高中數學校本教程系列（一）

數學與科學決策

（高一年選用）

課程目標

通過介紹數學在航海、企業決策、國計民生的宏觀控制

等方面的應用，使學生感受數學與日常生活及其他學科的聯

系，體驗數學在解決實際問題中的作用、感受數學的應用價

值，擴展學生的視野，激發學生學習數學的興趣，促進學生

逐步形成和發展數學應用意識，提高學生的實踐能力。

目錄

第一講

線性規劃與最優化楊福海------2

第二講

生活中的數學劉順林——12

第三講

讓數學幫你理財蔡啟明-----19

第四講

把握或然，你會更聰明江祥榮--------23

第五講

奇妙數列——數列在生活中的應用陳志強------27

第六講

順水推舟，克“敵”致勝……例談反證法的應用楊瑞華一一34

第七講

不等式在解決實際問題中的應用盧介成-------41

第一講線性規劃與最優化

廈門六中數學教研組楊福海

第一課時

什么是線性規劃方法？

線性規劃方法是在第二次世界大戰中發展起來的一種重要的數量方法，線性規劃

方法是企業進行總產量計劃時常用的一種定量方法。線性規劃是運籌學的一個最重要

的分支，理論上最完善，實際應用得最廣泛。主要用于研究有限資源的最佳分配問題，

即如何對有限的資源作出最佳方式地調配和最有利地使用，以便最充分地發揮資源的

效能去獲取最佳的經濟效益。由于有成熟的計算機應用軟件的支持，采用線性規劃模

型安排生產計劃，并不是一件困難的事情。在總體計劃中，用線性規劃模型解決問題

的思路是，在有限的生產資源和市場需求條件約束下，求利潤最大的總產量計劃。該

方法的最大優點是可以處理多品種問題。

線性規劃模型的適用性

線性規劃模型用在原材料單一、生產過程穩定不變、分解型生產類型的企業是十

分有效的，如石油化工廠等。對于產品結構簡單、工藝路線短、或者零件加工企業，

有較大的應用價值。需要注意的是，對于機電類企業用線性規劃模型只適用于作年度

的總生產計劃，而不宜用來做月度計劃。這主要與工件在設備上的排序有關，計劃期

太短，很難安排過來。

三：線性規劃模型的結構

企業是一個復雜的系統，要研究它必須將其抽象出來形成模型。如果將系統內部因素

的相互關系和它們活動的規律用數學的形式描述出來，就稱之為數學模型。線性規劃的模型

決定于它的定義，線性規劃的定義是：求一組變量的值，在滿足一組約束條件下，求得目標

函數的最優解。

根據這個定義，就可以確定線性規劃模型的基本結構。

(1)變量變量又叫未知數，它是實際系統的未知因素，也是決策系統中的可控因素，

一般稱為決策變量，常引用英文字母加下標來表示，如Xi，X2,X3,Xmn等。

(2)目標函數將實際系統的目標，用數學形式表現出來，就稱為目標函數，線性規劃

的目標函數是求系統目標的數值，即極大值，如產值極大值、利潤極大值或者極小

值，如成本極小值、費用極小值、損耗極小值等等。

(3)約束條件約束條件是指實現系統目標的限制因素。它涉及到企業內部條件和外部

環境的各個方面，如原材料供應、設備能力、計劃指標、產品質量要求和市場銷售

狀態等等，這些因素都對模型的變量起約束作用，故稱其為約束條件。

約束條件的數學表示形式為三種，即N、=、＜?線性規劃的變量應為正值，因為變量

在實際問題中所代表的均為實物，所以不能為負。在經濟管理中，線性規劃使用較多的是下

述兒個方面的問題：

(1)投資問題一確定有限投資額的最優分配，使得收益最大或者見效快。

(2)計劃安排問題一確定生產的品種和數量，使得產值或利潤最大，如資源配制問題。

(3)任務分配問題一分配不同的工作給各個對象(勞動力或機床)，使產量最多、效率最

高，如生產安排問題。

(4)下料問題一如何下料，使得邊角料損失最小。

(5)運輸問題一在物資調運過程中，確定最經濟的調運方案。

(6)庫存問題一如何確定最佳庫存量，做到即保證生產又節約資金等等。

2

應用線性規劃建立數學模型的三步驟：

(1)明確問題，確定問題，列出約束條件。

(2)收集資料，建立模型。

(3)模型求解(最優解)，進行優化后分析。

其中，最困難的是建立模型，而建立模型的關鍵是明確問題、確定目標，在建立模型

過程中花時間、花精力最大的是收集資料。

四：運用線性規劃模型進行總生產計劃時的問題

1、線性規劃模型考慮的因素可能不全面，實際中有些情況沒有被考慮到，這就

使得線性規劃模型過于理想化；

2、實際運用線性規劃模型時，雖然一些因素或約束條件被考慮到了，但是由于

這些因素或約束條件不易量化或求得(如進行總生產計劃常需考慮到的能源單耗就不

易求得)時，線性規劃模型的運用和有效性因而受到了一定的限制；

3、對一些基礎管理不善的企業而言，模型中的單位產品資源消耗系數a很難得

到；

4、目標函數中的產為成本系數C實際上是個變量，他隨計劃的數量結構和品種

結構而變。這些問題給機械行業應用線性規劃模型帶來許多困難，如處理不好，求得

的結果的可靠性會很低的。

第二課時

數學建模一線性規劃模型

一：問題的提出

在生產管理和經營活動中經常提出一類問題，即如何合理地利用有限的人力、物力、財

力等資源，以便得到最好的經濟效果。

例1若需在長為4000mm的圓鋼上，截出長為698mm和518mm兩種毛坯，問怎樣截取才能

使殘料最少？

初步分析可以先考慮兩種“極端”的情況：

(1)全部截出長為698mm的甲件，-共可截出EQF(4000,698)?5件，殘料長為510mm。

(2)全部截出長為518mm的乙件，一共可截出EQF(4000,518)?7件，殘料長為374mm。

由此可以想到，若將x個甲件和y個乙件搭配起來下料，是否可能使殘料減少？把截取條

件數學化地表示出來就是：

698x+518yW4000

x,y都是非負整數

目標是使：z=EQF(698x+518y,4000)(材料利用率)盡可能地接近或等于1。(盡可

能地大)

該問題可用數學模型表示為：

3

目標函數maxz=EQF(698x+518y,4000)

l滿足約束條件：698x+518yW4000,(1)

x,y都是非負整數.(2)

例2某工廠在計劃期內要安排生產I、II兩種產品，已知生產單位產品所需的設備臺

數及A、B兩種原料的消耗，如下表所示。

III

設備

128臺數

原材料A

4016kg

原材料B

0412kg

該工廠每生產一件產品I可獲利2元，每生產一件產品II可獲利3元，問應如何安排生

產計劃使工廠獲利最多？

這問題可以用以下的數學模型來描述：設Xi,X2分別表示在計劃期內產品I、II的產量。

因為設備的有效臺數為8,這是一個限制產量的條件，所以在確定I、II的產量時，要考

慮不超過設備的有效臺數，即可用不等式表示為：

x1+2x2W8.

同理，因原材料A、B的限量，可以得到以下不等式：

4x?W16

4xzW12.

該工廠的目標是在不超過所有資源限量的條件下，如何確定產量XI、Xz以得到最大的利潤。

若用z表示利潤，這時z=2xi+3X2。綜上所述，該計劃問題可用數學模型表示為：

目標函數：maxz=2x1+3x2

滿足約束條件：Xi+2xzW8

4

4xiW16

4x2W12.

X1,X2>0

該模型的特征是：

（1）有一組決策變量（XI,X2,xn）表示某一方案；這組決策變量的值就代表一個具體

方案。一般這些變量取值是非負的。

（2）存在一定的約束條件，這些約束條件可用一組線性等式（不等式）來表示。

（3）有一個要求達到的目標，它可用決策變量的線性函數（稱為目標函數）來表示。按問

題的不同，要求實現目標函數最大化或最小化。

滿足以上三個條件的數學模型稱為線性規劃模型。其一般形式為：

目標函數：max（min）=cixi+c2x2+…+c?x?

auxi+aJ2x2+….+ai3x?2bi

a2）xi+az2X2+,,,.+a23X*2b2

滿足約束條件：……

a*x?+a?2X2+?,,,+aMX2b

XI,X2,…，Xn>0

二：問題的解決窮舉法

以例1為例介紹窮舉法。

先根據（1）求出X所有可能的取值為：0、1、2、3、4、5,再由（1）把相應y的最

大值求出，對應為7、6、5、3、2、0,依此計算住z值如下表：

X012345

y765320

Z90.65%95.15%99.65%91.20%95.70%87.25%

由表可知，在一根圓鋼上截取2個甲件和5個乙件，可以得到最高的材料利用率

99.65%。

5

第三課時

線性規劃的應用實例

例1某工廠甲、乙兩種產品，每件甲產品要耗鋼材2kg、煤2kg、產值為120元；每件乙產

品要耗鋼材3kg,煤1kg,產值為100元。現鋼廠有鋼材600kg,煤400kg,試確定甲、乙兩

種產品各生產多少件，才能使該廠的總產值最大？

解設甲、乙兩種產品的產量分別為Xi、X2,則總產值是Xi、X2的函數

f（Xi，X2）=120X,+100X2

資源的多少是約束條件：

由于鋼的限制，應滿足2X|+3X2^600；由于煤的限制，應滿足2X|+X2*00。

綜合上述表達式，得數學模型為

求最大值（目標函數）：f（X,,X2）=120X|+100X2

2XI+3X2?600

2X1+X2<400

Xt>0,X2>0

X|,X2為決策變量，解得X05O件,X20OO件

fmax=（120x150+100x100）7^=280007E

故當甲產品生產150件、乙產品生產100件時，產值最大，為28000元。

例2某工廠在計劃期內要安排甲、乙兩種產品。這些產品分別需要在A、B、C、D四種不

同設備上加工。按工藝規定，產品甲和乙在各設備上所需加工臺數列表于表1-1中。已知設

備在計劃期內的有效臺時數分別是12、8、16和12（一臺設備工作lh稱為一臺時），該工廠

每生產一件甲產品可得利潤20元，每生產一件乙產品可得利潤30元。問應如何安排生產計

劃，才能得到最多利潤？

解1）建立數學模型

設X,>X2分別表示甲、乙產品的產量，則利潤是f（X”X2）=20X1+30X2，求最

大值。

設備的有效利用臺時為約束條件：

A：2X,+2X2<12

B：X|+2X2<8

6

C：4X1W16

D：4XE2

X,>0,X2>0

2）求解未知數

Xi*、X2<3,但由式⑴、式（2）得X|*、X2<2,所以取XI*、X,<2故

fmax=（20x4+30x2）元=140元

3）結論：在計劃期內，安排生產甲產品4件、乙產品2件，可得到最多的利潤（140元）。

例3某工廠為維修全廠某類設備制造備件，需由一批5.5m長的相同直徑的圓鋼截取

3.1m、2.1m、1.2m的胚料。每臺設備所需的件數如表1-2所示。用5.5m長的圓鋼截取上述

三種規格的零件時，有下列五種截取方法可供選擇，如表1—2所示。問當設備總數為100

臺時，采取何種方案可使5.5m的圓鋼用料最省？

表1-2每臺設備所需的件數

規格/m每臺設備所需件數

3.11

2.12

1.24

表1-3五種截取方法

方案截取3.1的根數截取2.1的根數截取1.2的根數所剩料頭

11100.3

21020

30210.1

40121

50040.7

假設：按第一方案截取的5.5m長的圓鋼數為X,

按第二方案截取的5.5m長的圓鋼數為X2

按第三方案截取的5.5m長的圓鋼數為X3

按第四方案截取的5.5m長的圓鋼數為X4

7

按第五方案截取的5.5m長的圓鋼數為X5

據此表1-4：

方案3.1m的根數2.1m的根數1.2M的根數

1XiXi0

2X：02發

302X：x3

40X2X

5004X5

因為設備總臺數為100臺，所以按各方案截取的零件數必須滿足下列約束條件：

X1+X2=100

X2+2X3+X4=200

2X2+X3+2X4+4X5=400

X,,X2,X3,X4,X5>0

目標函數為frnin=Xi+X2+X3+X4+X5

通過計算機運算得最優解為X|=0、X2=100>X3=100.X4=0、X5=25,故最優值（最

省方案）為fmin=225根

對于只有兩變量的線性規劃問題，可以用圖解法求最優解，其特點是過程清楚、圖形清晰。

例4設有一線性規劃問題表達式（包括目標函數、約束條件）如下

fmax=50X,+40X2

Xi+X2<450(1)

2X1+X2<800(2)

X1+3X2W900(3)

X1(X2>0(4)

以Xi，X2為坐標，當式⑴為等式，即XI+X2=450時，在Xi,X2坐標系，它是一條

直線，但式⑴不是等式，而是Xi+XzW?O,即在式（1）表示的約束條件中給定的不僅是在直

線上的所有點，而是在直線X|+X2=450左下部一個廣大的區域（包括直線在內的陰影線部

分）,見圖1-1,例如X|=0、X2=0,Xi=-5、X2=0,X|=3、X2=-3等等,都是滿足式⑴的點。

8

同理，也可以在XI,X2坐標系中畫出式(2)、(3)、(4)所決定的4條直線，連同式(1),

共5條直線，如圖1-2所示。

由圖1-2所示的5條直線所圍成的一個凸多邊形，就是約束條件給定的區域，其中所

有的點都滿足約束條件的要求。實際上，它表示一個由凸多邊形內無數多個點所組成的集合,

稱為凸集。那么，怎樣從無窮多中求出使目標函數值最大的點呢？

圖1-1某線性規劃問題

圖1-2某線性規劃問題中的約束條件

解由于目標函數f=50X|+40X2，在f為一定值時也是一條直線，其斜率為-40/50。當

f為不同值時，在X”X2坐標系中實際上是一系列的平行線，則盡管在每一條直線上X”

9

X2取不同的值，f總是某一定值。例如圖1-3中的直線I,當X1=0、X2=0時；當X1=4、X2

=-5時40；因此稱直線I為f的某一等直線（此處為零）。

中，

八

/=4<M?

圖1-3目標函數f的等值線

由于直線I是等直線，而且斜率相等，它們又是一系列平行線，因此只要畫出其中任

意的一條線，將它們平移到某個與凸集相交的極限位置，所得的交點就是既滿足約束條件（在

凸集范圍內），又使f值為最大的現代戰爭最優解。如下圖1-4中的點，X|=350,X2=100,

421500。

（JSO.too）a

同行質點

圖1?4某線性規劃問題的最優解

10

上面介紹的圖解法雖然簡單直觀，但只有在變量為兩個的情況下才能實現；當變量數增

多時，圖解法就無法滿足了。這時，就要用解析計算的方法一單純形法來求解。單純形法的

基本思路是：根據問題的標準型（等價的把不等式改為等式），從可行域中一個基本可行解（頂

點）開始轉換到另一個可行解（頂點）。這種過程叫“迭代”，每迭代一次都使目標函數達到最

大值時，問題就得到了最優解。

在實際應用中，即使有了單純形的解法，仍不能應付復雜情況的求解，如以一個有77

個變量,9個約束條件的線性規劃問題為例，用單純形法進行手工計算約需120工作小時，這

樣大的計算量必須借助于計算機來完成（該題用計算機求解僅需12min）?

練習：1.某廠生產甲、乙兩種產品，生產甲種產品每件要消耗煤9噸，電力4千瓦，使用

勞動力3個，獲利70元；生產乙種產品每件要消耗煤4噸，電力5千瓦，使用勞動力10

個，獲利120元。有一個生產日，這個廠可動用的煤是360噸，電力是200千瓦，勞動力是

300個，問應該如何安排甲、乙兩種產品的生產，才能使工廠在當日的獲利最大，并問該廠

當日的最大獲利是多少？（甲20件，乙24件，獲利4280元）

2.電視臺為某個廣告公司特約播放兩套片集。其中片集甲播映時間為20分鐘，廣告時間為

1分鐘，收視觀眾為60萬，片集乙播映時間為10分鐘，廣告時間為1分鐘，收視觀眾為20

萬。廣告公司規定每周至少有6分鐘廣告，而電視分每周只能為該公司提供不多于80分鐘

的節目時間。電視臺每周應播映兩套片集各多少次，才能獲得最高的收視率？

3.預測2012年奧運會男子鉛球的成績。

屆次成績（米）屆次成績（米）屆次成績（米）

714.811517.412121.05

814.9551618.572221.35

915.871719.682321.26

1016.0051820.332422.47

1116.201920.542521.70

1417.122021.1826?

4.預測2010年我國進出口總額。

年份進出口總額年份進出口總額年份進出口總額

1981119876.8199319.6

19823.919887.9199424

19834198911.2199528.1

19845199011.5199629

19856199113.5

19866199216.62010?

II

第二講生活中的數學

廈門六中數學教研組劉順林

第一課時電冰箱溫控器的調節

——如何使電冰箱使用時間更長

中國自從1978年改革開放之后，人民生活水平日益提高，許多家庭都購買了電冰箱等

家用電器。但是也有許多家庭并不了解電冰箱的工作原理，更不了解電冰箱溫控器的工作原

理及其調節方法。人民生活水平固然提高了許多，但是現在也并不是都十分富裕。不正確的

使用電冰箱勢必會縮短其使用壽命，帶來了不必要的麻煩，同時也浪費了自然資源和財力。

有一次，我們家中的一臺電冰箱工作了很長時間，卻一直不停機。我們嚇了一跳，以為

電冰箱壞了。我們給維修單位打電話咨詢，但是上上下下仔細查看了整個電冰箱后，才發現

只是溫控器調節的不正確。這使我們認識到了冰箱溫控器對于電冰箱的重要性。因此，我們

來研究一下電冰箱溫控器的正確使用方法，即如何使電冰箱的使用壽命更長。

問題：如何正確調節電冰箱溫控器，使電冰箱使用壽命更長。

電冰箱制冷是靠中溫低壓的液態制冷劑進入蒸發器吸收熱量汽化為低溫低壓的氣態制

冷劑，達到蒸發器周圍降溫使冰箱內部冷卻的目的。壓縮機、冷凝器、干燥過濾器、毛細管

則是幫助并保證在蒸發器中已使用過的制冷劑回復到中溫低壓的液體，能再一次送回蒸發器

吸熱汽化，實現單向連續循環制冷。蒸發器是電冰箱中唯一制冷的器件。壓縮機把蒸發器出

來的低溫低壓的汽態制冷劑經回氣管由壓縮機吸入氣缸，被壓縮為高溫高壓的氣態進入冷凝

器，把蒸發器中吸收的熱量和壓縮機在壓縮做功時轉換的熱量，利用制冷劑與周圍介質之間

有較大的溫差，通過冷凝器全部散發到空氣中。制冷劑在冷凝器中因放熱而被液化。這高壓

中溫液態制冷劑經干燥過濾器吸收其中的水分，濾除其中的雜質，進入毛細管節流降壓，使

高壓液態制冷劑降為低壓而能回到蒸發器重復使用。電冰箱就是這樣由各種制冷劑作工質，

在封閉系統中作單向連續循環，把冰箱內熱量不斷的轉移到箱外而達到制冷目的。

電冰箱壓縮機是開開停停間歇工作的。電冰箱達到箱內的設定溫度是通過溫度控制器控

制壓縮機的開、停機來完成的。壓縮機運轉時間長，即制冷時間長，則箱內溫低：反之箱溫

就高。溫度控制器二個觸點串聯在壓縮機電路中，當箱內溫度低到某一設定溫度時則溫控器

觸點跳開，壓縮機停轉，暫停制

冷，隨后箱內溫度逐漸提高，在

箱內溫度高到另一設定溫度時則

溫控器觸點閉合，壓縮機又運轉

制冷……如此循環。使箱內溫度

保持在一定范圍內。

電冰箱溫控器中的感溫包感

受蒸發器的溫度，當溫度升高或

降低時，感溫元件中感溫劑膨脹

或收縮，使非剛性元件感溫腔（波

紋管或膜盒）推進或退縮，從而

（壓縮）

改變感溫元件與彈簧片之間的作用力通過溫控器中機械傳力放大，使感溫腔微小形變產生的

微小位移放大，控制電觸點，使其閉合或斷開電路。溫控器指向的數字，并不表示確切的溫

度，而是表示控制溫度高低的程度趨向，數字小表示控制在較高溫度，數字大則表示控制在

較低溫度。

我們認為，壓縮機的使用壽命在很大程度上決定了電冰箱的使用壽命。而影響壓縮機工

作時間的因素主要有：外界溫度、溫控器檔位、冷凍室食品量、開關冰箱門習慣。當電冰箱

工作穩定后，冷凍室食品量對其影響十分微小，但不可以忽略不計、無論是在寒冷的冬季，

還是在炎熱的夏季，冰箱中的食品都是在不斷的吸熱和放熱。當冰箱內冷汽散失時，食品吸

熱；當電冰箱制冷吸熱時，食品放熱。這在夏季時最為明顯：當電冰箱停機時，冰箱內食品

越多其停機時間越長，因為如果假設食品的平均比熱容不變，那么根據物理學關于熱能的公

式Q=MXCXAT可知食品量與停機時間成反比。其中Q為食品熱量變化，C為食品平均

比熱，AT食品溫度變化量。因此，冰箱內食品量的多少也是十分重要的。實際上，外界溫

度隨季節變化而變化，溫控器檔位靠人工調節，冰箱內的食品量和如何開關門對于一個家庭

來講變化不會很大，因為已經形成了習慣。但是，使用時如果壓縮機長時間連續工作，壓縮

機溫度就會升高，就會造成熱沖擊。過多的熱沖擊會縮短壓縮機的使用壽命。因此，我們只

要調節溫控器檔位，使電冰箱冷凍室溫度不低于某?溫度，而且壓縮機在非長時間連續工作

的條件下（不超過一個小時），工作時間與工作、停機的時間和的比值最小（如工作10分

鐘，停機10分鐘，則比值為0.5）,即壓縮機的使用壽命更長，就可以使電冰箱的使用壽命

更長。同時，電冰箱的耗電量也降低了。這樣，一臺電冰箱在使用過程中既省電，又可以延

長使用壽命，當然十分經濟。通過電冰箱生產廠家的電話咨詢，專業技術人員肯定了我們的

上述看法。于是我們就此進行了一些實驗，并通過電話咨詢得到了一些準確的數據。

在北京等中國北方城市，冬季的供暖由市區縣的各供暖單位負責保證。政府規定，冬季

居民室內的溫度不得低于16攝氏度。北京市的供暖單位現在一般能夠保證這個溫度在18

攝氏度左右，最高溫可達20攝氏度，最低溫絕不低于16攝氏度。因此，可以認為我國北方

冬季家庭室內溫度在18攝氏度左右。又因為，我國北方春秋季節家庭室內溫度也在18攝氏

度左右，偏冷的地區依然有曖汽等供暖，甚至常年不斷。所以，可以認為，我國北方春秋冬

三季的家庭室內溫度均在18攝氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般現吃現買，生食一般

只放幾個星期。電冰箱冷凍室的食品量?般占冷凍室容積的五分之三左右，且?般變化不是

很大。就是說，一般家庭的食品量對冰箱的影響基本相同。

綜上所述，我們理想化的實驗條件是我國北方春秋冬三季?般家庭的電冰箱。在研究這

個問題時可以把食品量和室內溫度作為常數來考慮。由于每次開冰箱門時都會使冰箱內食品

吸熱升溫，所以不同人的開門習慣和速度會影響到冰箱的制冷效果。比如說：老人可能手腳

不是很利落，而且拿一件東西要想一下；年輕人可能一只手開門，另一只手就把東西拿出來

了。為了簡便計算，我們可以認為，在一個家庭中不考慮老人與青年人的分別，只考慮平均

到每個家庭成員的使用效果，那么各個家庭的情況基本相同。結果是，我們在計算過程中可

以忽略這一因素的影響。我們想利用家用電冰箱來進行?次實驗。于是我們選用了長嶺阿里

斯頓——BCD208型電冰箱，在保持室溫為18攝氏度且食品量始終占冷凍室有效容積五

分之三不變的情況下，測定了?些數據。這種電冰箱屬于中等檔次的家用電器，制冷效果屬

于一般水平。目前許多家庭使用的電冰箱的制冷效果和保溫能力都與其相差無幾。這些滿足

了本論文前面交代的實驗條件，可以作為該條件下的一個例子，來解決這個問題。于是我們

開始了實驗。實驗進行了一個多星期，每組數據（既一個檔位）間間隔二個小時，讓電冰箱

進行調節，以保證數據的準確性。

13

這臺冰箱的溫控器旋鈕有六個檔位，分別是從零到五。第零檔為停機檔，既電冰箱壓縮

機停止工作，不會啟動；第五檔為速凍檔，即壓縮機一直啟動，不會停機。因此，我們不能

選第零檔，因為冰箱不會制冷；不能選第五檔，因為冰箱持續工作，即浪費電能，又會造成

熱沖擊，還有可能凍壞食品。我們設工作時間與工作、停機的時間和的比值為y,設電冰

箱溫控器檔位為xo則自變量x的取值范圍為（0,5）o在平面直角坐標系中描點作圖，

為了便于計算，且不影響結果的正確，我們在計算時把原y值擴大了100倍。這樣可以方便

計算，也能方便作圖。觀察散點的分布，我們認為這些點極有可能是在一條拋物線上，因此

設y關于x的函數為^=f（x）=ax2+bx+c。我們在后面附有實驗數據列表和用繪圖工具

《幾何畫板》作出的函數圖象。其中，表格包含五組數據，在測定時每組數據之間至少間隔

兩個小時，因為電冰箱需要約一個小時來調整。函數圖象有一個大致的輪廓。圖中的空心圓

點表示描點，實心圓點表示當x為4.5時函數圖象上的點。

我們分別以三組數據為一組，把五組數據分成了十組。設五組數據對應函數圖象上的點

從左至右依次為A、B、C、D、E,則將五組數據分組為：ABC、ABD、ABE、ACD……BDE、CDE。

每組可分別解出一個函數，但都有一定誤差。其中，凡是包含數據組E的組誤差都十分大,

且不太正常。我們認為是由于壓縮機升溫且冷凝器溫度升高散熱變慢，導致電冰箱工作異常。

這種可能性十分大，屬于正常現象。通過電話咨詢，冰箱廠家的技術人員肯定了我們的想法,

并告訴我們：目前?些高級的冷凝管可以大大提高散熱效率，但造價頗高，且調節溫控器就

可解決問題，沒必要多花錢去生產。于是把數據組E舍去，只計算前四組，又可以分為四

組：ABC、ABD、ACD、BCD。以這四組數據分別解出一個函數，這四組函數中也存在誤差，但

是應該保留數據組A存在誤差的那一分組。因為，溫控器調得過低后也會造成冰箱本身的

問題。由于檔位越低，要求達到的溫度越高（不一定始終在設定溫度以卜），所以要工作的

時間就比較短，但停機時間縮短得更多。就是說，冰箱內的食品在較長時間內放出了熱量，

在較短的時間內又吸入了大致相同的熱量。冰箱在這時需要適度調低要求達到的溫度。這就

是為什么要注意溫控器的調節。就是說，由BCD解得的函數對于點A、D的誤差屬于合理

誤差。最后，只有BCD這?組的不合理誤差最小（此時A點誤差為-0.36）,最后解得的函數

即為所求的函數y=f（x）?

由數據組BCD解函數：

6a+2鰭-我85=>4--35處?。血？-M5*+40?

bL

當X=2.574時，函數有最小值y=35.846；

所以，溫控器旋鈕應指在2.574的位置。

可是由于實驗中不可能消除誤差，所以應指在2、3之間的?個位置，室溫稍低時就調

低一點兒，反之就高一點兒，一般家庭不用經常調，溫度差2到3度不會有大影響。但是

不同的電冰箱性能不同，具體的食品量在變化，外界溫度也會上下浮動，每個人每一次開門

造成的影響都不相同，不同品牌電冰箱溫控器控制面板也不相同。所以忽略絕大多數家庭相

同的因素，只須再考慮不同的電冰箱性能不同、電冰箱溫控器控制面板也不相同。盡管不同

14

的電冰箱性能不同，但是它們的工作原理相同，都是在不斷的吸熱、放熱。就是說，它們在

那個檔位基本上都是最佳的。雖然電冰箱溫控器控制面板不相同，但是內部旋轉多少角度能

調節多少溫度，卻是同樣基本相同的。目前市場上比較多的樣式主要有：“0"至b'5"，“1”

到“7”和“弱”、"中”、“強”。由于我們實驗用的電冰箱配備的是第一種樣式的溫控

器，所以對應到其它兩種樣式分別是“3”、“4”檔之間和“中”略偏“弱”。

問題解決了，是在中國北方春秋冬三季，一般家庭家用電冰箱溫控器的調節。目的是如

何更經濟的使用好電冰箱。答案就是上一段最后的幾句話。問題雖然很小，而且用的就是解

方程的方法，但卻能培養我們從生活中尋找數學問題、運用數學知識的好習慣。這對于推行

素質教育是一個極佳的方法，它使學生因為自己的興趣而學習，知識也就更加牢固。另外，

這個問題可以擴展到其它方面。如卜水道的清理問題，你必須知道什么時候清理最合理：時

間早了浪費物資，晚了又極難工作。當然牽扯的量也是相當多的。我們相信，通過我們不斷

的學習，我們將解決更多的生活中的問題。

第二課時哪種投票制度最合理

Blockvotia的國民議會剛統計完了對PalmgreasingSlushfund議案的投票情況，總統

FreebiePerks滿臉的不高興。他的私人秘書PenelopePoundpincher施展渾身解數拼命安

慰他。

“Penny,你曾告訴我6個地區中有4個地區（包括最大的那個地區）支持此議案。那

我們怎么輸了呢？”

“這是由于加權投票制度的緣故，先生。你知道，每個地區孝分配了與其人口數大致

成比例的一定票數。這是說明詳細分配情況的一張表（見圖1）。總的票數為31。因此，任

何一個擁有16張票（即比總票數的一半多一張票）的聯盟將能夠左右選舉的結果。

Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney群島對議案投了贊成票。我已經說過，這

正好是6個地區中的4個，而且包括了最大的一個。且它們合起來僅有15票，而反對議案

的兩個地區卻有16票。”

“總統選舉下個月就要進行，我不希望這一情況重演。如果我們讓邊界委員會給

Sheepshire加一票，而使Candlewick減一票----"

Penny把頭搖得像撥浪鼓。“我不主張這樣做，先生。Richfolk和Candkewick這兩個

區都贊成你連任。Sheepshire猶豫不決，而另外三個地區則反對你連任。Richfolk和

Candlewick可以挫敗另外4個區組成的聯盟，但如果你從這兩個區中任一個區減去一票的

話，那情況就不同了。”

這時有人敲門。Porkney群島的代表CharlieHogg沖了進來。“總統先生，這場滑稽戲

不能再繼續演下去了！”

“什么滑稽戲？”

“你所謂的民主投票制度，Porkney群島毫無權力。

"但你們擁有一票，這是與你們的人口成比例的。Slurrey的人口比你們還多，也只有

一票。你們擁有的權力實際上比Slurrey還多。”

15

“不對。任何投票的結果都

完全被三個最大的地區所左右。

這三個地區至少有兩個將投相同

的票，而它們合起來的票數至少

同Richfolk和Candlewick（分別

是第二大和第三大的地區）擁有

的總票數一樣多。這就有了16票,

居于多數地位。在任何一次投票

中，即使3個最小的地區一票也

不投，也會得到相同的結果！”

“我明白了。但我能把它怎

么樣呢？”

“再給我們一票！這樣至少

3個最小的地區就可以同

Sheepshire聯合起來打出一個平

局。如果你再給Slurrey也加一

票，那么我們就可以結成一個獲

勝的聯盟了（見圖1）。”

"我明白你的意思。這樣總

票數就是33"，Penny說。“這樣

有17票或17票以上就可以得勝。

圖］BhckvctLi的加男不山，各娼區的人.小.地圖卜,的表

Fiddlesex,Slurrey,Porkney群

列出了現行的我黑加相和另外兩種可能也

島和Sheepshire結成聯盟,能夠

月言肌徂傳班牧力西、。”

“不錯！三個最小的地區中的任何一個才能夠改變投票的結果——它們將擁有力量均

勢！”

這時邊界委員會的聯絡官GerryMander走了進來。Perks問他："Gerry,邊界委員會

能否重新劃定各區的邊界，使Slurrey和Porkney群島各多得一票？”

CerryMander搖了搖頭。"Slurrey區還可想點辦法。但Porkney是群島就不好辦了。”

Hogg咆哮起來：“我的選民們會不高興的。”

總統嘰咕著說：“是會不高興。不過，正如你說的那樣，這沒有什么用，因為你的地區

毫無權力。我看你最好不要發出無法兌現的威脅，Hogg。"

“單是三個選區就可以把你趕下臺，這種情況也不會使你感到舒服。你必定能夠想點

什么辦法。”

“我可以再給Sheepshire兩票。能辦到嗎，Gerry?"

“沒問題。區界沿著Wastedump河彎彎曲曲地延伸。我們很容易把它改合理一些。

“但是給最大的地區再加兒票不可能幫助最小的地區獲得一份權力呀！"Hogg傷心地叫

道。

Perks說：“恰恰相反，如果Sheepshire再多兩票的話，你就會得到一份權力（見圖1

的右圖）。“

“不錯”，Penny邊說邊看著這些數字，”這同一個聯盟共擁有33票中的17票；依然是

最小的三個地區中的每一個都可以聲稱自己掌握著力量均勢。”

“這真是妙極了"，Hogg說，“你給了Sheepshire更多的權力，其中部分權力卻鬼使神

差般地影響到我們

16

“不，Hogg。我們并沒有給Sheepshire更多的權力——我們只是給他們更多的選票”,

Penny吸了一口氣說，“正如你說的那樣，權力和選票并不是一回事。”

“怎么會是這樣？"Perks問道，“如果權力不是選票，那它是什么？我需要知道這一

點。權力贏得選舉。”

"我認為你需要Banzhaf權力指數,先生"，Penny說，"JohnF.Banzhaf是喬治敦大

學的?位法律專家。1965年他提出了在加權投票體制中衡量代表所擁有的權力的一種方法。

他的設想是，一位代表可以通過加入一個看來要輸掉的聯盟使其轉敗為勝。或者背棄一個看

來要獲勝的聯盟使其轉勝為敗而顯示其權力。”

“這不是同一回事嗎？”

“是同一回事，先生。如果你加入一個聯盟，你同時也就背棄了由其他所有人組成的

另個聯盟。所以我們只需要考慮一種情況就夠了——比如說考慮建立個獲勝的聯盟。假

定某一位代表在聯盟中起著關鍵性的作用：有了她則聯盟贏得投票，失去她則聯盟輸掉投票。

任何一位代表的Banzhaf權力指數就是她在其中恰好起著這樣一種作用的聯盟的數目。”

“我們原先的投票體制是一個（16；10,9,7,3,1,1）體制。獲得多數所需的票數

為16票。各人代表的加權為10,9,7,3,1和1。Porkney僅能在恰好有16票的聯盟中起

著關鍵作用。如果這種聯盟有更多選票，那么Porkney是否背棄它對投票結果不會有任何影

響。如果其票數少于16票，則它就不是一個獲勝聯盟了。但是Porkney所屬的任何?個聯

盟其選票總數均不等于16票，因此Porkney的權力指數為零。按照總統提出的新方案，我

們將有一個（17；12,9,7,3,1,1）投票體制。Porkney在其所屬的任何一個恰好有17

票的聯盟中起著關鍵作用。這種聯盟正好有一個，即由Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和

Porkney組成的聯盟。因此，Porkney的權力指數為2。”

"那么Sheepshire的權力指數為多少？“Perks問。

“Sheepshire有12票，因此它在它加入的任何一個擁有17票到28票（即17—1+12

票），的聯盟中起著關鍵作用。你可以通過試錯法列出這些聯盟（見圖2）。這種聯盟共有18

個，因此Sheepshire的權力指數為18。”

Hogg叫了起來：“Sheepshire的人口是我們的人口的12倍，可他們的權力卻只有我們

的權力的9倍。”

Gerry問道：“有沒有比試錯法更好的計算權力指

數的方法呢？”

Penny說：“嗯，對于大的投票體系，最好的辦法

是使用計算機。不過，對于小的投票體系（比如我們這

一個），有一種巧妙的圖解法。假定此體系是（3；2,1,

1）,這就是說，有三位投票人：A,B和C。A有兩票，

B和C各有一票，且3票構成多數。”

“首先畫出一個顯示出所有可能的聯盟的點陣

圖；如果這些聯盟僅相關一個成員，則把它們用一條邊

聯接起來。在每條邊上標以非兩個聯盟所共有的那個成

員。然后標出每一條關鍵的邊——也說是總票數從低于

多數票變成等于多數票或高于多數票的那些邊。任何?

位成員的權力指數就是其上標有它的名字的那些邊的

數目。在這個例子中，A出現在3條關鍵邊上，因此它

的權力指數為3；B和C則各出現在一條關鍵邊上，因

此其權力指數均為1。這個點陣圖是個立方體。對于更

大的系統，你也可以畫出點陣圖，但是看起來就有點零

圖3一個有三位成員的投票體制的點陣圖（上）和

一個有四位成員的投票體制的點陣圖（下）

17

亂了。不過四個成員的點陣圖還是有點漂亮的（見圖3）。”

Hogg說：“我希望的是每個成員擁有的權力指數大致同其人口成比例。”

“這可不那么容易辦到"，Penny

說，“讓我向你說明紐約州湯普金斯縣議

會1982年是如何做到這一點的。權力指

數幾乎正好與人口成比例（見圖2）。”

“我們也可試試看"，Hogg提議

說。“或許可以吧”，總統慢條斯理地說,

“你對美國總統的權力指數作過研究總票數

嗎，Penny?”

圖2在上面這種投票體制中,Sheepshire的權力指數為18,

“是的，先生。美國總統的權力

這說明它在其中起著關鍵作用的聯盟共有18個。理想的情

指數為一位參議員的權力指數的40倍，

況是，所有各地區的權力指數應當差不多相等，正如紐約州

為一位眾議員的權力指數的175倍。”

的湯普金斯縣1982年的情形那樣

“這聽起來很不錯。”“不過美國

立法機構作為一個總體，其權力大約為總統的權力的兩倍半。”

FreebiePerks盯著她有片刻，然后無所畏紐約州湯普金斯縣議會（1982年）

懼地正視著Hogg說：“我想我自治地區人口權重權力指數權力指數/人口

們會堅持現行的制度。”

LANSING8.3174044.7470.571

DRYDENEAST7.6043334.4020.579

ENFI