中職數學y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質[知識整合]基礎知識1．正弦型函數y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ)))＋k的圖像用五點法作圖，即令ωx＋φ分別取0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)、2π，求出對應的x、y值，用描點法作出函數圖像．2．y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0)))的主要性質：(1)定義域：R；(2)值域：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－A，A)))；(3)周期：T＝eq\f(2π,ω).在物理學中，往復振動一次所需要的時間T＝eq\f(2π,ω)叫作一個振動的周期．單位時間內往返振動的次數f＝eq\f(1,T)叫作振動的頻率．ωx＋φ叫作相位．當x＝0時的相位φ叫作初相位．3．函數圖像變換y＝f(x)的圖像y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋a)))的圖像．y＝f(x)的圖像y＝f(x)＋k的圖像．y＝f(x)的圖像y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx)))的圖像．y＝f(x)的圖像y＝Af(x)的圖像．4．函數y＝asinα＋bcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0)))轉化為y＝eq\r(a2＋b2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α＋θ)))(其中tanθ＝eq\f(b,a)).．基礎訓練1．函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))))的最小正周期是()A.eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π2．函數y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖像的對稱性為()A．關于y軸對稱B．關于原點對稱C．關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0)))對稱D．關于直線x＝eq\f(π,6)對稱3．函數y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))的圖像可由函數y＝2sinx的圖像向________平移________個單位而得到．4．利用五點法作函數y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))))在一個周期內的簡圖．[重難點突破]考點1正弦型函數的圖像例1已知函數y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4))))，作函數一個周期內的簡圖．【解】(1)列表eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,2)eq\f(3π,2)eq\f(5π,2)eq\f(7π,2)eq\f(9π,2)y010－10(2)描點，連線，如圖所示．【變式訓練】已知函數y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))))，作函數一個周期內的簡圖．例2函數y＝sin(2x－eq\f(π,4))的圖像是由函數y＝sin2x經過______得來的()A．向右平移eq\f(π,4)個單位B．向左平移eq\f(π,4)個單位C．向右平移eq\f(π,8)個單位D．向左平移eq\f(π,8)個單位【解析】函數y＝sin2x向右平移eq\f(π,8)個單位得到函數y＝sin(2x－eq\f(π,4))的圖像，故選C.【變式訓練】函數y＝2sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3))的圖像可由函數y＝2sineq\f(1,2)x的圖像()A．向右平移eq\f(π,3)個單位B．向左平移eq\f(π,3)個單位C．向右平移eq\f(2π,3)個單位D．向左平移eq\f(2π,3)個單位例3已知函數f(x)的圖像如圖，則f(x)的解析式是()A．y＝eq\f(1,2)sin(3x＋eq\f(π,2))B．y＝sin(3x＋eq\f(π,2))C．y＝eq\f(1,2)sin(3x＋eq\f(π,6))D．y＝eq\f(1,2)sin(3x－eq\f(π,2))【解析】由圖像可知函數f(x)的周期為T＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(2π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝3，又函數圖像過點(－eq\f(π,6)，0)，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))上單調遞增，只有A選項符合，故選A.【變式訓練】函數y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，則()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))))B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))))考點2正弦型函數的性質應用例4函數y＝3sin(2x－eq\f(π,3))的最小正周期是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C．πD．4π【解析】周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π，故選C.【變式訓練】函數y＝5sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6))的最小正周期是____________．例5已知函數f(x)＝1＋sinxcosx.(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)求函數f(x)的單調遞增區間；(3)若tanx＝1，求f(x)的值．【解】(1)f(x)＝1＋sinxcos＝1＋eq\f(1,2)sin2x，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.所以函數f(x)的最小正周期為π.(2)2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，所以函數f(x)的單調遞增區間為[kπ-eq\f(π,4),kπ＋eq\f(π,4)](k∈Z)．(3)tanx＝1，sinx＝cosx，又因為sin2x＋cos2x＝1，所以sinx＝cosx＝±eq\f(\r(2),2)，所以f(x)＝1＋sinxcos＝1＋(±eq\f(\r(2),2))2＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).【變式訓練】已知函數f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx.(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)若f(α)＝eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3))))，求sinα的值．[課堂訓練]1．簡諧運動y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(5x－\f(π,3))))的最小正周期是()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(2π,5)D.eq\f(3π,5)2．將函數y＝sin2x的圖像向右平移eq\f(π,2)個單位，所得圖像對應的函數是()A．奇函數B．偶函數C．既是奇函數又是偶函數D．非奇非偶函數3．為了得到函數y＝sin3x＋cos3x的圖像，可以將函數y＝eq\r(2)sin3x的圖像()A．向右平移eq\f(π,4)個單位B．向左平移eq\f(π,4)個單位C．向右平移eq\f(π,12)個單位D．向左平移eq\f(π,12)個單位第4題圖4．函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2))))的部分圖像如圖所示，則ω，φ的值分別是()A．2，－eq\f(π,3)B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6)D．4，－eq\f(π,3)5．將函數y＝sinx的圖像上所有的點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,4)倍(縱坐標不變)得____________的圖像．第6題圖6．已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的圖像如圖所示，則ω＝____________．7．函數f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3))))(A＞0，ω＞0)在一個周期內，當x＝eq\f(π,12)時，函數f(x)取得最大值2，當x＝eq\f(7π,12)時，函數f(x)取得最小值－2，則函數解析式為____________．8．如圖是函數y＝Asin(ωx＋φ)，φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))一個周期的圖像，求函數的解析式．第8題圖9．已知函數y＝eq\r(3)sinx＋cosx，x∈R.(1)當y取得最大值時，求自變量x的取值集合；(2)該函數的圖像可由y＝sinx(x∈R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到中職數學y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質答案知識整合基礎訓練1．B【解析】∵f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))，∴T＝eq\f(2π,2)＝π，故選B.2．D【解析】因為y＝sinx關于直線x＝eq\f(π,2)對稱，將y＝sinx向左平移eq\f(π,3)個單位，得到的新函數y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))))關于直線x＝eq\f(π,6)對稱．3．左eq\f(π,6)【解析】y＝2sinxy＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))).4．【解】列表：2x－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πxeq\f(π,6)eq\f(5π,12)eq\f(2,3)πeq\f(11,12)πeq\f(7,6)πy030－30所以函數y＝3sin(2x－eq\f(π,3))在一個周期內的簡圖如下所示：第4題圖重難點突破【例1】【變式訓練】【解】列表：2x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πx－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7,12)πeq\f(5,6)πy010－10描點連線，所以函數y＝sin(2x＋eq\f(π,3))一個周期的簡圖如下所示：【例2】【變式訓練】D【例3】【變式訓練】A【解析】根據圖像上點的坐標及函數最值點，確定A，ω與φ的值．由圖像知eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))))＝eq\f(π,2)，故T＝π，因此ω＝eq\f(2π,π)＝2.又圖像的一個最高點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2)))，所以A＝2，且2×eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，故φ＝2kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，結合選項可知y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))).【例4】【變式訓練】4π【例5】【變式訓練】【解】(1)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx＝cosx＋eq\r(3)tanx·cosx＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2·(eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx)＝2sin(x＋eq\f(π,6))．函數f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,6))的最小正周期為T＝eq\f(2π,1)＝2π；(2)∵α∈(－eq\f(π,6)，eq\f(π,3))，∴α＋eq\f(π,6)∈(0，eq\f(π,2))．∵f(α)＝eq\f(1,4)，即2sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,4)，∴cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\r(1－sin2（α＋\f(π,6)）)＝eq\f(\r(15),4).∴sinα＝sin(α＋eq\f(π,6)－eq\f(π,6))＝sin(α＋eq\f(π,6))coseq\f(π,6)－cos(α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),8)－eq\f(\r(15),8)＝eq\f(\r(3)－\r(15),8).課堂訓練1．C【解析】最小正周期為T＝eq\f(2π,5).2．A【解析】y＝sin2xeq\o(→,\s\up11(向右平移),\s\do4(\f(π,2)個單位))y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))))＝－sin2x，所得函數為y＝－sin2x，是奇函數．3．D【解析】函數y＝sin3x＋cos3x可化為y＝eq\r(2)sin(3x＋eq\f(π,4))，即y＝eq\r(2)sin[3(x+eq\f(π,12))]，所以將函數y＝eq\r(2)sin3x的圖像向左平移eq\f(π,12)個單位可得到y＝eq\r(2)sin[3(x+eq\f(π,12))]，故選D.4．A【解析】由圖像可得T＝π，∴ω＝2，將x＝eq\f(11,12)π，y＝－2代入函數，解得φ＝－eq\f(π,3)，故選A.5．y＝sin4x6.eq\f(3,2)【解