長山初中2013-2014學年度九年級上期數學導學案活動3.已知：如圖2,OA,OB為。的半徑，C、。分別為。4、的中點,

求證：（1）ZA=ZB;⑵AE=BE

主備人：曹永富審核：九年級數學組

第1課時24.1.1圓

［學習目標］（學什么！）活動4.如圖，AB為。。的直徑，CD是。0中不過圓心的任意一條弦，求證：AB>CDo

1.理解圓的兩種定義，理解并掌握弦、直徑、弧、優弧、劣弧、半圓、等圓、等弧等基本概念,

能夠從圖形中識別；（學習重點）

2.理解“直徑與弦”、“半圓與弧”、“等弧與長度相等的弧”等模糊概念；（學習難點）

3.能應用圓的有關概念解決問題.

［學法指導］（怎么學!）［課堂小結］

通過生活中圓形物體的感性認識，并自己動手操作畫圖，理解圓的定義，通過閱讀教材理解圓1.圓的兩種定義：⑴；

的相關概念并在圖中識別，澄清相關概念，并能用相關概念來解決問題.（2）.

［學習流程］2.什么是弦、直徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧?

一、導學自習（教材P78-79）3.同圓或等圓的半徑有什么性質？

（一）知識鏈接［當堂達標］

1.自己回憶一下，小學學習過圓的哪些知識？1.教材P80練習1、2題

2.下列說法正確的有（）

2.結合教材圖24.1-1,說說生活中有哪些物體是圓形的？并思考圓有什么特征？

①半徑相等的兩個圓是等圓；②半徑相等的兩個半圓是等弧；

（二）自主學習

③過圓心的線段是直徑；④分別在兩個等圓上的兩條弧是等弧.

1.理解圓的定義：（閱讀教材圖24.1-2和圖24.1-3,并自己動手畫圓）（圖3）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（1）描述性定義:o

3.如圖3,點A、。、D以及點B、O、C分別在一條直線上，則圓中有__條弦.

從圓的定義中歸納：①圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于；

4.O的半徑為3c則。中最長的弦長為

②到定點的距離等于定長的點都在.

5.如圖4,在AABC中，NACB=9（RNA=40。,以C為圓心，為半徑的圓交45于點O,求

（2）集合性定義:o

NACD的度數.

（3）圓的表示方法：以。點為圓心的圓記作,讀作.

（4）要確定一個圓，需要兩個基本條件，一個是,另一個是,其中確定圓的位置,

確定圓的大小.

2.圓的相關概念：（1）弦、直徑；（2）弧及其表示方法；（3）等圓、等弧。

如圖1,弦有線段,直徑是,最長的弦是,優弧有;

劣弧有____________________。BX""X

二、研習展評/Kp、

［拓展訓練］

活動L判斷下列說法是否正確，為什么？U

已知：如圖5,AB是。O的直徑，CD是。O的弦，AB,CD的延長線交于E,若AB=2DEfZE=18°,

（1）直徑是弦.（）（2）弦是直徑.（）求NC及NAOC的度數.

（3）半圓是弧.（）（4）弧是半圓.（）（圖1）

（5）等弧的長度相等.（）（6）長度相等的兩條弧是等弧.（）

活動2.。。的半徑為2on,弦AB所對的劣弧為圓周長的工，則NA0B=_______,AB=______

6

（圖5）

［課后作業］［學習目標］（學什么！）

1.以點O為圓心作圓，可以作（）1.理解圓的軸對稱性;

A.1個B.2個C.3個D.無數個2.掌握垂徑定理及其推論，能用垂徑定理及其推論進行有關的計算和證明.

2.一個點到圓的最小距離為4cm,最大距離為9cm,則該圓的直徑是)［學法指導］（怎么學!）

A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或］3cm本節課的學習重點是“垂徑定理”及其應用，學習難點是垂徑定理的題設和結論以及垂徑定理

3.確定一個圓的條件為（）的證明；學習中通過動手操作、觀察、猜想、歸納、驗證得出相關結論，并加以應用.

A.圓心B.半徑C.圓心和半徑D.以上都不對.［學習流程］

4.已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD交于點O.一、導學自習（教材P80-81）

求證：點A、B、C、。在以O為圓心的圓上.1.閱讀教材P80有關“趙州橋”問題，思考能用學習過的知識解決嗎？

2.閱讀教材p80“探究”內容，自己動手操作，發現了什么？由此你能得到什么結論？

歸納：圓是對稱圖形，都是它的對稱軸；

3.閱讀教材p80“思考”內容，自己動手操作：

按下面的步驟做一做：（如圖1）

5.如圖，菱形MCD中，點、E、尸、G、〃分別為各邊的中點.

第一步，在一張紙上任意畫一個O,沿圓周將圓剪下，作。的一條弦A3；

求證：點E、F、G、”四點在同一個圓上.

第二步，作直徑CO,使CDJ_AB,垂足為/

第三步，將。沿著直徑折疊./,\

你發現了什么？

歸納：（1）圖］是—對稱圖形，對稱軸是

（2）相等的線段有________________,相等的弧有______________________.,/1、

二研習展評%）

6.如圖，在。O中，AC.3。為直徑，求證：AB//CD活動1：（1）如圖2,怎樣證明“自主學習3”得到的第（2）個結論.’

疊合法證明：/IA

D

7.如圖，04、08為。O的半徑，C、。為04、08上兩點，＞AC=BD（圖2）

求證：AD=BC

（2）垂徑定理：垂直于弦的直徑____弦，并且_____________的兩條弧.

定理的幾何語言：如圖2CD是直徑（或CO經過圓心），且CD_LAB

（3）推論：.

活動2：垂徑定理的應用

如圖3,已知在。中，弦的長為8cm，圓心。到A3的距離（弦心距）為3cm,求0

的半徑.（分析：可連結Q4,作OCJ_AB于C）

給O

［學后反思］

（圖3）

小結：（1）輔助線的常用作法：連半徑，過圓心向弦作垂線段。

第2課時24.1.2垂直于弦的直徑（2）如圖4,根據垂徑定理和勾股定理，“半弦、半徑、弦心距”構成

(4)

直角三角形，則八d、。的關系為,知道其中任意兩個量，

可求出第三個量.

［課堂小結］

1.垂徑定理是,定理有兩個條件，三個結論。問題2：把圓中直徑AB向下平移，變成非直徑的弦AB,如圖2,是否仍有AC=BD呢？

2.定理可推廣為：在五個條件①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所對的優弧⑤平分弦所

對的劣弧中，知推o

［當堂達標］

1.圓的半徑為5cm,圓心到弦AB的距離為4cm,則AB=cm.

圖2

2.如圖5,AB是。。的直徑，CD為弦,CDJ_A5于則下列結論中不成立的是（）

A.ZCOE=ZDOEB.CE=DEC.OE=BED.BD=BC問題3：在圓2中連結OC,0D,將小圓隱去，得圖4,設OC=OD,求證AC=BD

3.如圖6,CD為。。的直徑，AB±CD^Ef￡>E=8cm,CE=2cm,貝!|cm.

圖4

問題4：在圖2中，連結OA、0B,將大圓隱去，得圖5,設A0=B0,求證：AC二BD

［拓展訓練］

已知：如圖7,A3是。。的直徑，弦CD交AB于E點,BE=lfAE=5fNAEC=30。，求C。的長.

圖5

6.如圖，已知AB是。0的弦，P是AB上一點，若AB=10,PB=4,0P=5,求。0的半徑的

長。

［課后作業］

1、。。的半徑是5,P是圓內一點，且0P=3,過點P最短弦、最長弦的長為.

2、如右圖2所示，已知AB為。0的直徑，且AB_LCD,垂足為M,CD=8,AM=2,

貝lj0M=.

［學后反思］

3、?0的半徑為5,弦AB的長為6,則AB的弦心距長為.

4、已知一段弧AB,請作出弧AB所在圓的圓心。

第4課時24.1.3弧、弦、圓心角

5、問題1：如圖1,AB是兩個以。為圓心的同心圓中大圓的直徑,AB交小圓交于C、

D兩點，求證：AOBD［學習目標］（學什么！）

1.理解圓心角的概念，掌握圓的旋轉不變性（中心對稱性）；

圖1

2.掌握圓心角、弧、弦之間的相等關系定理及推論，并初步學會運用這些關系進行有關的計算和

證明.

［學法指導］（怎么學！）

本節課的學習重點是理解并掌握圓心角、弧、弦之間關系定理并利用其解決相關問題，學習難活動3：如圖4,在。。中，AB=AGZAC5=60°,求證：NA05=NAO仁N3.

點是圓心角、弧、弦之間關系定理中的“在同圓或等圓”條件的理解及定理的證明；學習中通過動（分析：根據圓心角、弧、弦之間關系定理，欲證NAO5=ZAOC=ZB,可先證什么？）

手操作、觀察、比較、猜想、推理、歸納等活動，發展推理能力以及概括問題的能力。

證明:

［學習流程］

一、導學自習（教材P82-83）

（一）知識鏈接

1.是中心對稱圖形.（自己敘述）

2.要證明兩條弧相等，到目前為止有哪兩種方法？（1）（2）［課堂小結］

（二）自主學習

1.圓心角、弧、弦關系定理：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它

1.頂角在的角叫做圓心角.

們所對應的也相等.此結論是證明圓心角相等、弧相等、弦相等常用的依據.

2.圓既是軸對稱圖形，又是對稱圖形，它的對稱中心是.實際上，圓繞其圓心旋轉

2.定理使用要注意“同圓或等圓”這個前提。

任意角度都能夠與原來的圖形重合，因此，圓還是對稱圖形.

［當堂達標］

二、研習展評

1.在同圓或等圓中，如果Cl,那么A3與CO的關系是（）

活動1：（1）閱讀教材P82“探究”內容，動手操作：（可以把重合的兩個圓看成同圓）

A.AB>ClB.AB=ClC.AB<ClD.無法確定

①在兩張透明紙上，作兩個半徑相等的。0和。0',沿圓周分別將兩圓剪下；

2.下列命題中，真命題是（）

②在。0和。0，上分別作相等的圓心角NAO6和NAO3',如圖1所示，圓心固定.

A.相等的弦所對的圓心角相等B.相等的弦所對的弧相等

注意：在畫NAO6與NAO3'時，要使03相對于Q4的方向與06相對于OA的方向一致，否則

C.相等的弧所對的弦相等D.相等的圓心角所對的弧相等

當Q4與OA'重合時，與08不能重合.

3.如圖5,是。。的直徑，是BE上的三等分點，ZAOE=60°,

③將其中的一個圓旋轉一個角度.使得Q4與。A重合.則NCO/是（）

A.40°B.60°C.80°D.120°

4.教材p83練習第2題（做在書上）

5.已知，如圖6,在。0中，弦AD=B（,你能用多種方法證明A3=C1嗎？

（圖1）

通過上面的做一做，你能發現哪些等量關系？同學們互相交流一下，說一說你的理由.

（2）猜想等量關系：,.

（3）（利用圓的旋轉不變性）驗證：

［拓展訓練］

已知：如圖7,A3為。。的直徑，C,。為。。上的兩點，且C為AQ的

（4）歸納圓心角、弧、弦之間關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧，所對

中點，若Nb4D=20°,

的弦o求NACO的度數.

（5）推

論：。

活動2：下面的說法正確嗎？若不正確，指出錯誤原因.［課后作業］

（1）如圖2,小雨說：“因為和所對的圓心角都是N0,所以有A?=A3."

［學后反思］

⑵如圖3,小華說：“因為CJ,所以A3所對的48等于CO所對的CAC

（圖3）

（圖2）

一、導學自習（教材P84-85）

※［課外探究］

1.閱讀教材P84“思考”并認真讀圖，如圖1,視角NAOB叫做角，

1.在。。中，M為A3的中點，則下列結論正確的是（）.而視角NACB、NADB和NAEB不同于視角NAOB這一類的角，我們把

NACB、NADB和NAEB這一類的角叫做______.■

A.AB>2AMB.AB=2AMC.AB<2AMD.Ab與2AM的大小不能確定2.頂點在,并且兩邊都與圓的角叫做圓周角.4C）K大

2.如圖8,在。。中，A3為直徑，弦。交A3于尸，且OQPC,試猜想AO與。?之間的關系,

圓周角定義的兩個特征：（1）頂點都在______；（2）兩邊都與圓_______.,

自己完成“當堂達標”的第題。渤=落

并證明你的猜想.3.1

4.視角NAO3和NACB有什么關系？視角NADB和NA成和視角NAC5相同嗎？曲孰^研究

M同弧（AB）所對的圓心角（NA06）與圓周角（NACB）、同弧所對的圓周角（ZACB、ZADB、

ZAEB等）之間的大小關系.

二、研習展評

活動L（1）閱讀教材P84“探究”內容，動手量一量（如圖2）：

（圖8）

問題1：同弧（弧A3）所對的圓心角NAO5與圓周角NACN的大小關系是怎樣的？

3.如圖9,。。中，直徑A3=15cm,有一條長為9cm的動弦C0在前深上滑動（點C與A,點。與問題2：同弧（弧A8）所對的圓周角NACB與圓周角NAZM的大小關系是怎樣的？

3不重合），CF_LCD交Ab于后DELCD交AB于E.

（2）規律：同弧所對的圓周角的度數,并且它的度數恰好等于這條弧所對的圓心角的度數

⑴求證：AE=BF；

的.

（2）在動弦CO滑動的過程中，四邊形CDE廠的面積是否為定值?若是定值，請給出證明并求這個

活動2：（1）同學們在下面圖3的。。中任取篇所對的圓周角，并思考圓心與圓周角有哪幾種位置關

定值；若不是，請說明理由.

系？

（圖9）

（2）實際上，圓心與圓周角存在三種位置關系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內部；圓

心在圓周角的外部.（如圖4）

第5課時24.1.4圓周角（1）

［學習目標］（學什么！）

1.理解圓周角的定義，了解與圓心角的關系，會在具體情景中辨別圓周角.

2.掌握圓周角定理及推論，并會運用這些知識進行簡單的計算和證明.

［學法指導］（怎么學!）

本節課的學習重點是理解并掌握圓周角定理及推論，學習難點是圓周角定理的證明中采用的分

類思想及由“一般到特殊”的數學思想方法；學習中經歷操作、觀察、猜想、分析、交流、論證等

數學活動，體驗圓周角定理的探索過程，培養合情推理能力，發展自己的邏輯思維能力、推理論證②當圓心在圓周角內部（或在圓周角外部）時，能不能作輔助線將問題轉化成圓心在圓周角一邊上

能力和用幾何語言表達的能力.的情況，從而運用前面的結論，得出這時圓周角仍然等于相應的圓心角的結論.

［學習流程］證明：作出過0的直徑（自己完成）

※［課外探究］

（4）同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半.其實，等弧的情況下該命題也是成立的，1.如圖9,△A5C的三個頂點在。O上，ZA=50°,ZABC=60°,30是。。的直徑，5。交AC

命題“同弧或等弧所對的圓周角相等”也是正確的，想一想為什么？于點￡,連結OC,求NAE3的度數.

（5）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角,都等于這條弧所對的圓心角2.已知：如圖10,Ab是。。的直徑，CD為弦,且Ab_LC0于E,尸為DC延長線上一點，連結Ab

的.交。。于M.求證：ZAMD=ZFMC.

（6）由圓周角定理和圓心角、弧、弦之間關系，可以證明：（學生自己完成）

推論L在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定.

說明：注意圓周角定理及推論1不能丟掉“同圓或等圓”這個前提.

活動3：（小組討論）由圖5,結合圓周角定理思考

問題L半圓（或直徑）所對的圓周角是多少度？

問題2：90°的圓周角所對的弦是什么？

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是；的圓周角所對的弦是直徑.

說明：推論2為在圓中確定直角、成垂直關系創造了條件.

［課堂小結］

談談本節課的體會：知識、思想、方法、收獲、……

［當堂達標］

1.在下列與圓有關的角中，哪些是圓周角？哪些不是，為什么？

(圖5)第6課時24.L4圓周角（2）

［學習目標］（學什么！）

1.理解圓內接多邊形和多邊形的外接圓的概念，掌握圓內接四邊形的性質，并會用此性質進行

(1)(2)(3)(4)(5)有關的計算和證明；

2.教材p86練習1、2題（直接做在書上）2.進一步掌握圓周角定理及推論，并會綜合運用知識進行有關的計算和證明，培養分析問題、解

3.如圖6,點A、B、C、D在。O上，若NC=60。，則ND=____,ZAOB=_決問題的能力.

4.如圖7,等邊△ABC的頂點都在。O上，點D是。O上一點，則NBDC三

3.理解并掌握“如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”

這個直角三角形的判定方法.

［學法指導］（怎么學!）

本節課的學習重點是理解圓內接四邊形的性質并能熟練運用圓周角定理及推論進行有關的計算

和證明，學習難點是綜合運用知識進行有關的計算和證明時，培養自己的邏輯思維能力及分析問題、

解決問題的能力；學習中注重培養自己的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.

［學習流程］

一、導學自習（教材P85-86）

［拓展訓練］