法二：用奇異函數項相平衡法求待定系數

將

代入原方程

根據系數平衡，得

沖擊響應和階躍響應法三：線性時不變性質法求系統

的沖激響應解：設滿足簡單方程

則由系統的線性時不變特性

沖擊響應和階躍響應1.階躍響應定義：系統在單位階躍信號作用下產生的零狀態響應，稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，一般用

表示。

我們也可以根據線性時不變系統特性，利用階躍信號和沖擊信號的關系求階躍響應。

沖擊響應和階躍響應

階躍響應求解1）經典解2）線性性質求解經典解=齊次解+特解卷積積分(1)卷積積分1.信號的時域分解與卷積積分任意信號的時域分解：

卷積積分任意信號作用下的零狀態響應：LTI系統f(t)

根據h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：

卷積積分卷積積分的定義：已知定義在區間（–∞，∞）上的兩個函數f1(t)和f2(t)，則定義積分

為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設的變量τ下進行的，τ為積分變量，t為參變量。結果仍為t的函數。

卷積積分階躍函數確定積分限：2.卷積積分的計算由于系統的因果性或激勵信號存在時間的局限性，卷積的積分限會有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關鍵的。

1、列寫KVL方程：2、沖擊響應為：3、

+_R=1ΩL=1Hi(t)u(t)卷積積分

4、定積分限：

?

?

卷積積分

2

0

200

卷積積分(2)卷積積分圖解法求解：用圖解法直觀，尤其是函數式復雜時，用圖形分段求出積分限尤為方便準確，用解析式法作容易出錯，最好將兩種方法結合起來。卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉平移：由f2(τ)反轉→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。

注意：t為參變量。

卷積積分

例1.已知

,

τ0-111f1(τ)f2(-τ)

0-3τt-3f2(t-τ)

0τtt0-111f1(t)f2(t)

03t左+，右-？卷積積分浮動坐標：下限上限t-3t-0-11f2(t-

)f1(

)τt：移動的距離t=0f2(t-

)

未移動t>0f2(t-

)右移t<0f2(t-

)左移

0-11f1(τ)

卷積積分兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0

0-11f1(τ)τ1卷積積分

0-11f1(τ)τ1

兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限-1，上限t

，t

為移動時間;

時卷積積分

11-10t-3t

時卷積積分

11-10t-3t

時卷積積分

11-10t-3t

時

即卷積積分

其它t

11-10t03t2-10124t卷積積分的性質卷積積分的性質1.代數性質交換律：

證：

得：卷積積分的性質

分配率：

結合率：

卷積積分的性質系統并聯

系統并聯，框圖表示：

結論：子系統并聯時，總系統的沖激響應等于各子系統沖激響應之和。(分配率)

卷積積分的性質

系統并聯，框圖表示：結論：時域中，子系統級聯時，總的沖激響應等于子系統沖激響應的卷積。

系統級聯(結合率)

卷積積分的性質2.與沖激函數或階躍函數的卷積

證：

證：

卷積積分的性質3.卷積的微積分性質

證：

上式

證：

上式

在

的前提下，

卷積積分的性質4.卷積的移位性質若

則

求解卷積的方法可歸納為：（1）利用定義式，直接進行積分。對于容易求積分函數比較有效。如指數函數，多項式函數等。（2）圖解法。特別適用于求某時刻點上的卷積值。（3）利用性質。三者常常結合起來使用。卷積積分的性質例1：

如圖，

求解：

由于

依據時移特性，有

LTI離散系統響應1.經典解法LTI離散系統響應

齊次解：

齊次方程

特征方程

即LTI離散系統響應根據特征根，齊次解的兩種情況1.無重根

2.有重根

n個待定系數LTI離散系統響應特解：特解的形式與差分方程右邊的形式(激勵)類似

F（常數）

P（常數）（特征根均不為0）

（有r重0特征根）

LTI離散系統響應

齊次解

代入初始條件解得：

全解：

2.零輸入+零狀態LTI離散系統響應

零輸入響應：輸入為零，差分方程為齊次方程零狀態響應：初始狀態為0，即齊次解形式：

求解方法經典法：齊次解+特解卷積法

初始條件：離散系統經典解

LTI離散系統響應

特征根:

LTI離散系統響應

LTI離散系統響應

分別求出齊次解和特解，得代入初始值遞推得

例2：描述某系統的微分方程為

單位序列響應和階躍響應單位序列響應和階躍響應1.單位序列響應系統

定義：單位序列響應和階躍響應

根據線性時不變性，

單位序列響應和階躍響應2.單位階躍響應系統

定義：單位序列響應和階躍響應

單位階躍響應求解1）經典解2）線性性質求解經典解=齊次解+特解

單位序列響應和階躍響應兩個常用的求和公式：

單位序列響應和階躍響應

由

卷積和的定義與計算卷積和的定義與計算1.卷積和f(-1)f(k)f(1)f(0)f(2)f(i)………-1012ik序列的時域分解：

卷積和的定義與計算任意序列作用下的零狀態響應：LTI系統

根據h(k)的定義：

由時不變性：

由齊次性：由疊加性：

卷積和的定義與計算

卷積和的定義：

注意：求和是在虛設的變量

i下進行的，i為求和變量，k

為參變量。結果仍為k

的函數。

卷積和的定義與計算

2.卷積和的計算由于系統的因果性或激勵信號存在時間的局限性，卷積和的累加限會有所變化。卷積和中累加限的確定是非常關鍵的。

卷積和的定義與計算卷積的作用：解法一：經典解=齊次解+特解初始值特解形式由差(微)分方程右邊的形式決定解法二：全解=零輸入+零狀態齊次解+特解齊次解解法三：全解=零輸入+零狀態卷積和(積分)齊次解線性性質

線性系統信號分解

LTI系統的時域分析，歸結為：建立并求解線性微(差)分方程。卷積和的計算與性質卷積和的計算與性質卷積過程可分解為四步：（1）換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)（2）反轉平移：由f2(i)反轉→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘積：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i從–∞到∞對乘積項求和。注意：k為參變量。

圖解法求解：卷積和的計算與性質

解：

f2(2–i)iiii

f2(–i

)卷積和的計算與性質

不進位乘法求卷積：卷積和的計算與性質f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)×————————————————f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+—————————————————————f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(k)={0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)

f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0}排成乘法卷積和的計算與性質

卷積邊界的確定：

4個元素5個元素8個元素11-10t03t2-10124t卷積和的計算與性質1.卷積和的性質1.滿足乘法的三律：(1)交換律,(2)分配律,(3)結合律.

卷積和的定義與計算

解:

根據h(k)的定義，有

h1(k)h2(k)h1(k)y(k)Σf(k)+-

信號的正交分解信號的正交分解1.矢量正交與正交分解矢量正交的定義指矢量Vx=(vx1,vx2,vx3，…,vxn)與Vy=(vy1,vy2,vy3,…,vyn)的內積為0。即正交矢量集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合。如三維空間中，以矢量Vx=（1，0，0）、Vy=（0，1，0）、Vz=（0，0，1)所組成的集合就是一個正交矢量集，且完備。矢量A=(2，5，8)可表示為A=2Vx

+5Vy+8Vz矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間。信號的正交分解2.信號正交與正交函數集1)信號正交

在(t1，t2)區間的函數

1(t)和

2(t)滿足則稱

1(t)和

2(t)在區間(t1，t2)內正交。2)正交函數集

若n個函數

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構成一個函數集，這些函數在區間(t1，t2)內滿足則稱此函數集是在區間(t1，t2)上的正交函數集。信號的正交分解3.完備正交函數集如果在正交函數集{

1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數φ(t)(≠0）滿足則稱此函數集為完備正交函數集。例如：三角函數集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}虛指數函數集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區間(t0，t0+T)(其中，T=2π/Ω)上的完備正交函數集。(i=1，2，…，n)信號的正交分解4.信號的正交分解設有n個函數

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區間(t1，t2)構成一個正交函數空間。將任一函數f(t)用這n個正交函數的線性組合來近似，可表示為

f(t)≈C1

1+C2

2+…+Cn

n

如何選擇各系數

Ci使f(t)與近似函數之間誤差在區間(t1，t2)內為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為

信號的正交分解為使上式最小，則展開上式中的被積函數，并求導?？芍鲜街兄挥袃身棽粸?，寫為即所以系數信號的正交分解代入，得最小均方誤差在用正交函數去近似f(t)時，所取得項數越多，即n越大，則均方誤差越小。當n→∞時（為完備正交函數集），均方誤差為零。此時有上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式。表明：在區間(t1,t2)上，

f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數集中分解的各正交分量能量之和。函數f(t)可分解為無窮多項正交函數之和信號的正交分解小結函數f(t)可分解為無窮多項正交函數之和巴塞瓦爾能量公式連續周期時間信號的傅里葉級數連續周期時間信號的傅里葉級數1.三角形式的傅里葉級數三角函數集

{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}在一個周期內是一個完備的正交函數集。設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率

=2

/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，可分解為如下三角級數：傅里葉系數：稱為f(t)的三角形式傅里葉級數n的偶函數n的奇函數連續周期時間信號的傅里葉級數狄里赫利(Dirichlet)條件不滿足條件1的例子如下圖所示。該信號周期為8，其組成：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的一半。可見在一個周期內它的面積不會超過8，但不連續點的數目是無窮多個。條件1：在一周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應是有限個。連續周期時間信號的傅里葉級數條件2：在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個。不滿足條件2的一個函數是對此函數，其周期為1，有()1d10<òttf()()10,π2sin￡<?è?=tttf?è?LL()tfO11-t1連續周期時間信號的傅里葉級數條件3:在一周期內，信號絕對可積。周期信號，周期為1，不滿足此條件。()()10,1￡<=tttf連續周期時間信號的傅里葉級數式中，A0=a0，式(1)表明：周期信號可分解為直流和許多余弦分量。

A0/2稱為直流分量

A1cos(

t+

1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號相同

A2cos(2

t+

2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍通常，Ancos(n

t+

n)稱為n次諧波。An是n的偶函數，

n是n的奇函數。an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,…此時傅氏級數可寫為將三角形式傅氏級數中同頻率項合并連續周期時間信號的傅里葉級數2.指數形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感不便，因而經常采用指數形式的傅里葉級數。系數Fn

稱為復傅里葉系數。利用虛指數函數集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}，則指數形式的傅里葉級數連續周期時間信號的傅里葉級數上式中第三項的n用–n代換，A–n=An，

–n=–

n，則上式寫為why？分析：利用歐拉公式可從三角形式推出指數形式指數形式的傅里葉級數連續周期時間信號的傅里葉級數3.三角和指數形式的傅里葉系數之間關系n的偶函數：an

，An

，|Fn|；n的奇函數：

bn

，

n

周期信號的功率周期信號一般是功率信號，其平均功率為代入f(t)傅里葉級數形式得：分析：展開被積函數可知，具有的余弦項在一個周期內積分等于0；具有的項，當m≠n時，積分等于0；m=n時，積分值為。此時平均功率為：直流功率諧波功率周期信號的功率表明：周期信號平均功率是信號直流和n次諧波分量在1

電阻上消耗的平均功率之和。Parseval恒等式，是Parseval定理在傅里葉級數情況下的具體體現?？偲骄β?直流、各次諧波的平均功率之和小結波形的對稱性與諧波特性關系波形具有某些對稱特性時，在傅里葉級數中某些系數等于零，即諧波特性將變得簡單。1)f(t)為偶函數——對稱縱坐標展開為余弦級數2)f(t)為奇函數——對稱于原點展開為正弦級數≠波形的對稱性與諧波特性關系例1：求周期三角波的三角形式傅里葉級數展開式。（偶函數）波形：解：周期三角波的傅里葉級數展開式為f(t)2T2T01……t波形的對稱性與諧波特性關系例2：求周期鋸齒波的三角函數形式的傅里葉級數展開式。（奇函數）周期鋸齒波的傅里葉級數展開式為直流基波二次諧波解：f(t)A/22T2T波形的對稱性與諧波特性關系任意函數可分解為奇函數與偶函數兩部分波形的對稱性與諧波特性關系3)f(t)為奇諧函數——f(t)=–f(t±T/2)傅里葉級數中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量，即a0=a2=…=b2=b4=…=04）f(t)為偶諧函數——f(t)=f(t±T/2)傅里葉級數中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0波形的對稱性與諧波特性關系對稱性的討論某函數是否為奇函數或偶函數不僅與波形有關，而且與時間坐標原點選擇有關。例偶函數，bn=0奇函數，an=0非奇非偶函數，an≠0，

bn≠0f(t)2T2T01……t(a)f(t)2T2T01……t(b)f(t)2T2T01……t(c)2121THEEND頻譜的概念及圖形描述1.頻譜的概念從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系。將An~ω/f和

n~ω/f的關系分別畫在以ω/f為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。此時n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。三角函數形式級數：可畫|Fn|~ω/f和

n~ω/f的關系，稱為雙邊譜。此時n可為正整數、零、負整數。若Fn為實數，也可直接畫Fn

。復指數函數形式級數：頻譜的概念及圖形描述例1：請畫出信號的單邊和雙邊頻譜圖。解：（1）化為余弦形式三角函數形式傅里葉級數的譜系數單邊頻譜圖

1

1

1

頻譜的概念及圖形描述解：（2）復指數形式復指數形式傅里葉級數的譜系數頻譜的概念及圖形描述雙邊頻譜圖

1

頻譜的概念及圖形描述既是奇函數又是奇諧函數只含奇次諧波,且為正弦波.頻譜概念演示例2.假設周期為T的方波信號如下圖所示f(t)tT-T-101T/2分解分析頻譜的概念及圖形描述該信號展開成三角函數級形式傅里葉級數：分析頻譜的概念及圖形描述

頻譜的概念及圖形描述對于雙邊頻譜，負頻率，只有數學意義，而無物理意義。為什么引入負頻率？f(t)是實函數，分解成虛指數，必須有共軛對ejnΩt和e-jnΩt，才能保證f(t)的實函數的性質不變。頻譜的概念及圖形描述THEEND周期信號頻譜的特點與帶寬周期信號頻譜的特點與帶寬例：有一幅度為1，脈沖寬度為

的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x

(取樣函數）基波角頻率1.周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點與帶寬,n=0,±1，±2，…周期信號頻譜的特點與帶寬(1)包絡線形狀：抽樣函數(2)離散譜（諧波性）(3)最大值出現在n=0處，為

/T(4)第一個零點坐標2/

(5)Fn是復函數（此處為實函數），幅度/相位。

Fn>0,相位=0；

Fn<0,相位=

周期信號頻譜的特點與帶寬譜線的結構與波形參數的關系：

T一定，

變小，此時

（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數目：（2

/

）/(2

/T)=T/

增多。

00.5Fn

Fn

00.125

00.25Fn

周期信號頻譜的特點與帶寬（b）tf(t)

2412841-10………1t……f(t)

2416801t…f(t)160

111-10

t（c）（d）02

Fn00.25n=0n=1n=2n=3n=4

Fn0.125n=0n=80n=0n=2n=1

Fn00.5（a）

一定，T增大，間隔

減小，頻譜變密，幅度減小。如果周期T無限增長，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續頻譜。各頻率分量的幅度Fn也趨近于無窮小。非周期信號周期信號頻譜的特點與帶寬

離散性：離散分布，不連續。

諧波性：譜線等距分布，間距為基波

。(3)收斂性：Fn、An隨n

而趨于零。周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點與帶寬2.信號有效頻帶寬度第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）,由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。周期信號頻譜的特點與帶寬總功率二者比值周期矩形脈沖信號的功率周期信號頻譜的特點與帶寬定義：在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為信號有效頻帶寬度。對于一般周期信號，將幅度下降為0.1|Fn|max

的頻率區間定義為頻帶寬度。周期矩形脈沖信號一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：語音信號頻率大約為 300~3400Hz，音樂信號頻率大約為 50~15,000Hz，擴音器與揚聲器有效帶寬約為

15~20,000Hz。系統的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真。

THEEND周期信號頻譜的特點與帶寬典型周期信號頻譜典型周期信號頻譜時域表達式:1.周期矩形脈沖信號時域波形:傅里葉級數系數:典型周期信號頻譜時域表達式:2.方波信號時域波形:傅里葉級數系數:典型周期信號頻譜時域表達式:3.鋸齒波時域波形:傅里葉級數系數:典型周期信號頻譜時域表達式:4.三角波(1)時域波形:傅里葉級數系數:典型周期信號頻譜時域表達式:5.三角脈沖(2)時域波形:傅里葉級數系數:典型周期信號頻譜時域表達式:6.半波余弦信號時域波形:傅里葉級數系數:典型周期信號頻譜時域表達式:7.全波余弦信號時域波形:傅里葉級數系數:THEEND典型周期信號頻譜傅里葉變換與逆變換的定義傅里葉變換與逆變換的定義周期信號非周期信號

t0

1ωFnFnω0Ω2Ω-----頻譜密度函數傅里葉變換與逆變換的定義連續譜(幅度無限小),離散譜00上式定義為單位頻率上的頻譜，稱為頻譜密度函數。譜線間隔

雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區別。令傅里葉變換與逆變換的定義考慮到：T→∞，Ω→無窮?。ㄓ洖閐ω）；nΩ→ω（由離散量變為連續量）同時，∑

→∫于是，

因為傅里葉變換公式傅里葉反變換公式傅里葉變換與逆變換的定義

f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復函數，寫為

F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)或

F(jω)=F

[f(t)]=FT[f(t)]；

f(t)=

F

–1[F(jω)]=FT–1[F(jω)]說明：

1)

前面推導并未遵循嚴格的數學步驟?？勺C明，函數f(t)傅里葉變換存在的充分條件:簡記：2)可用下列關系還可方便計算一些積分若對信號f(t)進行奇偶分解則傅里葉變換與逆變換的定義傅里葉變換的定義頻譜密度函數F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)的討論：F(jω)通常是一個復函數

幅度頻譜|F(jω)|是ω的偶函數，關于縱軸對稱

相位頻譜

(ω)是ω的奇函數，關于原點對稱

實部頻譜R(ω)是ω的偶函數，對應原信號偶部的傅里葉變換

虛部頻譜X(ω)是ω的奇函數，對應原信號奇部的傅里葉變換傅里葉變換與逆變換的定義例1：求矩形脈沖(門函數）的傅里葉變換。簡記為，下標

τ表示矩形脈沖寬度t01|F(jω)|ω02π/ττ4π/τ-2π/τ傅里葉變換與逆變換的定義頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：F(jω)ω02π/ττ4π/τ-2π/τω0φ(ω)π4π/τ2π/τ-2π/τ-π傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。與傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。傅里葉變換與逆變換的定義傅里葉變換與逆變換的定義小結傅里葉變換的性質（一）傅里葉變換的性質（一）f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，則[af1(t)+b

f2(t)]←→[aF1(jω)+b

F2(jω)]1．線性性質兩層含義：齊次性：信號增大a倍，頻譜函數也增大a倍?？杉有裕簬讉€信號之和的頻譜函數等于各信號的頻譜函數之和。證明：傅里葉變換的性質（一）F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)2．奇偶虛實性如果

f(t)為

實函數

，則：

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)；|F(jω)|=|F(–jω)|，

(ω)=–

(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(jω)=R(ω)

Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(jω)=jX(ω)傅里葉變換的性質（一）奇偶虛實性證明設f(t)是實函數（為虛函數或復函數情況相似）顯然

所以傅里葉變換的性質（一）若f(t)←→F(jω)，則（1）式中

t→ω，ω→t

則

（2）式中ω→-ωthenF(jt)←→2πf(–ω)3.對稱性證明：∴F(jt)←→2πf(–ω)

證畢傅里葉變換的性質（一）4.尺度變換性質Iff(t)←→F(jω)then其中，a為非零實常數。令，a=-1,f(-t)←→F(-jω)由該性質可知，信號的持續時間與信號的占有頻帶寬度成反比。若加快信息傳輸速度，需要將信號持續時間縮短，就必須在頻域內擴展頻帶，會降低傳輸系統的有效性。傅里葉變換的性質（一）(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。脈沖持續時間增加1/a倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升1/a倍。

t0f(t)Et0E-ττ2F(2ω)ω02EτF(ω)0Eτω傅里葉變換的性質（一）(2)a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。(3)a=-1時域反轉，頻域也反轉。