蘇教版2019選擇性必修第二冊第7章

計數原理

二項式系數的性質及應用掌握二項式系數的性質；會用賦值法求展開式系數的和；會應用二項式系數的性質解決一些簡單問題②

重點①

重點學習目標1.二項式定理.(a+b)n=Chan+Chan-1b+…+Chan-kbk+…+CRbn(n∈N*)2.二項展開式的通項

Tk+1=Chan-kbk3.二項式系數

Cn,

,C2,

,

…,Cn知識回顧新課導入二項式定理展開式(a+b)1=1a+1b(a+b)2=1a2+2ab+1b2(a+b)3=

1a3+

3a2b+

3ab2+

1b3(a+b)?=1a?+4a3b+6a2b2+4ab3+1b?(a+b)?=1a?+5a?b+10a3b2+10a2b3+5ab?+1b?(a+b)?=1a?+6a?b+15a?b2+20a3b3+15a2b?+6ab?+1b? C1n3C"(a+b)"=Ca"+Cla"-b+…+C'a"?'b'+…+C"b"思考觀察楊輝三角及二項式定理展開式，總結二項式系數有什么特點n2n0楊

輝

三

角1

11

I

2

11

33

11

4

6

411

5

10[10

5

11

6

15

20[

15

6

1y

新課講授(1)每一行中的二項式系數是“對稱”的，即第1項與最后一項的二項式系數相等，第2項與倒數第2項的二項式系數相等

…

…(2)圖中每行兩端都是1,而且除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和(3)圖中每行的二項式系數從兩端向中間逐漸增大.(4)第1行為1=2?,

1

……………2?1、

1……………21第2行的兩數之和為2,

1、2

、1…………22第3行的三數之和為2

…...

1

3

3

1………23第7行的各數之和為26

1

4

6

4

1…………1

6

15

2015

6

1

…2?…2?二項式系數特點1

5

10

10

5

1

2?新課講授③前增后減，中間一項或兩項最大時，

,增.

時

，

,減.④

C+C1+C2+

…+C“=2”.C°+C2+C?+

…=C+C3+C?+

…

.②

每個展開式的二項式系數的對稱性是：首末兩端“等距離”的二項式系數相等.①

表中從第二行起，每一個數等于兩肩上的兩數之和.二項式系數性質新課講授因為所以，當即所以，當k

時

即時，Ct>C,增。

時。

,減.求

證證

明新課講授例

4

證明在(a+b)"

的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和.證

明

在展開式(a+b)"=Ca"+Cla"-b+…+Cha"?'b'+…+C"b"

中，令a=1,b=-1

得(1-1)"=C°-Cn+C2-C3+…+(-1)"C就

是

0

=(C+C2+…)-(C1+C3+…)所以

即在(a+b)"

的展開式中，奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數的和.y

典例分析用二項式定理證明：9910-1能被1000整除.9910-1=(100-1)10-1y

典例分析=C1o1001?-C10100?+…+Cio1002-1000.因為上式的每一項都能被1000整除，所以9910-1能被1000整除.例5證明(1)(x+y)10

的展開式共有11項，中間項的二項式系數最大，

即第6項的二項式系數最大，最大值為Ci?=252;(2)因為(1+x)??=C%4x?+C64x1+C24x2+…+C64x?3+cgx?4,令x=1可得2??=

C84+C64+C24+…+C4+cg4,令x=-1

可

得

7兩式相減可得26?=2(C64+C34+…+C6),

則填空：(1)(x+y)10的展開式中二項式系數的最大值是

;(2)

;(3)38被5除所得的余數是

y

學以致用練習

1解4填空：(1)(x+y)10的展開式中二項式系數的最大值是

;(2)

■(3)38被5除所得的余數是

.(3)3?=(5-2)?=C8·5?·(-2)?+Cg·5?·(-2)1+C8·56

·

(-2)2+…+C8·5°·(-2)?,除了最后一項外其余項都可以被5整除，又C8

·5°

·

(-2)?=256,因為256除以5余1,所以38被5除所得的余數是1

.y

學以致用練

習

1解Ci?+Ci?

等于(

)A.

B.

C.由組合數公式的性質可得：Ci?+Ciz=Ci?

.

故選：B.練習2學以致用解D.C12y

學以致用練習3解求證

：右邊=(2+1)n=Cn·2?·1n-0+C1·21·1n-1+C2·22·1n-2+…+Ch·2r·1n-r+…+Cn·2n·1n-n=1+2Cn+4C2+23c3+…+2n-1cn-

1+2nCn=

左邊所以原等式成立y

學

以

致

用證明練習4求證：當n為偶數時，Cn+C2+C+…+Ch=2n-1.當n

為偶數時∵(1+1)n=Cn+Cn+.…+C=2"①(1-1)n=Cn-Cn+Ch+.…+Cn=0②①+②得2(Cn+C吮+C先+.….+Cn)=2n∴Ch+吃+C先+…+Ch=2n-1.y

學以致用證

明練

習

5C"=C"-";C+C"-1=C"+1;當

時

，C<C+1;當