第1講平均數(shù)（一）

一、知識要點(diǎn)

把幾個不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補(bǔ)少，使它們完全相等,

求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。

如何靈活運(yùn)用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問題呢？

下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：

平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量

X平均數(shù)

二、精講精練

【例題1】有4箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、

桃平均每箱36個，蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？

【思路導(dǎo)航】（1）1箱斗果+1箱梨+1箱橘子=42X3=126（個）；

（2）1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36X3=108（個）（3）1箱蘋果+1箱桃=37

X2=72（個）

由（1）（2）兩個等式可知：

1箱蘋果比1箱桃多126—108=18（個），再艱據(jù)等式（3）就可以算出：1

箱桃有（74-18）4-2=28（個），1箱蘋果有28+18=46（個）。

1箱蘋果和1箱桃共有多少個：37X2=74（人）

1箱蘋果比1箱桃多多少個：42X3-36=18（個）

1箱蘋果有多少個：28+18=46（個）

練習(xí)1：

1.一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，

甲、丁二人平均分95分。問：甲、丁各得多少分？

2.甲、乙、丙、丁四人稱體重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、T

三人共重126千克，丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多

少千克？

3.甲、乙、丙三個小組的同學(xué)去植樹，甲、乙兩組平均每組植樹18棵，甲、

丙兩組平均每組植樹17棵，乙、丙兩組平均每組植樹19棵。三個小組各植樹多

少棵？

【答案】L乙與丙的和：（91X3+89X3-95X2）4-2=175（分）

甲：91X3-175=98（分）T：89X3-175=92（分）

2.甲的體重：126-40X2=46（千克）乙的體重：120-40X2=40（千克）

四人平均體重：（46+40+40X2）4-4=41.5（千克）

3.甲乙丙的和：（18+17+19）X24-2=54（棵）

丙組植樹：54-18X2=18（棵）乙組植樹：54-17X2=20（棵）

甲組植樹：54-19X2=16（棵）

【例題2】一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平

均每人92分；男生平均每人90.5分。求這個班男生有多少人？

【思路導(dǎo)航】女生每人比全班平均分高92—91.2=0.8（分），而男生每人比

全班平均分低91.2—90.5=0.7（分）。全體女生高出全班平均分0.8X21=16.8

（分），應(yīng)補(bǔ)給每個男生0.7分，16.8里包含有24個0.7,即全班有24個男生.

練習(xí)2：

1.兩組學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳152下。甲組有6人，平均每人跳

140下，乙組平均每人跳160下。乙組有多少人？

2.有兩塊棉田，平均每畝產(chǎn)量是92.5千克，已知一塊地是5畝，平均每畝

產(chǎn)量是101.5千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是85千克。這塊田是多少畝？

3.把甲級和乙級糖混在一起，平均每千克賣7元，乙知甲級糖有4千克，平

均每千克8元；乙級糖有2千克，平均每千克多少元？

【答案】1.（152-140）X6-r（160-152）=9（人）

2.（101.5-92.5）X5-r（92.5-85）X100=600（畝）

3.7-（8-7）X44-2=5（元）

【例題3】某3個數(shù)的平均數(shù)是2.如果把其中一個數(shù)改為4,平均數(shù)就變

成了3o被改的數(shù)原來是多少？

【思路導(dǎo)航】原來三個數(shù)的和是2X3=6,后來三個數(shù)的和是3X3=9,9比6

多出了3.是因?yàn)榘涯侨藬?shù)改成了4。因此，原來的數(shù)應(yīng)該是4一3二1。

練習(xí)3：

1.已知九個數(shù)的平均數(shù)是72.去掉一個數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。去

掉的數(shù)是多少？

2.有五個數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中的一個數(shù)改為1.那么這五個數(shù)的平均

數(shù)為8。這個改動的數(shù)原來是多少？

3.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是90分。可是，

甲在抄分?jǐn)?shù)時，把自己的分錯抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。

求甲在這次考試中得了多少分？

【答案】1.72X9-78X8=24

2.9X5-8X5+1=6

3.87+（90X4-88X4）=95（分）

【例題4】五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績91.5分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計(jì)算成績

時將一位同學(xué)的98分誤作89分計(jì)算了。經(jīng)重新計(jì)算，全班的平均成績是91.7

分，五一班有多少名同學(xué)？

【思路導(dǎo)航】98分比89分多9分0多算9分就能使全班平均每人的成績上

升91.7—91.5=0.2（分）。9里面包含有幾個0.2.五一班就有幾名同學(xué)。

練習(xí)4：

1.五（1）班有40人，期中數(shù)學(xué)考試，有2名同學(xué)去參加體育比賽而缺考，

全班平均分為92分。缺考的兩位同學(xué)補(bǔ)考均為100分，這次五（1）班同學(xué)期中

考試的平均分是多少分？

2.某班的一次測驗(yàn)，平均成績是91.3分。復(fù)查時發(fā)現(xiàn)把張靜的89分誤看作

97分計(jì)算，經(jīng)重新計(jì)算，該班平均成績是91.1分。問全班有多少同學(xué)？

3.五個數(shù)的平均數(shù)是18,把其中一個數(shù)改為6后，這五個數(shù)的平均數(shù)是16。

這個改動的數(shù)原來是多少？

【答案】1.[92X（40-2）+100X2]4-40=92.4（分）

2.（97-89）.（91.3-91.1）=40（個）

3.18X5-16X5+6=16

【例題5】把五個數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是38。前三個數(shù)的平均數(shù)是

27,后三個數(shù)的平均數(shù)是48。中間一個數(shù)是多少？

【思路導(dǎo)航】先求出五個數(shù)的和：38X5=190,再求出前三個數(shù)的和：27X

3二81.后三個數(shù)的和：48X3=144。用前三個數(shù)的和加上后三個數(shù)的和，這樣，中

間的那個數(shù)就算了兩次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中間的一個數(shù)。

練習(xí)5：

1.甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，如果甲、乙的平均年齡是18歲，乙、

丙的平均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？

2.十名參賽者的平均分是82分,前.6人的平均分是83分，后6人的平均分

是80分。那么第5人和第6人的平均分是多少分？

3.下圖中的。內(nèi)有五個數(shù)A、B、C、D、E,口內(nèi)的數(shù)表示與它相連的所有。

中的平均數(shù)。求C是多少?

【答案】1.18X2+25X2-22X3=20（歲）

2.[（83X6+80X6）-82X10]4-2=79（分）

3.3X3+10X3-7X5=4

第2講平均數(shù)

二、精講精練

【例題1】小明前幾次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的平均成績是84分，這次要考100分，才

能把平均成績提高到86分。問這是他第幾次測驗(yàn)？

【思路導(dǎo)航】100分比86分多14分，這14分必須填補(bǔ)到前幾次的平均分

84分中去,使其平均分成為86分。每次填補(bǔ)86—84=2（分），14里面有7個2.

所以，前面已經(jīng)測驗(yàn)了7次，這是第8次測驗(yàn)。

練習(xí)1：

1.老師帶著幾個同學(xué)在做花，老師做了21朵，同學(xué)平均每人做了5朵。如

果師生合起來算，正好平均每人做了7朵。求有多少個同學(xué)在做花？

2.一位同學(xué)在期中測驗(yàn)中，除了數(shù)學(xué)外，其它幾門功課的平均成績是94分,

如果數(shù)學(xué)算在內(nèi)，平均每門95分。已知他數(shù)學(xué)得了100分，問這位同學(xué)一共考

了多少門功課？

3.兩組同學(xué)進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳152次。甲組有6人，平均每人跳

140次，如果乙組平均每人跳160次，那么，乙組有多少人？

【答案】1.(21-7)+(7-5)=7(個)

2.(100-95)+(95-94)+1=6(門)

3.乙組有9人

【例題2】小亮在期末考試中，政治、語文、數(shù)學(xué)、英語、自然五科的平

均成績是89分，政治、數(shù)學(xué)兩科平均91.5分，政治、英語兩科平均86分，英

語比語文多10分。小亮的各科成績是多少分？

【思路導(dǎo)航】因?yàn)檎Z文、英語兩科平均分84分，即語文+英語=168分，而

英語比語文多10分，即英語一語文二10分，所以，語文是(168-10)+2=79

分，英語是79+10=89分。又因?yàn)檎巍⒂⒄Z兩科平均86分，所以政治是86X

2—89:83分；而政治、數(shù)學(xué)兩科平均分91.5分，數(shù)學(xué)是91.5X2-83=100分；

最后根據(jù)五科的平均成績是89分可知，自然分是89X5—(79+89+83+100)

二94分。

練習(xí)2：

1.甲、乙、丙三個數(shù)的平均數(shù)是82.甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是86,乙、丙兩數(shù)

的平均數(shù)是77。乙數(shù)是多少？甲、丙兩個數(shù)的平均數(shù)是多少？

2.小華的前幾次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的平均成績是80分，這一次得了100分，正好把

這幾次的平均分提高到85分。這一次是他第幾次測驗(yàn)？

3.五個數(shù)排一排，平均數(shù)是9。如果前四個數(shù)的平均數(shù)是7,后四個數(shù)的平

均數(shù)是10,那么，第一個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)是多少？

【答案】1,丙：82X3-86X2=74(分)甲：82X3-77X2=92(分)乙：86

X2-92=80(分)甲丙平均：(92+74)4-2=83(分)

2.(100-85)4-(85-80)+1=4(次)

3.第五個數(shù):9X5-7X4=17,第一個數(shù)：45-10X4=5,平均：(5+17)+2=3

【例題3】兩地相距360千米，一艘汽艇順?biāo)腥绦枰?0小時，已知這

條河的水流速度為每小時6千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？

【思路導(dǎo)航】用往返的路程除以往返所用的時間就等于往返兩地的平均速

度。顯然，要求往返的平均速度必須先求出逆水行全程時所用的時間。因?yàn)?60

4-10=36(千米)是順?biāo)俣龋瞧У撵o水速度與水流速度的和，所以，此

汽艇的靜水速度是36—6二30（千米）。而逆水速度二靜水速度一水流速度，所以

汽艇的逆水速度是30-6=24（千米）。逆水行全程時所用時間是360^-24=15（小

時），往返的平均速度是360X2+（10+15）=28.8（千米）。

練習(xí)3：

1.甲、乙兩個碼頭相距144千米，汽船從乙碼頭逆水行駛8小時到達(dá)甲碼頭,

已知汽船在靜水中每小時行駛21千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達(dá)乙

碼頭？

2.一艘客輪從甲港駛向乙港，全程要行165千米。已知客輪的靜水速度是每

小時30千米，水速每小時3千米。現(xiàn)在正好是順流而行，行全程需要幾小時？

3.甲船逆水航行300千米，需要15小時，返回原地需要10小時；乙船逆水

航行同樣的一段水路需要20小時，返回原地需要多少小時？

【答案】1.144+⑵+（21-144+8）]=6（小時）

2.1654-（30+3）=5（小時）

3.甲船逆水速度：3004-15=20（千米/時）順?biāo)俣龋?00+10=30（千米/

時）

水流速度：（30-20）4-2=5（千米/時）

乙船逆水速度：3004-20=15（千米/時）順?biāo)俣龋?5+5X2=25（千米/時）

300+25=12（小時）

【例題4】幼兒園小班的20個小朋友和大班的30個小朋友一起分餅干，

小班的小朋友每人分10塊，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2

塊。求一共分掉多少塊餅干？

【思路導(dǎo)航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均數(shù)，再乘（30+20）人

就能求出餅干的總塊數(shù)。因?yàn)榇蟀嗟男∨笥衙咳吮却蟆⑿“嘈∨笥训钠骄鶖?shù)多2

塊，30個小朋友一共多2X30=60（塊），這60塊平均分給20個小班的小朋友，

每人可得60?20=3（塊）。因此，大、小班小朋友分得平均塊數(shù)是10+3=13（塊）。

一共分掉13X（30+20）=650（塊）。

練習(xí)4：

1.數(shù)學(xué)興趣小組里有4名女生和3名男生，在一次數(shù)學(xué)競賽中，女生的平均

分是90分，男生的平為分比全組的平均分高2分，全組的平均分是多少分?

2.兩組同學(xué)跳繩，第一組有25人，平均每人跳80下；第二組有20人，平

均每人比兩組同學(xué)跳的平均數(shù)多5下，兩組同學(xué)平均每人跳幾下？

3.一個技術(shù)工帶5個普通工人完成了一項(xiàng)任務(wù)，每個普通工人各得120元，

這位技術(shù)工人的收入比他們6人的平均收入還多20元。問這位技術(shù)工得多少元？

【答案】1.全組平均分91.5分

2.80+（20X5）4-25=84（下）

3.這位技術(shù)工得144元

【例題5】王強(qiáng)從A地到B地，先騎自行車行完全程的一半，每小時行12

千米。剩下的步行，每小時走4千米。王強(qiáng)行完全程的平均速度是每小時多少千

米？

【思路導(dǎo)航】求行完全程的平均速度，應(yīng)該用全程除以行全程所用的時間。

由于題中沒有告訴我們A地到R地間的路程，我們可以設(shè)全程為24千米（也可

以設(shè)其他數(shù)），這樣，就可以算出行全程所用的時間是12:12+12?4=4（小時）,

再用24+4就能得到行全程的平均速度是每小時6千米。

練習(xí)5：

1.小明去爬山，上山時每小時行3千米，原路返回時每小時行5千米。求小

明往返的平均速度。

2.運(yùn)動員進(jìn)行長跑訓(xùn)練，他在前一半路程中每分鐘跑150米，后一半路程中

每分鐘跑100米。求他在整個長跑中的平均速度。

3.把一份書稿平均分給甲、乙二人去打，甲每分鐘打30個字，乙每分鐘打

20個字。打這份書稿立均每分鐘打多少個字？

1Ia

【答案】1.（1+1）4--+與=3士（千米/時）

354

2.14-（0.5+150+0.5+100）=120（米/分鐘）

3.14-（14-30+-4-20）=24（個）

22

第3講長方形、正方形的周長

一、知識要點(diǎn)

同學(xué)們都知道，長方形的周長二（長+寬）義2.正方形的周長二邊長X4。長

方形、正方形的周長公式只能用來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)的長方形和正方形的周長。如何應(yīng)用

所學(xué)知識巧求表面上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學(xué)們靈活

應(yīng)用己學(xué)知識，掌握轉(zhuǎn)化的思考方法，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的圖形，以便計(jì)

算它們的周長。

二、精講精練

【例題1】有5為同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長6厘

米的正方形，重疊的部分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長。

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，我們可以把每

個正方形的邊長的一半同時向左、右、上、

下平移（如圖b）,轉(zhuǎn)化成一個大正方形，這

個大正方形的周長和原來5個小正方形重疊

后的圖形的周長相等。因此，所求周長是18

X4=72厘米。

練習(xí)1:

1.下圖由8個邊長都是2厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。

2.下圖由1個正方形和2個長方形組成，求這個圖形的周長。

3.有6塊邊長是1厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖

形的周長。

20cm

9cm

15cm

【答案】1.(4X8-2X7)X2=36(厘米)

2.[50+(20+9+15)]X2=188(厘米)

3.(1+14-2X5)X4=14(厘米)

【例題2】一塊長方形木板，沿著它的長度不同的兩條邊各截去4厘米,

截掉的面積為192平方厘米。現(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米?

【思路導(dǎo)航】把裁掉的192平方厘米分成A、B、C

三塊（如圖），其中AB的面積是192—4X4=176（平方厘米）。把A和B移到一

起拼成一個寬4厘米的長方形，而此長方形的長就是這塊木板剩下部分的周長的

半。176+4=44（厘米），現(xiàn)在這塊木板的周長是44X2=88（厘米）。

練習(xí)2：

1.有一個長方形，如果長減少4米，寬減少2米，面積就比原來減少44平

方米，且剩下部分正好是一個正方形。求這個正方形的周長。p

2.有兩個相同的長方形，長是8厘米，寬是3厘米，如果按下圖疊放I

在一起，這個圖形的周長是多少？匚

3.有一塊長方形廣場，沿著它不同的兩條邊各劃出2米做綠化帶，剩

下的部分仍是長方形，且周長為280米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？

【答案】1.左下方長方形面積：（44-4X2）+（2+1）=12（平方米）

左下方長方形的長：12+2=6（米）

正方形的周長：6X4=24（米）

2.（8+3）X2X2-3X4=32（厘米）

3.兩個長方形面積之和2804-2X2=280（平方米）小正方形面積2X2=4（平

方米）

劃去綠化帶面積：280+4=284（平方米）

【例題3】已知下圖中，甲是正方形，乙是長方形，整個圖形的周長是多

少？

【思路導(dǎo)航】從圖中可以看出，整個圖形的周長由六條

線段圍成，其中三條橫著，三條豎著。三條橫著的線段和是

（a+b）X2.三條豎著的線段和是bX2。所以，整個圖形的|乙

周長是（a+b）X2+bX2.即2a+4b。'

練習(xí)3：

1.有一張長40厘米，寬30厘米的硬紙板，在四個角上各剪去一個同樣大小

的正方形后準(zhǔn)備做一個長方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長。

2.一個長12厘米，寬2厘米的長方形和兩個正方形正好拼成下圖（1）所示

長方形，求所拼長方形的周長。

3.求下面圖形（圖2）的周長（單位：厘米）。

2

8

--------------------------------------------10

圖（1）------------------------圖（2）

【答案】L（40+30）X2=140（厘米）

2.（12+124-2+2）X2=40（厘米）

3.10X2+8X2+2X2=40（厘米）

【例題4】下圖是邊長為4厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長。

【思路導(dǎo)航】我們把陰影部分周長中左邊的5條線段全部平移到左

邊，其和正好是4厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是

4厘米。因此，陰影部分的周長與邊長是4厘米的正方形的周長是相等的。

練習(xí)%

1.求下面圖形的周長（單位：厘米）。

2.在（）里填上“>"、"V”或“二”。甲的周長（）乙的周長

3.下圖中的每一小段的長度都相等，求圖形的周長。

【例題5】如下圖，陰影部分是正方形，DF=6厘米，AB二9厘米，求最大的

長方形的周長。

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知，最大長方形的寬就是正方形的邊

長。因?yàn)锽OEF,CF=DE,所以，AB+BC+CF=AB-FE+ED=9+6=15

（厘米），這正好是最大長方形周長的一半。因此，最大長方形的周

長是（9+6）X2=30（厘米）。

練習(xí)5：

1.下面三個正方形的面積相等，剪去陰影部

分的面積也相等，求原來正方形的周長發(fā)生了什

么變化？（單位：厘米）

2.下面是一個零件的平面圖，圖中每條短線段都是5厘米，零件長35厘米,

高30厘米。這個零件的周長是多少厘米?

3.有兩個相同的長方形，長7厘米，寬3厘米，如下圖重疊著，求重疊圖形

的周長。

【答案】La周長減少了2厘米，b周長不變，c周長增加了4厘米

2.(35+30)X2+5X10=180(厘米)

3.(7+3)X2X2-3X4=28(厘米)

第4講長方形、正方形的面積

一、知識要點(diǎn)

長方形的面積二長x寬，正方形的面積二邊長x邊長。掌握并能運(yùn)用這兩個面

積公式，就能計(jì)算它們的面積。

但是，在平時的學(xué)習(xí)過程中，我們常常會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形

比較豆雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實(shí)掌握有關(guān)

概念，利用“割補(bǔ)”、“平移”、“旋轉(zhuǎn)”等方法，便復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為普通的求長

方形、正方形面積的問題，從而正確解答。

二、精講精練

【例題1】已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形

的面積大40平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？

【思路導(dǎo)航】從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大

出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40

平方厘米減去陰影部分的面積，再除以2就能得到長方形A和B的面積，

再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長。求到了小正方形的邊長，計(jì)算大、

小正方形的面積就非常簡單了。

練習(xí)1：

1.有一塊長方形草地，長20米，寬15米。在它的四周向外筑一條寬

2米的小路，求小路的面積。

2.正方形的一組對邊增加30厘米，另一組對邊減少18厘米，結(jié)果得

到一個與原正方形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米?

3.把一個長方形的長增加5分米，寬增加8分米后，得到一個面積比原長方

形多181平方分米的正方形。求這個正方形的邊長是多少分米？

【答案】1.(20X2+15X2)X2+2X2X4=156(平方米)

2.原正方形的面積：45X45=2025（平方厘米）

3.正方形的邊長：9+8=17（分米）

[例題2]一個大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個較小的

長方形，其中三個長方形的面積如下圖所求，求第四個長方形的面積。c

614

【思路導(dǎo)航】因?yàn)锳EXCE=6,DEXEB=35,把兩個式子相乘AEXCE

E

35

D

XDEXEB=35X6,而CEXEB=14,所以AEXDE=35X6-14=15。

練習(xí)2：

1.下圖一個長方形被分成四個小長方形，其中三個長方形的面積分別是24

平方厘米、30平方厘大和32平方厘米，求陰影部分的面積。

2.下面一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如圖所示

（單位：平方厘米），求A和B的面積。

3.下圖中陰影部分是邊長5厘米的正方形，四塊完全一樣的長方形的寬是8

15A12

4624B

【答茶】L陰影回積：32X304-24=40（平方厘米）

2.A的面積：24+(45+15)=8(平方厘米)

B的面積：12X（24+8）=36（平方厘米）

3.(8+5)X8X4+5X5=441(平方厘米)

【例題3】把20分米長的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已

知兩個正方形的面積相差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？

【思路導(dǎo)航】我們可以把小正方形移至大正方形

里面進(jìn)行分析。兩個正方形的面積差40平方分米就是

圖中的A和B兩部分，如圖。如果把B移到原來小正

20

方形的上面，不難看出，A和B正好組成一個長方形，

此長方形的面積是40平方分米，長20分米，寬是40?20二2（分米），即大、小

兩個正方形的邊長相差2分米。因此，大正方形的邊長就是（20+2）+2=11（分

米），面積是11X11=121（平方分米）。

練習(xí)3：

1.一塊正方形，一邊劃出15米，另一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原

來減少了1350平方米。這塊地原來的面積是多少平方米？

2.一個正方形，如果它的邊長增加5厘米，那么，面積就比原來增加95

平方厘米。原來正方形的面積是多少平方厘米？

3.有一個正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米寬的小路，路面面積是口

80平方米。求草坪的面積。

【答案】1.（邊長-10）X15+（邊長-15）X10+15X10=1350邊長=60（米）

這塊地的面積是：60X60=3600（平方米）

2.（95-5X5）4-24-5=7（厘米）7X7=49（平方厘米）

3.（80-1X1X4）4-44-1=19（米）19X19=361（平方米）

【例題4】有一個正方形ABCD如下圖，請把這個正方形的面積擴(kuò)大1倍，

并畫出來。

【思路導(dǎo)航】由于不知道正方形的邊長和面積，所以，也沒有辦法計(jì)產(chǎn)、

A/____

算出所畫正方形的邊長或面積。我們可以利用兩個正方形之間的關(guān)系進(jìn)行X

分析。以正方形的四條邊為準(zhǔn)，分別作出4個等腰直角三角形，如圖中虛

線部分，顯然，虛線表示的正方形的面積就是原正方形面積的2倍。

練習(xí)4：

1.四個完全一樣的長方形和一個小正方形組成了一個大正方形，如果大、小

正方形的面積分別是49平方米和4平方米，求其中一個長方形的寬。

2.正圖的每條邊都垂直于與它相鄰的邊，并且28條邊的長都相等。如果此

圖的周長是56厘米，那么，這個圖形的面積是多少？

3.正圖中，正方形ABCD的邊長4厘米，求長方形EFGD的面積。

【答案】1.（7-2）4-2=2.5（米）

2.（1+3+5+7+5+3+1）X4=100（平方厘米）

3.4X4=16（平方厘米）

【例題5】有一個周長是72厘米的長方形，它是由三個大小相等的正方形

拼成的。一個正方形的面積是多少平方厘米？

【思路導(dǎo)航】三個同樣大小的正方形拼成的長方形，它的周長是原正方形邊

長的8倍，正方形的邊長為72+8=9（厘米），一個正方形的面積就是9X9=81

（平方厘米）。

練習(xí)5：1.五個同樣大小的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是36

厘米，求每個正方形的面積是多少平方厘米？

2.有一張長方形紙，長12厘米，寬10厘米。從這張紙上剪下一個最大的正

方形后，剩下部分的周長是多少厘米？

3.有一個小長方形，它和一個正方形拼成了一個大長方形ABCD（如下A1

圖），已知大長方形的面積是35平方厘米，且周長比原來小長方形的周長

多10厘米。求原來小長方形的面積。BL

【答案】L36+2+（5+1）=3（厘米）3X3=9（平方厘米）

2.[10+（12-10）1X2=24（厘米）

3.正方形邊長：104-2=5（厘米）小長方形面積：35-5X5=10（平方厘米）

第5講數(shù)數(shù)圖形

一、知識要點(diǎn)

我們在數(shù)數(shù)的時候，遵循不重復(fù)、不遺漏的原則，不能使數(shù)出的結(jié)果準(zhǔn)確。

但是在數(shù)圖形的個數(shù)的時候，往往就不容易了。分類數(shù)圖形的方法能夠幫助我們

找到圖形的規(guī)律，從而有秩序、有條理并且正確地?cái)?shù)出圖形的個數(shù)。

二、精講精練

【例題1】下面圖形中有多少個正方形？

【思路導(dǎo)航】圖中的正方形的個數(shù)可以分類數(shù)，如由一個小正方口

形組成的有6X3=18個，2X2的正方形有5X2=10個，3X3的正方

形有4X1=4個。因此圖中共有18+10+4=32個正方形。L_L_L_

練習(xí)1：

L下圖中共有多少個正方形？

2.下圖中共有多少個正方形？

3.下圖中共有多少個正方形，多少個三角形？

3.10個正方形，44個三角形

【例題2】下圖中共有多少個三角形？

【思路導(dǎo)航】為了保證不漏數(shù)又不重復(fù)，我們可以分類來數(shù)三角形，然后再

把數(shù)出的各類三角形的個數(shù)相加。

（1）圖中共有6個小三角形；

（2）由兩個小三角形組合的三角形有3個;

（3）由三個小三角形組合的三角形有4個;

（4）由六個小三角形組合的三角形有1個。

所以共有6+3+4+1=14個三角形。

練習(xí)2：

1.下面圖中共有多少個三角形？

2.數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形。

工數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個二角形？

【答案】1.5+6+2+1=14（個）

2.22+10=32（個）

3.16+7+3+1=27（個）

【例題3】數(shù)出二圖中所有三角形的個數(shù)。

【思路導(dǎo)航】和三角形AFG一樣形狀的三角形有5個；和三角形E/

ABF一樣形狀的三角形有10個；和三角形ABG一樣形狀的三角形有5

個；和三角形ABE一樣形的三角形有5個；和三角形AMD一樣形狀的三

角形有5個，共35個三角形。

練習(xí)3：

數(shù)出下面圖形中分別有多少個三角形。

【答案】1?3+1+1=5（個）2.14個3.12個

【例題4】如下圖，平面上有12個點(diǎn)，可任意取其中四個點(diǎn)圍成一個正方

形，這樣的正方形有多少個?

【思路導(dǎo)航】把相鄰的兩點(diǎn)連接起來可以得到下面圖形，從圖

中可以看出：

（1）最小的正方形有6個；

（2）由4個小正方形組合而成的正方形有2個；

（3）中間還可圍成2個正方形。

所以共有6+2+2=10個。

練習(xí)4：

1.下圖中共有8個點(diǎn)，連接任意四點(diǎn)圍成一個長方形，一共能圍成多少個長

方形？

2.下圖中共有6個點(diǎn)，連接其中的三點(diǎn)圍成一個三角形，一共能圍成多少個

三角形？

3.下圖中共有9個點(diǎn)，連接其中的四個點(diǎn)圍成一個梯形，一共能圍成多少個

梯形？

【答案】1.6個2.5個3.6X2X2+4=28（個）

【例題5】數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個三角形？

【思路導(dǎo)航】我們可以分類來數(shù)：

1.單一的小三角形有16個；2.兩個小三角形組合的有10個；

3.四個小三角形組合的有8個；4.八個小三角形組合的有2個。

所以，圖中一共有16+10+8+2=36個三角形。

練習(xí)5：

1.圖中共有（21）個三角形。

2.圖中共有（13）個三角形。

3.圖中共有（16）個正方形。

第6講尾數(shù)和余數(shù)

一、知識要點(diǎn)

自然數(shù)末位的數(shù)字稱為自然數(shù)的尾數(shù)；除法中，被除數(shù)減去商與除數(shù)積的差

叫做余數(shù)。尾數(shù)和余數(shù)在運(yùn)算時是有規(guī)律可尋的，利用這種規(guī)律能解決一些看起

來無從下手的問題。

二、精講精練

【例題1］寫出除213后余3的全部兩位數(shù)。

【思路導(dǎo)航】因?yàn)?13=210+3.把210分解質(zhì)因數(shù)：210=2X3X5X7,所以,

符號題目要求的兩位數(shù)有2義5二10,2X7=14,3X5=15,3X7=21.5X7=35,2X

3X5=30,2X3X7=42.一共有7個兩位數(shù)。

練習(xí)1：

1.寫出除109后余4的全部兩位數(shù)。

2.178除以一個兩位數(shù)后余數(shù)是3.適合條件的兩位數(shù)有哪些?

3.寫出除1290后余3的全部三位數(shù)。

【答案】L15、21、35

2.25、35

3.117、143、429

【例題2](1)125X125X125X……X125[100個25]積的尾數(shù)是幾?

(2)(21X26)X(21X26)X...X(21X26)[100個(21X26)]積的

尾數(shù)是幾?

【思路導(dǎo)航】（1）因?yàn)閭€位5乘5,積的個位仍然是5,所以不管多少個125

相乘，個位還是5；

（2）每個括號里21乘26積的個位是6,我們只要分析100個6相乘，積

的尾數(shù)是幾就行了。因?yàn)閭€位6乘6,積的個位仍然是6,所以不管多少個(21

X26)連乘，積的個位還是6。

練習(xí)2：

1.21X21X21X……X21[50個21]積的尾數(shù)是幾?

2.1.5X1.5X1.5X...XL5[200個L5]積的尾數(shù)是幾?

3.(12X63)X(12X63)X(12X63)X...X(12X63)[1000個(12

X63)]積的尾數(shù)是幾？

【答案】1.個位數(shù)1乘以b積的尾數(shù)是1

2.積的尾數(shù)是5

3.積的尾數(shù)是6

【例題3](1)4X4X4X…X4[50個4]積的個位數(shù)是幾？

(2)9X9X9X…X9[51個9]積的個位數(shù)是幾？

【思路導(dǎo)航】(1)我們先列舉前兒個4的積，看看個位數(shù)在怎樣變化，1個

4個位就是4；4X4的個位是6；4X4X4的個位是4；4X4X4X4的個位是6……

由此可見，積的尾數(shù)以“4,6”兩個數(shù)字在不斷重復(fù)出現(xiàn)。50+2=25沒有余數(shù),

說明50個4相乘，積的個位是6。

(2)用上面的方法可以發(fā)現(xiàn)，51個9相乘時，積的個位是以“9,1”兩個

數(shù)字不斷重復(fù)，51+2=25...1.余數(shù)是1.說明51個9本乘積的個位是9o

練習(xí)3：

1.24X24X24X…X24[2001個24],積的尾數(shù)是多少？

2.1X2X3X-X98X99,積的尾數(shù)是多少？

3.94X94X94X-X94[102^94]-49X49X-X49[101個49],差的個位

是多少？

【答案】L積的尾數(shù)是6

2.積的尾數(shù)是0

3.差的個位是7

【例題4】把1/7化成小數(shù)，那么小數(shù)點(diǎn)后面第100位上的數(shù)字是多少？

【思路導(dǎo)航】因?yàn)?/7^0.142857142857……,化成的小數(shù)是一個無限循環(huán)

小數(shù)，循環(huán)節(jié)“142857”共有6個數(shù)字。由于100+6=16……4,所以，小數(shù)點(diǎn)

后面的第100位是第17個循環(huán)節(jié)的第4個數(shù)字，是8。

練習(xí)4：

1.把1/11化成小數(shù)，求小數(shù)點(diǎn)后面第2001位上的數(shù)字。

2.5/7寫成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后第50個數(shù)字是兒？

3.有一串?dāng)?shù):5、8、13、21、34、55、89……，其中,從第三個數(shù)起，每個

數(shù)恰好是前兩個數(shù)的和。在這串?dāng)?shù)中，第1000個數(shù)被3除后所得的余數(shù)是多少？

【答案】L小數(shù)點(diǎn)后面第2001位上的數(shù)字是0

2.小數(shù)點(diǎn)后第50個數(shù)字是1

3.第1000個數(shù)被3除所得的余數(shù)是0,即沒有余數(shù)。

【例題5】555…5例2001個5]+13.當(dāng)商是整數(shù)時,余數(shù)是幾?

【思路導(dǎo)航】如果用除法硬除顯然太麻煩，我們可以先用豎式來除一除，看

一看余數(shù)在按怎樣的規(guī)律變42735-.化-

13/555555...

152

35

26

95

91

39

65

65

丁

從豎式中可以看出，余數(shù)是按3、9、4、6、0、5這六個

數(shù)字不斷重復(fù)出現(xiàn)。2001^6=333……3.所以，當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是4。

練習(xí)5：

1.444…4+6[100個4],當(dāng)商是整數(shù)時,余數(shù)是幾?

2.當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)各是幾？

(1)666…6D4U00個6]

(2)444…4+74[200個4]

(3)888…8+7[200個8]

(4)111…1+5[[00個1]

【答案】1.當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是4

2.(1)2(2)4(3)4(4)1

第7講一般應(yīng)用題(一)

一、知識要點(diǎn)

一般復(fù)合應(yīng)用題往往是有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，有的已知

條件是間接的，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，敘述的方式和順序也比較多樣。因此，i般

應(yīng)用題沒有明顯的結(jié)構(gòu)特征和解題規(guī)律可循。解答一般應(yīng)用題時，可以借助線段

圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以從

條件出發(fā)，逐步推出所求問題（綜合法）；也可以從問題出發(fā)，找出必須的兩個

條件（分析法）。在實(shí)際解時，可以根據(jù)題中的已知條件，靈活運(yùn)用這兩種方法。

二、精講精練

【例題1】五年級有六個班，每班人數(shù)相等。從每班選16人參加少先隊(duì)活

動，剩下的同學(xué)相當(dāng)于原來4個班的人數(shù)。原來每班多少人？

【思路導(dǎo)航】從每班選16人參加少先隊(duì)活動，6個班共選16X6=96（人）。

剩下的同學(xué)相當(dāng)于原來4個班的人數(shù)，那么，96人就相當(dāng)于原來（6-4）人班

人人數(shù)，所以，原來每班96?2二48（人）。

練習(xí)1：

1.五個同學(xué)有同樣多的存款，若每人拿出16元捐給“希望工程”后，五位

同學(xué)剩下的錢正好等于原來3人的存款數(shù)。原來每人存款多少？

2.把一堆貨物平均分給6個小組運(yùn)，當(dāng)每個小組都運(yùn)了68箱時，正好運(yùn)走

了這堆貨物的一半。這堆貨物一共有多少箱？

3.老師把一批樹苗平均分給四個小隊(duì)栽，當(dāng)每隊(duì)栽了6棵時，發(fā)現(xiàn)剩下的樹

苗正好是原來每隊(duì)分得的棵數(shù)。這批樹苗一共有多少棵？

【答案】1.16X5+（5-3）=40（元）

2.68X6X2=816（箱）

3.原來每隊(duì)分得6X4+（4-1）=8（棵）8X4=32（棵）

【例題2】某車間按計(jì)劃每天應(yīng)加工50個零件，實(shí)際每天加工56個零件。

這樣，不僅提前3天完成原計(jì)劃加工零件的任務(wù)，而且還多加工了120個零件。

這個車間實(shí)際加工了多少個零件？

【思路導(dǎo)航】如果按原計(jì)劃的天數(shù)加工，加工的零件就會比原計(jì)劃多56X3

+120288（個）。為什么會多加工288個呢？是因?yàn)槊刻於嗉庸ち?6—50二6（個）。

因此，原計(jì)劃加工的天數(shù)是2數(shù)是6=48（天）,實(shí)際加工了50X48+120=1520［個）

零件。

練習(xí)2：

1.汽車從甲地開往乙地，原計(jì)劃每小時行40千米，實(shí)際每小時多行了10

千米，這樣比原計(jì)劃提前2小時到達(dá)了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？

2.小明騎車上學(xué)，原計(jì)劃每分鐘行200米，正好準(zhǔn)時到達(dá)學(xué)校，有一天因下

雨，他每分鐘只能行120米，結(jié)果遲到了5分鐘。他家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

3.加工一批零件，原計(jì)劃每天加工80個，正好按期完成任務(wù)。由于改進(jìn)了

生產(chǎn)技術(shù)，實(shí)際每天加工100個，這樣，不僅提前4天完成加工任務(wù)，而且還多

加工了100個。他們實(shí)際加工零件多少個？

【答案】1.（40+10）X（40X24-10）=400（千米）

2.（120X5）.（200-120）X200=1500（千米）

3.（100X4+100）+（100-80）X80+100=2100（個）

【例題3】甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6個零件，乙中途停

了15天沒有加工。40天后，乙所加工的零件個數(shù)正好是甲的一半。這時兩人各

加工了多少個零件？

【思路導(dǎo)航】甲工作了40天，而乙停止了15天沒有加工，乙只加工了25

天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加

工的零件同樣多。由于甲每天比乙多加工6個，20天一共多加工6X20:120（個）。

這120個零件相當(dāng)于乙25-20二5（天）加工的個數(shù)，乙每天加工120+（25-20）

=24（個乙一共加工了24X25=600（個），甲一共加工了600X2=1200（個）

練習(xí)3：

1.甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10個。途中乙因事休息了

5天,20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍,這時兩人各加工帽子多少個？

2.甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時比乙車多行20T米。

途中乙因修車用了2小時，6小時后甲車到達(dá)兩地中點(diǎn)，而乙車才行了甲車所行

路程的一半。A、B兩地相距多少千米？

3.甲、乙兩人承包一項(xiàng)工程，共得工資1120元。已知甲工作了10天，乙工

作了12天，且甲5天的工資和乙4天的工資同樣多。求甲、乙每天各分得工資

多少元？

【答案】1,甲加工帽子600個，乙加工帽子300個

2.A、B兩地相距240X2X2=960（千米）

3.11204-（8+12）=56（元）乙分得的工資=56X12=672（元），甲分得的工

資為1120-672=448（元）

【例題4】服裝廠要加工一批上衣，原計(jì)劃20天完成任務(wù)。實(shí)際每天比計(jì)

劃多加工60件，照這樣做了15天，就超過原計(jì)劃件數(shù)350件。原計(jì)劃加工上衣

多少件？

【思路導(dǎo)航】由于每天比計(jì)劃多加工60件，15天就比原計(jì)劃的15天多加

160X15=900（件），這時已超過計(jì)劃件數(shù)350件,900件中去掉這350件,剩

下的件數(shù)就是原計(jì)劃（20—15）天中的工作量。所以，原計(jì)劃每天加工上衣（900

-350）;（20-15）=110（件），原計(jì)劃加工110X20=2200（件）。

練習(xí)%

1.用汽車運(yùn)一堆煤，原計(jì)劃8小時運(yùn)完。實(shí)際每小時比原計(jì)劃多運(yùn)1.5噸，

這樣運(yùn)了6小時就比原計(jì)劃多運(yùn)了3噸。原計(jì)劃8小時運(yùn)多少噸煤？

2.汽車從甲地開往乙地，原計(jì)劃10小時到達(dá)。實(shí)際每小時比原計(jì)劃多行15

千米，行了8小時后，發(fā)現(xiàn)已超過乙20千米。甲、乙兩地相距多少千米？

3.小明看一本書，原計(jì)劃8天看完。實(shí)際每天比原計(jì)劃少看了4頁。這樣，

用10天才看完了這本書。這本書一共有多少頁？

【答案】1.（1.5X6-3）+（8-6）X8=24（噸）

2.（15X8-20）（10-8）X10=500（千米）

3.8X44-（10-8）X10=160（頁）

【例題5］王師傅原計(jì)劃每天做60個零件，實(shí)際每天比原計(jì)劃多做20個,

結(jié)果提前5在完成任務(wù)。王師傅一共做了多少個零件？

【思路導(dǎo)航】按實(shí)際做法再做5天，就會超產(chǎn)（60+20）X5=400（個）。為

什么會超產(chǎn)400個呢？是因?yàn)槊刻於嗌a(chǎn)了20個，400里面有兒個20,就是原

計(jì)劃生產(chǎn)幾天。400-4-20=20（天），因此，王師傅一共做了60X20=1200（人）

零件。

練習(xí)5：

1.食堂準(zhǔn)備了一批煤，原計(jì)劃每天燒0.8噸，實(shí)際每天比原計(jì)劃節(jié)約了0.1

噸，這樣比原計(jì)劃多燒了2天。這批煤一共有多少噸?

2.造紙廠生產(chǎn)一批紙，計(jì)劃每天生產(chǎn)13.5噸，實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)1.5

噸，結(jié)果提前2.5天完成了任務(wù)。實(shí)際用了多少天?

3.機(jī)床廠生產(chǎn)一批機(jī)床，原計(jì)劃每天生產(chǎn)15臺，實(shí)際每天生產(chǎn)18臺，這樣

比原計(jì)劃提前3天完成了任務(wù)。這批機(jī)床一共有多少臺？

【答案】1.（0.8-0.1）X24-0.1X0.8=11.2（噸）

2.[2.54---------!一）4-13.5]-2.5=22.5（天）

13.513.5+1.5

3.這批機(jī)床一共有270臺

第8講一般應(yīng)用題（二）

一、知識要點(diǎn)

較復(fù)雜的一般應(yīng)用題，往往具有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，但

是，再復(fù)雜的應(yīng)用題都可以通過“轉(zhuǎn)化”向基本的問題靠攏。因此，我們在解答

一般應(yīng)用題時要善于分析，把復(fù)雜的問題簡單化，從而正確解答。

二、精講精練

【例題1】工程隊(duì)要鋪設(shè)一段地下排水管道，用長管子鋪需要2