鄂南高中數學試卷及答案一、選擇題（每題4分，共40分）1.若函數f(x)=x^2-2x+1，則f(0)的值為：A.0B.1C.2D.32.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A∩B為：A.{1}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,2,3,4}3.函數y=x^3-3x在區間(-∞,+∞)上的單調遞增區間為：A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)4.若a>b>0，則下列不等式中一定成立的是：A.a^2>b^2B.a/b>1C.a+b>2bD.1/a<1/b5.已知等差數列{an}的首項a1=1，公差d=2，則a5的值為：A.9B.10C.11D.126.已知雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√3x，則b/a的值為：A.√3B.1/√3C.√3/3D.37.已知直線l：y=2x+3與圓x^2+y^2=4相交于A、B兩點，則弦AB的長度為：A.2√2B.2√3C.2√5D.48.已知函數f(x)=|x-1|，g(x)=x^2-4x+3，若f[g(x)]的最小值為0，則實數x的取值范圍為：A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.(-∞,1]D.[1,+∞)9.已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，則|a+b|的值為：A.√5B.√6C.√7D.√810.已知三角形ABC的內角A、B、C滿足A+C=2B，且a/sinA=b/sinB=c/sinC=2，則三角形ABC的面積為：A.√3/2B.1C.√3D.2二、填空題（每題4分，共20分）11.已知等比數列{bn}的首項b1=2，公比q=3，則b4的值為______。12.已知函數f(x)=x^3-3x，求導數f'(x)=______。13.已知拋物線y^2=4x的焦點為F，點P(1,2)在拋物線上，則|PF|的值為______。14.已知正方體的棱長為a，其內切球的表面積為4π，則a的值為______。15.已知函數f(x)=x^3-3x，求極值點x=1處的函數值為______。三、解答題（共40分）16.（10分）已知函數f(x)=x^3-3x，求函數的單調區間和極值點。解：首先求導數f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)>0，解得x>1或x<-1，此時函數單調遞增；令f'(x)<0，解得-1<x<1，此時函數單調遞減。因此，函數的單調遞增區間為(-∞,-1)和(1,+∞)，單調遞減區間為(-1,1)。當x=-1時，f(-1)=2為極大值；當x=1時，f(1)=-2為極小值。17.（10分）已知雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√3x，求雙曲線的離心率e。解：由題意可知，b/a=√3，即b=√3a。雙曲線的離心率e=c/a，其中c為焦距，由雙曲線的性質可知c^2=a^2+b^2。將b=√3a代入，得到c^2=a^2+3a^2=4a^2，所以c=2a。因此，離心率e=c/a=2。18.（10分）已知直線l：y=2x+3與圓x^2+y^2=4相交于A、B兩點，求弦AB的長度。解：聯立直線方程y=2x+3和圓的方程x^2+y^2=4，得到：x^2+(2x+3)^2=4，化簡得5x^2+12x+5=0。由韋達定理可知，x1+x2=-12/5，x1x2=1。根據弦長公式|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|，其中k為直線的斜率，k=2。代入x1+x2和x1x2的值，得到|AB|=√(1+2^2)×√((-12/5)^2-4)=2√5。19.（10分）已知函數f(x)=|x-1|，g(x)=x^2-4x+3，若f[g(x)]的最小值為0，求實數x的取值范圍。解：首先求g(x)的值域。g(x)=(x-2)^2-1，當x=2時，g(x)取得最小值-1。由于f(x)=|x-1|的值域為[0,+∞)，要使f[g(x)]的最小值為0，需要g(x)=1。解方程x^2-4x+3=1，得到x=2或x=3。因此，實數x的取值范圍為[2,3]。四、附加題（10分）20.已知三角形ABC的內角A、B、C滿足A+C=2B，且a/sinA=b/sinB=c/sinC=2，求三角形ABC的面積。解：由題意可知，A+C=2B，所以B=π/3。又因為a/sinA=b/sinB=c/sinC=2，所以a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC。根據正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中R為三角形的外接圓半徑。代入已知條件，得到2R=2，所以R=1。根據三角形的面積公式S=1/2×ab×sinC，代入a=2sinA，b=2sinB，得到S=2sinA×2sinB×sinC/2。由于B=π/3，所以sinB=√3/2。又因為A+C=2B，所以sinC=sin(2B-A)=sin(2π/3-A)。代入sinA和sinC的值，得到S=2×2sinA×√3/2×sin(2π/3-A)/2=√3sinA×sin(2π/3-A)。由于A∈(0,2π/3)，所以sinA