PAGEPAGE1第4講直線、平面平行的判定與性質(zhì)1．在空間內(nèi)，下列命題正確的是()A．平行直線的平行投影重合B．平行于同始終線的兩個(gè)平面平行C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行解析：選D.對(duì)于A，平行直線的平行投影也可能相互平行，或?yàn)閮蓚€(gè)點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行于同始終線的兩個(gè)平面也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，垂直于同一平面的兩個(gè)平面也可能相交，故C錯(cuò)誤；而D為直線和平面垂直的性質(zhì)定理，正確．2．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析：選D.若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故解除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故解除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故解除C.3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若α⊥γ，α⊥β，則γ∥βB．若m∥n，m?α，n?β，則α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥βD．若m∥n，m∥α，則n∥α解析：選C.對(duì)于A，若α⊥γ，α⊥β，則γ∥β或γ與β相交；對(duì)于B，若m∥n，m?α，n?β，則α∥β或α與β相交；易知C正確；對(duì)于D，若m∥n，m∥α，則n∥α或n在平面α內(nèi)．故選C.4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析：選B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊eq\f(1,5)BD，又EF?平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HG綊eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．5.在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分別與AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，且它們分別是AB、BC、SC、SA的中點(diǎn)，那么四邊形DEFH的面積為()A．18B．18eq\r(3)C．36D．36eq\r(3)解析：選A.因?yàn)镈、E、F、H分別是AB、BC、SC、SA的中點(diǎn)，所以DE∥AC，F(xiàn)H∥AC，DH∥SB，EF∥SB，則四邊形DEFH是平行四邊形，且HD＝eq\f(1,2)SB＝6，DE＝eq\f(1,2)AC＝3.如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OB、SO，因?yàn)镾A＝SC＝12，AB＝BC＝6，所以AC⊥SO，AC⊥OB，又SO∩OB＝O，所以AO⊥平面SOB，所以AO⊥SB，則HD⊥DE，即四邊形DEFH是矩形，所以四邊形DEFH的面積S＝6×3＝18，故選A.6．設(shè)m，l表示直線，α表示平面，若m?α，則“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的________條件．(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”)解析：m?α，l∥α不能推出l∥m；m?α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必要條件．答案：既不充分也不必要7.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________．解析：因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為DC的中點(diǎn)．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)8．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，所得截面的面積是________．解析：如圖，取AB，C1D1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接A1E，A1F，EF，則平面A1EF∥平面BPC1.在△A1EF中，A1F＝A1E＝eq\r(5)，EF＝2eq\r(2)，S△A1EF＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(（\r(5)）2－（\r(2)）2)＝eq\r(6)，從而所得截面面積為2S△A1EF＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)9.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點(diǎn)，求證：(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.證明：(1)如圖，連接SB，因?yàn)镋、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，所以EG∥SB.又因?yàn)镾B?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，所以直線EG∥平面BDD1B1.(2)連接SD，因?yàn)镕、G分別是DC、SC的中點(diǎn)，所以FG∥SD.又因?yàn)镾D?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，又EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.10．(2024·云南省11?？鐓^(qū)調(diào)研)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，AD＝2eq\r(3)，∠ACD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：BC∥平面PAE；(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離．解：(1)證明：因?yàn)锳B＝eq\r(3)，BC＝1，∠ABC＝90°，所以AC＝2，∠BCA＝60°.在△ACD中，因?yàn)锳D＝2eq\r(3)，AC＝2，∠ACD＝60°，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，所以CD＝4，所以AC2＋AD2＝CD2，所以△ACD是直角三角形，又E為CD中點(diǎn)，所以AE＝eq\f(1,2)CD＝CE，因?yàn)椤螦CD＝60°，所以△ACE為等邊三角形，所以∠CAE＝60°＝∠BCA，所以BC∥AE，又AE?平面PAE，BC?平面PAE，所以BC∥平面PAE.(2)設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d，依據(jù)題意可得，PC＝2eq\r(2)，PD＝CD＝4，所以S△PCD＝2eq\r(7)，因?yàn)閂P-ACD＝VA-PCD，所以eq\f(1,3)·S△ACD·PA＝eq\f(1,3)·S△PCD·d，所以eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×2＝eq\f(1,3)×2eq\r(7)d，所以d＝eq\f(2\r(21),7)，所以點(diǎn)A到平面PCD的距離為eq\f(2\r(21),7).1．如圖，透亮塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)命題：①?zèng)]有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在平面平行；④當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，BE·BF是定值．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C.由題圖，明顯①是正確的，②是錯(cuò)的；對(duì)于③因?yàn)锳1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正確的；因?yàn)樗嵌康?定體積V)．所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正確的，故選C.2．(2024·安徽安慶模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、Q分別是棱D1C1、A1D1、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1.則以下四個(gè)說法：①M(fèi)N∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A、P、M三點(diǎn)共線；④平面MNQ∥平面APC.其中說法正確的是________．解析：①連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM、CN，易得AM、CN交于點(diǎn)P，即MN?面APC，所以MN∥面APC是錯(cuò)誤的；②由①知M、N在平面APC上，由題易知AN∥C1Q，所以C1Q∥面APC是正確的；③由①知A，P，M三點(diǎn)共線是正確的；④由①知MN?面APC，又MN?面MNQ，所以面MNQ∥面APC是錯(cuò)誤的．答案：②③3．(2024·福建泉州質(zhì)檢)在如圖所示的多面體中，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AD∥BC，AB＝CD，∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4DE＝4.(1)在AC上求作點(diǎn)P，使PE∥平面ABF，請(qǐng)寫出作法并說明理由；(2)求三棱錐A-CDE的高．解：(1)取BC的中點(diǎn)G，連接DG，交AC于點(diǎn)P，連接EG，EP.此時(shí)P為所求作的點(diǎn)(如圖所示)．下面給出證明：因?yàn)锽C＝2AD，G為BC的中點(diǎn)，所以BG＝AD.又因?yàn)锽C∥AD，所以四邊形BGDA是平行四邊形，故DG∥AB，即DP∥AB.又AB?平面ABF，DP?平面ABF，所以DP∥平面ABF.因?yàn)锳F∥DE，AF?平面ABF，DE?平面ABF，所以DE∥平面ABF.又因?yàn)镈P?平面PDE，DE?平面PDE，PD∩DE＝D，所以平面PDE∥平面ABF，因?yàn)镻E?平面PDE，所以PE∥平面ABF.(2)在等腰梯形ABCD中，因?yàn)椤螦BC＝60°，BC＝2AD＝4，所以可求得梯形的高為eq\r(3)，從而△ACD的面積為eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE是三棱錐E-ACD的高．設(shè)三棱錐A-CDE的高為h.由VA-CDE＝VE-ACD，可得eq\f(1,3)×S△CDE×h＝eq\f(1,3)S△ACD×DE，即eq\f(1,2)×2×1×h＝eq\r(3)×1，解得h＝eq\r(3).故三棱錐A-CDE的高為eq\r(3).4．如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明：(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O，連接AE，則AE必過點(diǎn)O，連接MO，