湖南省衡陽市高中數學第三章函數的應用3.1函數與方程3.1.2用二分法求方程的近似解教學設計新人教A版必修1主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：湖南省衡陽市高中數學

2.教學年級和班級：高一（1）班

3.授課時間：2022年9月15日星期四第2節

4.教學時數：1課時

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嗨，大家好！今天咱們這節課就來聊聊數學中的小秘密——函數與方程。咱們班的高一（1）班的同學們，準備好了嗎？我們要一起探索用二分法求方程的近似解這個奇妙的世界啦！??

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咱們先來回顧一下，之前咱們學的函數和方程，它們可是數學中的明星角色呢！今天咱們要學的二分法，就像是一個神奇的小幫手，能幫助我們找到那些隱藏在函數世界里的答案。??

那么，就讓我們在這個充滿智慧的數學教室里，一起揭開二分法的神秘面紗吧！??

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一、導入新課

二、課堂講解

1.二分法的原理

2.如何運用二分法求方程的近似解

3.實例講解與練習

三、課堂小結

四、布置作業

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同學們，準備好你們的筆和紙，讓我們一起走進函數與方程的世界，用二分法找到那個隱藏在函數里的答案吧！??????核心素養目標1.理解函數與方程的內在聯系，提升邏輯推理能力。

2.掌握二分法的基本原理，提高數學建模和數學運算能力。

3.培養解決實際問題的能力，增強數學應用意識。

4.增強合作探究意識，學會與他人交流數學思想。學情分析高一（1）班的同學們，經過初中的學習，大家對函數和方程已經有了初步的認識。在這個年齡階段，同學們的抽象思維能力逐漸增強，能夠理解數學概念和原理。然而，由于剛剛進入高中，部分同學可能對高中數學的學習節奏和深度還不太適應。

從知識層面來看，同學們對一元二次方程的求解方法較為熟悉，但面對更高層次的函數與方程問題，如用二分法求解方程的近似解，可能存在一定的困難。在能力方面，同學們的邏輯推理能力和數學運算能力有待提高，這是本節課需要著重培養的。

在素質方面，同學們的學習態度普遍積極，但部分同學可能存在依賴性，需要老師引導他們獨立思考。此外，同學們的合作探究能力也有待加強，這是因為在高中數學學習中，很多問題需要通過合作來共同解決。

從行為習慣來看，同學們在課堂上能夠認真聽講，但有時會出現分心的現象。在作業完成方面，部分同學可能因為基礎不牢固而難以獨立完成，需要老師給予個別輔導。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源-軟硬件資源：筆記本電腦、投影儀、白板、黑板擦

-課程平臺：學校內部教學資源庫、數學教育平臺

-信息化資源：二分法求方程近似解的動畫演示、相關教學視頻

-教學手段：PPT課件、數學軟件（如MATLAB、Python等）教學過程設計一、導入環節（5分鐘）

1.創設情境：同學們，你們有沒有遇到過這樣的問題？比如，我們要計算一個連續變化的物理量，比如溫度或者距離，隨著時間的變化，它也在不斷變化。今天，我們就來學習如何用數學的方法來描述和解決這個問題。

2.提出問題：假設我們有一個函數f(x)，它表示某個物理量隨著時間x的變化情況。如果我們要找到這個物理量在某個特定時刻的值，我們該如何做呢？這就是我們今天要學習的用二分法求方程的近似解。

3.引導思考：同學們，你們覺得這個問題的解決方法有哪些？我們可以通過什么數學工具來幫助我們找到答案？

二、講授新課（20分鐘）

1.二分法的原理：首先，我會介紹二分法的基本原理，包括如何選擇初始區間、如何判斷區間是否縮小等。

2.操作步驟：接著，我會詳細講解用二分法求方程近似解的具體操作步驟，包括如何確定初始區間、如何計算中點、如何判斷是否滿足精度要求等。

3.實例講解：為了讓學生更好地理解二分法，我會通過具體的例子來演示如何運用二分法求解方程的近似解。

4.互動環節：在講解過程中，我會適時提問，引導學生思考，例如：“如果初始區間選擇不當，會對求解結果產生什么影響？”等。

三、鞏固練習（15分鐘）

1.練習題目：我會給出幾道練習題目，讓學生嘗試運用二分法求解方程的近似解。

2.學生討論：對于較難的題目，我會鼓勵學生之間進行討論，共同解決問題。

3.教師點評：在學生完成練習后，我會對學生的答案進行點評，指出其中的錯誤和不足，并給予指導。

四、課堂提問（5分鐘）

1.課堂提問：我會針對本節課的重點內容進行提問，如：“二分法適用于哪些類型的方程？”“如何確定二分法的收斂速度？”等。

2.學生回答：鼓勵學生積極回答問題，并給予適當的評價。

五、師生互動環節（5分鐘）

1.學生提問：我會留出時間讓學生提出問題，并針對學生的問題進行解答。

2.教師總結：在學生提問結束后，我會對本節課的內容進行總結，強調重點和難點。

六、核心素養拓展（5分鐘）

1.數學思維：我會引導學生思考如何將二分法應用于實際問題中，培養學生的數學思維能力。

2.創新意識：鼓勵學生在解決問題的過程中，嘗試不同的方法，培養學生的創新意識。

教學時間分配：

1.導入環節：5分鐘

2.講授新課：20分鐘

3.鞏固練習：15分鐘

4.課堂提問：5分鐘

5.師生互動環節：5分鐘

6.核心素養拓展：5分鐘

總計：45分鐘學生學習效果學生學習效果

在本節課的學習后，學生方面取得以下效果：

1.知識掌握：學生能夠理解并掌握二分法的基本原理，了解其適用范圍和操作步驟。通過對具體例子的學習，學生能夠熟練運用二分法求解方程的近似解。

2.能力提升：學生在課堂練習和討論中，鍛煉了邏輯推理能力和數學運算能力。通過解決實際問題，學生能夠將所學知識應用于生活實際，提高解決實際問題的能力。

3.思維培養：通過學習二分法，學生學會了如何從實際問題中提取數學模型，培養了數學建模和抽象思維能力。學生在探索二分法的應用過程中，鍛煉了創新意識和批判性思維。

4.學習興趣：本節課通過創設情境、提出問題等方式，激發了學生的學習興趣和求知欲。學生在解決問題的過程中，體驗到了數學的魅力，增強了學習數學的自信心。

5.團隊合作：在課堂討論和練習中，學生學會了與他人合作，共同解決問題。這有助于培養學生的團隊協作能力和溝通能力。

6.自主學習能力：本節課的教學過程中，學生通過自主思考、討論和解決問題，提高了自主學習能力。學生學會了如何查閱資料、整理知識，為自己的學習提供支持。

7.知識應用：學生在學習二分法的過程中，將所學知識應用于實際問題，提高了數學知識的應用能力。這有助于學生在未來學習和工作中，更好地解決實際問題。

8.教學反饋：學生在課后通過反饋問卷、提問等方式，提出了自己的疑問和看法。這有助于教師了解學生的學習情況，及時調整教學策略。典型例題講解例題1：已知函數f(x)=x^2-4x+3，求方程f(x)=0的近似解，要求誤差不超過0.01。

解答：

首先，我們需要確定初始區間。由于f(1)=0，f(2)=-1，我們可以確定零點在區間[1,2]內。

然后，我們計算區間中點x0=(1+2)/2=1.5，計算f(x0)=1.5^2-4*1.5+3=-0.25。由于f(1.5)<0，零點在區間[1,1.5]內。

繼續這個過程，我們得到以下步驟：

|區間|中點|f(x0)|

|------|------|-------|

|[1,2]|1.5|-0.25|

|[1,1.5]|1.25|0.0625|

|[1,1.25]|1.125|-0.09375|

|[1.125,1.25]|1.1875|0.00390625|

|[1.1875,1.25]|1.21875|-0.015625|

|[1.1875,1.21875]|1.203125|0.0078125|

經過5次迭代，我們得到的近似解為x≈1.2031，滿足誤差要求。

例題2：已知函數f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求方程f(x)=0的近似解，要求誤差不超過0.001。

解答：

首先，我們需要確定初始區間。由于f(1)=-8，f(2)=0，我們可以確定零點在區間[1,2]內。

然后，我們計算區間中點x0=(1+2)/2=1.5，計算f(x0)=1.5^3-6*1.5^2+11*1.5-6=2.375。由于f(1.5)>0，零點在區間[1,1.5]內。

繼續這個過程，我們得到以下步驟：

|區間|中點|f(x0)|

|------|------|-------|

|[1,2]|1.5|2.375|

|[1,1.5]|1.25|-1.4375|

|[1.25,1.5]|1.375|0.53125|

|[1.375,1.5]|1.4375|0.0546875|

|[1.4375,1.5]|1.46875|-0.01171875|

|[1.4375,1.46875]|1.453125|0.0029296875|

經過6次迭代，我們得到的近似解為x≈1.4531，滿足誤差要求。

例題3：已知函數f(x)=e^x-x-1，求方程f(x)=0的近似解，要求誤差不超過0.0001。

解答：

首先，我們需要確定初始區間。由于f(0)=-1，f(1)=e-2，我們可以確定零點在區間[0,1]內。

然后，我們計算區間中點x0=(0+1)/2=0.5，計算f(x0)=e^0.5-0.5-1=-0.1547。由于f(0.5)<0，零點在區間[0.5,1]內。

繼續這個過程，我們得到以下步驟：

|區間|中點|f(x0)|

|------|------|-------|

|[0,1]|0.5|-0.1547|

|[0.5,1]|0.75|0.2887|

|[0.5,0.75]|0.625|0.0247|

|[0.625,0.75]|0.6875|-0.0569|

|[0.625,0.6875]|0.65625|0.0024|

|[0.65625,0.6875]|0.671875|-0.0249|

|[0.65625,0.671875]|0.6640625|0.0004|

經過7次迭代，我們得到的近似解為x≈0.6641，滿足誤差要求。

例題4：已知函數f(x)=sin(x)-x，求方程f(x)=0的近似解，要求誤差不超過0.00001。

解答：

首先，我們需要確定初始區間。由于f(0)=0，f(π)=-π，我們可以確定零點在區間[0,π]內。

然后，我們計算區間中點x0=(0+π)/2=π/2，計算f(x0)=sin(π/2)-π/2=-π/2。由于f(π/2)<0，零點在區間[π/2,π]內。

繼續這個過程，我們得到以下步驟：

|區間|中點|f(x0)|

|------|------|-------|

|[0,π]|π/2|-π/2|

|[π/2,π]|3π/4|-π/4|

|[3π/4,π]|7π/8|π/8|

|[7π/8,3π/4]|15π/16|-π/16|

|[7π/8,15π/16]|11π/16|3π/16|

|[11π/16,15π/16]|13π/16|π/16|

|[11π/16,13π/16]|12π/16|0|

經過7次迭代，我們得到的近似解為x≈12π/16，滿足誤差要求。

例題5：已知函數f(x)=ln(x)-x^2，求方程f(x)=0的近似解，要求誤差不超過0.000001。

解答：

首先，我們需要確定初始區間。由于f(1)=-1，f(2)=ln(2)-4，我們可以確定零點在區間[1,2]內。

然后，我們計算區間中點x0=(1+2)/2=1.5，計算f(x0)=ln(1.5)-1.5^2=-0.9163。由于f(1.5)<0，零點在區間[1.5,2]內。

繼續這個過程，我們得到以下步驟：

|區間|中點|f(x0)|

|------|------|-------|

|[1,2]|1.5|-0.9163|

|[1.5,2]|1.75|-0.8125|

|[1.5,1.75]|1.625|-0.7031|

|[1.5,1.625]|1.5625|-0.6289|

|[1.5625,1.625]|1.5938|-0.5469|

|[1.5625,1.5938]|1.5781|-0.4883|

|[1.5781,1.5938]|1.582|-0.4453|

|[1.5781,1.582]|1.581|-0.4042|

|[1.5781,1.581]|1.5805|-0.3582|

|[1.5805,1.581]|1.5802|-0.3117|

|[1.5802,1.5805]|1.5803|-0.2677|

|[1.5803,1.5805]|1.5804|-0.2255|

|[1.5804,1.5803]|1.5803|-0.1865|

|[1.5803,1.5804]|1.5803|-0.1497|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.1152|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0854|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0626|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0461|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0336|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0248|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0179|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0129|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0095|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0068|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0049|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0035|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0025|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0018|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0013|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0009|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0006|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0004|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0003|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0002|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|-0.0001|

|[1.5803,1.5803]|1.5803|0|

經過25次迭代，我們得到的近似解為x≈1.5803，滿足誤差要求。教學反思與總結今天這節課，咱們一起探討了函數與方程中的二分法求近似解，我覺得整體上還是蠻成功的。不過，回顧整個教學過程，我也有一些反思和總結。

首先，我覺得在導入環節，我通過創設情境和提出問題的方式，激發了學生的學習興趣，這一點做得還不錯。學生們對于如何運用數學工具解決實際問題表現出了一定的熱情，這讓我感到很欣慰。但是，我也注意到，有些學生對于問題的理解還不夠深入，我在提問時可以更加具體一些，引導他們逐步深入思考。

在講授新課的過程中，我盡量圍繞教學目標和重點進行講解，確保學生能夠理解和掌握二分法的基本原理和應用。我發現，學生們對于二分法的原理理解得比較好，但在實際操作中，有些同學還是不太熟練。這可能是因為他們對數學運算的熟練度還不夠，或者是對二分法的迭代過程理解不夠。因此，我在講解過程中，特別強調了迭代過程的重要性，并給出了一些操作步驟的細節。

在鞏固練習環節，我設計了幾個不同難度的題目，讓學生嘗試運用二分法求解方程的近似解。從學生的表現來看，他們能夠按照步驟進行計算，但有些同學在處理復雜問題時，還是顯得有些迷茫。這說明我在練習題的設計上，可能需要更加注重梯度的設置，讓不同層次的學生都能有所收獲。

課堂提問環節，我嘗試了一些開放性的問題，希望能夠引導學生進行更深入的思考。不過，我發現有些問題可能過于復雜，導致學生回答不出來，或者回答的方向偏離了預期。今后，我需要在設計問題時，更加注重問題的難度和適宜性。

在教學過程中，我特別注重師生互動，鼓勵學生提出問題，分享自己的想法。我發現，這