押題14第8、11、14題立體兒何平面解析幾何（八大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)

押題模擬預(yù)測(cè)卷（新高考專用）押題14第8、11、14題立體幾何平面

解析幾何（八大題型）

專題題綱

真題解讀一近三年頸新高考黜

立體幾何可題

立體幾何?求融腿WR

押題14第8、11、14題立體幾何平面解析幾何—空間向■與立體幾何綜合列新

橫擬分析（最新高考模擬）一求平面解析幾何的有關(guān)參數(shù)

平面整折幾何?取值色圖、

平面集析幾何的綜合判斷

立體幾何、平面解析幾何綜合多選聶、填空題

真題解讀

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬(wàn)，且

3</<373,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

D.[18,271

A.吟B.T,TC.T'T

二、多選題

2.（2023?全國(guó)?高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度

忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為L(zhǎng)8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

3.（2022?全國(guó)?高考真題）如圖，四邊形A8C。為正方形，及〃平面A8CO,FB〃ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐￡一48,F-ABC,尸一ACE的體積分別為匕匕，匕，則（）

A.匕=2%B.V,=V,

C.匕=匕+匕D.2匕=3%

4.（2021?全國(guó)?高考真題）在正三棱柱ABC-A用G中，A8=A4,=1,點(diǎn)/>滿足8P=28C+〃明，其中

A€[0,1],〃￡叩],則（）

A.當(dāng)2=1時(shí)，△人83的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐ABC的體積為定值

C.當(dāng)4=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A。，8P

D.當(dāng)〃=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得ABJ.平面4與產(chǎn)

三、填空題

5.（2022?全國(guó)?必考真題）已知直線/與橢圓4+4=1在第一象限交于4,8兩點(diǎn)，/與x軸，y軸分別交于

o3

M,N兩點(diǎn)，且|M4HNB|,|MN|=2g,則/的方程為.

22

6.（2022.全國(guó).高考真題）已知橢圓C:：■+:=l（a>/7〉0）,C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，尼，離心

a~b-

率為過(guò)人且垂直于人行的直線與C交于O,E兩點(diǎn)，1。石1=6,則VAOE的周長(zhǎng)是.

模擬分析

押題14立體幾何平面解析幾何高考模擬題型分布表

題型序號(hào)題型內(nèi)容1￥

題型1最值問題1-3(單選)

題型2求表面積或體積4-5（單選）

題型3空間向量與立體幾何的綜合判斷6-10（單選）

題型4求平面解析幾何的有關(guān)參數(shù)11-14（單選）

題型5平面解析幾何一一取值范圍、最值問題15-17（單選）

題型6平面解析幾何的綜合判斷18（單選）

題型7立體幾何、平面解析幾何（多選題）19-28（多選）

題型8立體幾何、平面解析幾何綜合填空題（填空題）29-36（填空）

題型1:最值問題

1.（2024.湖南衡陽(yáng)?二模）已知三棱錐A-BCD中，4B=6,AC=3,BC=，三棱錐A-BCD的體積為生叵,

2

其外接球的體積為當(dāng)兀，則線段C。長(zhǎng)度的最大值為（）

A.7B.8C.70D.10

2.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體ABC。-ASG。的棱長(zhǎng)為1,與直線從。垂直的平面。截該正方體所

得的截面多邊形為例，則例的面積的最大值為（）

A.—>/3B.—V3C.D.6

842

3.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐44。中，AB=2戊，PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,且

PCLAB,則二面角P-AB-C的余弦值的最小值為（）

A.旦B.-C.1D.叵

3425

題型2：求表面積或體積

4.（2024?陜西西安?二模）如圖，在矩形48CQ中，A3=4,A。=3,F,G分別在線段A6,8C上,

BF=BG=1,將.8FG沿尺;折起，使B到達(dá)”的位置，且平面fGM_L平面ADCG/，則四面體的

外接球的表面積為（）

10()7571

Lx■

3

5.（2024.廣東?模擬預(yù)測(cè)）若在校方體A8CO-中,A6=3,BC=1,AA=4.則四面體A88c與四

面體ACBD公共部分的體積為（）

7

A.[B.—CD.

31326

題型3:空間向量與立體幾何的綜合判斷

6.（2024?安徽安慶?一模）如圖，在長(zhǎng)力體ABC。-A4CQ中，A4=2AD=2肥，點(diǎn)七是棱加上任意一

A.不存在點(diǎn)E,使得EC，RE

B.空間中與三條直線A。，EC,都相交的直線有且只有1條

C.過(guò)點(diǎn)七與平面。①￡和平面ZMEC所成角都等于三的直線有且只有1條

O

D.過(guò)點(diǎn)七與三條棱人4,AD,A4所成的角都相等的直線有且只有4條

7.（2024.河北邯鄲?三模）已知在四面體A8CO中，AB=BC=CD=DA=BD,二面角A-BD-C的大小

為:，且點(diǎn)A,B,C,。都在球。的球面上，”為楂AC上一點(diǎn)，N為棱8。的中點(diǎn).若MO=ZCN，則a=

（）

1452

A.-B.-C.-D.4

3993

8.（2024.山西.一模）如圖，在體積為1的三棱錐4-4C。的側(cè)棱A&ACA。上分別取點(diǎn)E,F,G,使

AE-.EB=AF:FC=\A,AG:GD=2Af記O為平面8CG、平面CDE、平面OBF的交點(diǎn)，則三棱錐O—BCD

的體積等于（）

9.（2024?寧夏吳忠.模擬預(yù)測(cè)）在正方體AACQ-A4CQ中，點(diǎn)尸為線段3R上的動(dòng)點(diǎn)，直線加為平面

與平面4cp的交線，現(xiàn)有如下說(shuō)法

①不存在點(diǎn)/）,使得84〃平面AQP

②存在點(diǎn)兒使得8/J.平面4QP

③當(dāng)點(diǎn)P不是的中點(diǎn)時(shí)，都有〃〃/平面ABC。

④當(dāng)點(diǎn)。不是8。的中點(diǎn)時(shí)，都有〃平面力3。

其中正確的說(shuō)法有（）

C.②③D.①④

10.（2024.陜西西安?一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A4CO-AMGA中，E、尸、G、加、N均為所在棱

的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）

②異面直線EAGN所成角的余弦值為，

4

③E、尸、G、M、N在同一個(gè)球面，

④,則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為日

A.0B.1C.2D.3

題型4：求平面解析幾何的有關(guān)參數(shù)

11.（2023?陜西?模擬預(yù)測(cè)）直線/過(guò)雙曲線C：E-1=的右焦點(diǎn)?，且與C的左、右兩支分別

a'b~

交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P,若尸產(chǎn)_LAB,且|A目=3|加'I，則C的離心率為（）

A.3B.叵C.2D.叵

22

22

12.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在雙曲線C:「-與=1（?>0,b>0）±,點(diǎn)，

??b~

關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q,K，工，是C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是.p片用的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心），M在X軸上

的射影為M',記直線的斜率分別為勺，與，且用?黑j=9,則C的離心率為1）

A.2B.8C.25/2D.25/i0

13.（2024?黑龍江?二模）雙曲線C：￡—￡=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,左、右焦點(diǎn)分別為A,F2,

a~b~

過(guò)6作直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于”，N兩點(diǎn).若F1M=：MN,且cos/耳NE=；,則直線

與M4的斜率之積為（）

25

A.c,iD.

22

14.（2024?全國(guó)?一模）已知雙曲線=1（〃2>0）的左、右焦點(diǎn)分別為6、F?,經(jīng)過(guò)片的直線交雙曲

線的左支于A,B,△熊鳥的內(nèi)切圓的圓心為/,NB6人的角平分線為6M交A8于M,且|44：|/閘=2:1,

若S.g”.吵=3:5,則該雙曲線的離心率是（）

A.—B.-C.更D.2

232

題型5：平面解析幾何一取值范圍、最值問題

15.（2024?青海?一模）已知過(guò)拋物線C：丁=8》焦點(diǎn)廠的直線/與。交于A,4兩點(diǎn)，以線段A4為直徑的

\DE\

圓與），軸交于。，E兩點(diǎn)，則制的取值范圍為（）

A.（。,1]B.。，4C.：」

16.（2024?安徽合肥?一模）已知直線/：/—改一1=0與OC：%2+y2-2x+4y-4=0交于兩點(diǎn),設(shè)弦A8

的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|0"|的取值范圍為（）

A.[3-63+后]B.+

C.[2-32+向D.[72-1,72+1]

、Gx+y+l

17.（2024?四川涼山?二模）已知點(diǎn)P（x,y）是曲線y=f上任意一點(diǎn)，則,’的最大，直為（）

.2^5—VF502>/5—>/1~5廣A/T5+25/5p.\/15+2\/5

A.--------------------b,---------------------L?-------------------1J?---------------------

105105

題型6：平面解析幾何的綜合判斷

同（2。24.四川南充二模）一知橢圓C:卜片的左右焦點(diǎn)分別為6忌過(guò)點(diǎn)6傾斜角為0的直線,與

橢圓。相交于A,8兩點(diǎn)（A在x軸的上方），則下列說(shuō)法中正確的有（）個(gè).

①防|=--—

1"2+cos。

114

②畫+國(guó)書

③若點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，則4M片的面積為9s1n2,

7-cos20

④當(dāng)9=g時(shí)，AAB乃內(nèi)切圓的面積為笆

.r4J

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

題型7：立體幾何、平面解析幾何綜合

19.（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體A8CQ-A4GA棱長(zhǎng)為％點(diǎn)N是底面正方形ABC3內(nèi)及邊界

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱。。上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)D,已知MN=4,尸為MN中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.無(wú)論M,N在何位置，AP,CG為異面直線B.若M是棱。。中點(diǎn)，則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為立兀

2

C.M,N存在唯一的位置，使AP〃平面D.AP與平面ABC"所成角的正弦最大值為g

20.（2024.浙江溫州?二模）已知半徑為「球與棱長(zhǎng)為1的正四面體的三個(gè)側(cè)面同時(shí)相切，切點(diǎn)在三個(gè)側(cè)面

三角形的內(nèi)部（包括邊界），記球心到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為d,則（）

A.「有最大值，但無(wú)最小值B.「最大時(shí)，球心在正四面體外

C.，?最大時(shí)，d同時(shí)取到最大值D.d有最小值，但無(wú)最大值

21.（2024?廣東佛山?二模）對(duì)于棱長(zhǎng)為I（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），下列說(shuō)法

正確的是（）

A.底面半徑為1m,高為2m的圓錐形罩子（無(wú)底面）能夠罩住水平放置的該正方體

B.以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為亞

2

C.該正方體內(nèi)能同時(shí)整體放入兩個(gè)底面半徑為0.5m,高為0.7m的圓錐

D.該正方體內(nèi)能整體放入一個(gè)體積為叵n?的圓錐

17

22.（2024?浙江?二模）已知正方體A3。。-A4cQ,的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是正方形A.4GA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

初始位置位于點(diǎn)A處，每次移動(dòng)都會(huì)到達(dá)另外三個(gè)頂點(diǎn).向相鄰兩頂點(diǎn)移動(dòng)的概率均為；，向刈,角頂點(diǎn)移動(dòng)

的概率為:，如當(dāng)點(diǎn)p在點(diǎn)A處時(shí)，向點(diǎn)⑸，移動(dòng)的概率均為，，向點(diǎn)G移動(dòng)的概率為:，則（）

242

A.移動(dòng)兩次后，”|尸。=6"的概率為］

O

B.對(duì)任意z/uN*，移動(dòng)〃次后，“人〃平面AZX；”的概率都小于1

C.對(duì)任意〃移動(dòng)〃次后，“PCJ■平面BOG”的概率都小于方

D.對(duì)任意〃eN,移動(dòng)〃次后，四面體戶體積V的數(shù)學(xué)期望E（V）＜g（注：當(dāng)點(diǎn)P在平面8QG

上時(shí)，四面體戶-BOQ體積為0）

23.（2024?廣東深圳.一模）如圖，八面體。的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且頂點(diǎn)比C,O,E在同一

個(gè)平面內(nèi).若點(diǎn)“在四邊形8CQE內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，N為AE的中點(diǎn)，則（）

A.當(dāng)M為OE的中點(diǎn)時(shí)，異面直線MN與。尸所成角為?

B.當(dāng)MN〃平面ACO時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為2a

C.當(dāng)M4_LM石時(shí)，點(diǎn)”到BC的距離可能為行

D.存在一個(gè)體積為竽的圓柱體可整體放入Q內(nèi)

24.（2024?湖南?二模）如圖，點(diǎn)尸是校長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段4內(nèi)

的中點(diǎn)，則（）

A.若點(diǎn)P滿足4PLBC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為4及

B.三棱錐A-P8Q體積的最大值為日

C.當(dāng)直線AP與A8所成的角為45時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為北+4&

D.當(dāng)P在底面ABC。上運(yùn)動(dòng)，且滿足分'〃平面用CR時(shí)，線段長(zhǎng)度最大值為2&

22

25.（2024.河南新鄉(xiāng).二模）如圖，已知雙曲線C：］告=1（。＞°，…）的左、右焦點(diǎn)分發(fā)為耳（TO）,

月（3,0）,點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8在V軸上，A,5，H三點(diǎn)共線，若直線時(shí)的斜率為6,直線A￡的斜率為―挈,

則()

c.AB6的面積為16GD.△/!耳行內(nèi)接圓的半徑為白

26.（2024.浙江金華.模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：V=8x的焦點(diǎn)為幾點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)。的

直線/與拋物線E交于八，8兩點(diǎn)（點(diǎn)八和點(diǎn)C在點(diǎn)8的兩側(cè)），則下列命題正確的是（）

A.若8尸為△AC尸的中線，則卜尸|=2忸*

B.若Br為NAR7的角平分線，則|AF|=8

c.存在直線/,使得|AC=&|AF]

D.對(duì)于任意直線/,都有1M|+忸尸|＞2|5

27.（2024.廣東江門?一模）已知曲線E:型+由=1,則下列結(jié)論正確的是（）

48

A.y隨著x增大而減小

B.曲線￡的橫坐標(biāo)取值范圍為[-2,2]

C.曲線E與直線＞=-14r相交，且交點(diǎn)在第二象限

D.材（/,幾）是曲線E上任意一點(diǎn),則卜歷小十為|的取值范圍為（0,4]

28.（2024?廣東廣州?二模）雙曲線具有如卜性質(zhì)：雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾

角.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：￡-[=1S＞（））的左右焦點(diǎn)分別為"，為，右頂點(diǎn)A到一條漸近線的距離為

20h~

2,右支上一動(dòng)點(diǎn)P處的切線記為/,則（）

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±gx

B.雙曲線C的離心率為叵

5

C.當(dāng)桃_Lx軸時(shí)，出用=竽

D.過(guò)點(diǎn)6作"K_L/,垂足為K,|0K|=26

三、填空題

題型8：立體幾何、平面解析幾何綜合

29.（2024?遼寧?一模）已知中U“u是空間單位向量，&/IT々）=1。5。，若空間向量〃滿足aIyU=1,IuUq=-?,且

對(duì)于任意X，yeR,都有|Z-（x￡+＞力即-C%￡+NO￡）|=1（其中知為wR），則,卜.

30.（2024.山東青島.一模）已知球。的表面積為12兀，正四面體ABCZ）的頂點(diǎn)B,C,。均在球O的表面

上，球心。為△BC￡＞的外心，棱AB與球面交于點(diǎn)P.若Ae平面火,Be平面%，Cw平面與，。￡平面

%,%〃。卬（，=1,2,3）且/與a“i=l,2,3）之間的距離為同一定值，棱AC,A。分別與巴交于點(diǎn)。，R，則

二夕。火的周長(zhǎng)為.

31.（2024?廣東汕頭?一模）如圖，在正方體ABCD-\ByCyD,中，E是棱CQ的中點(diǎn)，記平面與平面ABCD

的交線為4,平面ARE與平面A8sA的交線為L(zhǎng)若直線AB分別與46所成的角為。、〃，則

32.（2024?山東臨沂?一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的

直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直

徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖

1,一個(gè)球面的半徑為R，球冠的商是3球冠的表面積公式是$=2由心與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是

V=如圖2,已知C。是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，/4。。=/8。。=^,5即①如=6兀，則

扇形COO繞直線4B旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為,體積為.

33.（2024.貴州畢節(jié).一模）三等分角大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，它和“立方倍積問題”“化

圓為方問題”并稱為“古代三大幾何難題”.公元六世紀(jì)時(shí)，數(shù)學(xué)家帕普斯曾證明用一固定的雙曲線可以解決

“三等分角問題”.某同學(xué)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，借用帕普斯的研究，使某銳角N4OB的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)

8在第四象限，且點(diǎn)力在雙曲線的一條漸近線上，而0A與丁在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A.以

點(diǎn)A為圓心，2|。4|為半徑的圓與丁在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)兒設(shè)A尸的中點(diǎn)為。，則=.若

|OA|=5,|Q2|=6,則a的值為.

34.（2024?山東濰坊?一?模）已知平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線＞y=2x,/2：y=-2x,點(diǎn)P為平面內(nèi)一

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作DP/人交人于D,作EP/4交k于E,得到的平行四邊形ODPE面積為1,記點(diǎn)P的軌跡為曲線

r.若「與圓f+）,2=i有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是

35.（2024.廣東?一模）已知直線/與橢圓（7:工+±=1在第一象限交于P,。兩點(diǎn)，/與x軸，下軸分別交

32

于M，N兩點(diǎn),且滿足圈黔制需則,的斜率為一

36.（2024.江西南昌?一模）用平面截圓錐面，可以截出橢圓、雙曲線、拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線

的定義呢？比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林用一個(gè)雙球模型給出了證明.如圖1,在一個(gè)圓錐中放入兩個(gè)球，使得它們

都與圓錐面相切，一個(gè)平面過(guò)圓錐母線上的點(diǎn)。且與兩個(gè)球都相切，切點(diǎn)分別記為片，巴.這個(gè)平面截圓錐面

得到交線C，歷是C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)用的母線與兩個(gè)球分別相切于點(diǎn)G”，因此有

MF/MF[=MG+MH=GH,而G”是圖中兩個(gè)圓錐母線長(zhǎng)的差，是一個(gè)定值，因此曲線C是一個(gè)橢圓.

如圖2,兩個(gè)對(duì)頂圓錐中，各有一個(gè)球，這兩個(gè)球的半徑相等旦與圓錐面相切，己知這兩個(gè)圓錐的母線與軸

4

夾角的正切值為球的半徑為4,平面。與圓錐的軸平行，且與這兩個(gè)球相切于A8兩點(diǎn)，記平面。與圓

錐側(cè)面相交所得曲線為C,則曲線。的離心率為.

押題14第8、11、14題立體幾何平面解析幾何（八大題型）

專題題綱

真題解讀——近三年全團(tuán)新高考懶

l立體幾何-?a可題

—立體幾何?求表面積或體積

押題14第8、11、14題立體幾何平面解析幾何-空間向量與立體幾何綜合，蜥

模擬分析（最新高考模擬）—求平面解析幾何的有關(guān)參數(shù)

平面解析幾何?取值范圉、最值問夏

平面集析幾何的綜合判斷

J立體幾何、平面解析幾何綜合多選思、填空題

真題解讀

一、單選題

1.（2022.全國(guó).高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬(wàn)，且

3</<3>/3,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

A.B.77C.T*TD.[18,27]

【答案】C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為刀，由球的械面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四

棱錐體積的取值范圍.

【解析】???球的體積為36用，所以球的半徑R=3,

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2”，高為h,

貝廳=2/+〃2,3?=2/+(3-4

所以6/?=r，2/=/一〃2

I?2/4/2I心

所以正四棱錐的體積上.正廉篙

36J

所以V'="[4/3十

—I---------

6J96

當(dāng)”/?2指時(shí)，F(xiàn)>0,當(dāng)2#v/W3G時(shí)，Vf<0,

所以當(dāng)/=2?一時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為6半4，

2721

又/=3時(shí)，V=—,/=36時(shí)，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為2二7,

4

??

所以該正四棱鉞體積的取值范圍是—.

.43_

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

「-|3

由方法一故所以丫=+2力力=；（12-2/?）人心lx。2二2；）+〃+〃（當(dāng)且僅當(dāng)〃=4取到

）,

當(dāng)馬時(shí),得。與，則％乎吟等）號(hào)也

當(dāng)/=3石時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)/|=|+3=（

冬=￥="察，正四棱錐體積匕=$2〃=3苧）弋=?謂，故該正四棱錐體積的取值范圍是仔學(xué)

二、多選題

2.（2023?全國(guó)?高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度

忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?.99mvlm,即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為右m，且正＞1.4，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對(duì)干選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為百m,且退＜1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?.2m＞1m,可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過(guò)的中點(diǎn)。作。七J.AC；,設(shè)。石IAC=E,

可知AC=&,CCj=1,AG=石0八=立，則ian/CAG=g*=段，

2ACAO

10E廠

即靈=耳，解得0后=業(yè)，

—4

2

且閨子卷＞?=謂，即手＞。6，

故以AC｝為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為1.2m圓柱，

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心。?,與正方體的下底面的切點(diǎn)為

M,

Cc

可知：AC±（9,M,OM=0.6,則

1IACAO]

10.6,,廣

即正=病~，解得

根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為6-2x0.675*1.732-1.2x1.414=0.0352＞0.01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；

故選：ABD.

3.（2022?全國(guó)?高考真題）如圖，四邊形A8CO為正方形，成^平面ABC。，F(xiàn)B〃ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E-A8,F-ABC,?HCE的體積分別為則（

A.匕=2%B.V,=V,

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【分析】直接由體積公式計(jì)算K，E，連接見）交人。于點(diǎn)“，連接,由匕=匕“+%_￡.計(jì)算出匕，

依次判斷選項(xiàng)即可.

【解析】

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋D_L平面A8CQ,卜力ED,則V48=（2a；（2a）2=：/,

匕=:尸8,5,詠=；4；（2。）2=；/，連接/，。交AC于點(diǎn)M,連接EM,尸M,易得3O1.AC,

又￡。_1?平面ABC。，ACu平面A8C。，則EO_LAC,又ED\BD=D,ED,BDu平面BDEF,則AC_L平

面BDEF,

又BM=DM=gB。=缶，過(guò)/作尸G_L。石于G,易得四邊形BDGF為矩形，則戶G=8。=2五〃.EG=4,

則EM="24+（缶/=底乩0='/+（缶『=&i,EE=J/+（2缶『=3"，

2222

EM+FM=EF^則皿_1_加，SEFM=-EMFM=—a,AC=2。，

則匕=匕.打初+匕一襁=gACS"”=2/，則2匕=3匕，匕=3匕，匕=吊+匕，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.

故選：CD.

4.（2021?全國(guó)?高考真題）在正三楂柱A3C-A/G中，AB=A\=\,點(diǎn)。滿足BP=2BC+4%,其中

/le[0,l],/ve[0,l],則（）

A.當(dāng)2=1時(shí)，△弁瓦夕的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三楂錐。-A/C的體積為定值

C.當(dāng)％二g時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)。.使得

D.當(dāng)〃時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得AB1平面

【答案】BD

【分析】對(duì)于A,由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo);

對(duì)于B,將尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值;

對(duì)于C,考慮借助向量的平移將P點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解P點(diǎn)的個(gè)數(shù);

對(duì)于D,考慮借助向量的平移將尸點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解。點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解析】

y/B

易知，點(diǎn)尸在矩形4CC由內(nèi)部（含邊界）.

對(duì)「A,當(dāng)2=1時(shí)，BP=BC+〃BBi=BC+〃CC，即此時(shí)Pw線段CG,△4以/周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=2BC+BBL%+2BC，故此時(shí)尸點(diǎn)軌跡為線段MG，而BC〃BC,4C"平面

A,BC,則有P到平面A8C的距離為定值，所以其體積為定侑，故B正確.

對(duì)于C,當(dāng)/1=；時(shí)，BP=；BC+〃BB「取8C,6G中點(diǎn)分別為。，H,貝UBP=BQ+，所以尸點(diǎn)

,0,1,尸（0,。,〃），“（）；（）｝則

軌跡為線段QH,不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖,4

2

\p=_乎,0,〃一|,3PAPBSD=。,所以〃=0或〃=1.故”,Q均滿足，故C

錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)〃=J時(shí)，BP=ABC+；BB],取叫，C&中點(diǎn)為M,N.BP=BM+AMN，所以P點(diǎn)軌跡為線

段MN.設(shè)尸，因?yàn)锳4,0,0，所以A戶二/一事,兄,：但卜冬:5所以

1+：yo-g=o=yo=-g，此時(shí)P與N重合,故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi).

三、填空題

5.（2022?全國(guó)?高考真題）已知直線/與橢圓《+?=1在第一象限交于A,B兩點(diǎn),/與x軸，y軸分別交于

63

M,N兩點(diǎn)，且|MARM3|,|MN|=2G，則/的方程為.

【答案】x+V2.y-2V2=0

【分析】令4B的中點(diǎn)為E,設(shè)A（x，y）,8（%,%），利用點(diǎn)差法得到2班?女.=-），設(shè)直線力比，=履+小,

k<0,〃?>0,求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)|網(wǎng)求出女、〃?，即可得解；

【解析】[方法一J：弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法

令A(yù)8的中點(diǎn)為E,設(shè)4（X，X）,4（%,%），利用點(diǎn)差法得到限（8=-3，

設(shè)直線人民），=云+.，k<0,/n>0,求出M、N的坐標(biāo)，

再根據(jù)|MN|求出〃、〃？，即可得解：

解：令/W的中點(diǎn)為E,因?yàn)閨M4|=|叫，所以|ME|=|N￡）,

設(shè)A（Xi，yJ,8（3為）,則+=1,￡-+々-=3

6363

2

2（玉一修）（司+王）（〉”）'2）（）1-）’2）=0

所以二-士+二上二0,即?

663363

所以卜"二即//砥日=一:，設(shè)直線A8:），=履+，〃，攵<0,加>0,

（國(guó)一七）（?￡+%）22

令x=0得y=令），=0得工=—史，即M—*0,N（0〃〃）,

m

即心工=一:，解得攵=一"或2=1（舍去），

__w222

~2k

又|MN|=2j5,即==2摳，解得m=2或6=一2（舍去），

［方法二］:直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法

解：由題意知，點(diǎn)E既為線段A3的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn),

設(shè)A（X］,y）,5（孫力），設(shè)直線43：,=辰+/〃，k<0,m>0,

則W，N（0,m）,E因?yàn)閨MN|=2石，所以|OE|二G

y=kx+m

聯(lián)立直線AB與橢圓方程得，f2消掉y得（1+2公）/+4〃依+2〃/_6=0

—+—=1

63

其中△=（4〃次）241+2公）⑵〃2一6）＞0,^+A^=-^rT，

1"i"2女

JAB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)片-怒，又Emm2/nkm

2k'2）'?*XE~1+2&22k

VA<0,m>0,；?匕-專,又［0用=*飄+（?S解得m=2

所以直線A8:y=—孝工+2,即x+血丁一2夜=（）

6.（2022?全國(guó)?高考真題）已知橢圓。:二+與=1（。＞〃＞0）,C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為G，入，離心

a~b-

率為過(guò)K且垂直于A入的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，|。石|=6,則VAOE的周長(zhǎng)是.

【答案】13

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為工?+工=1,W+4V2-12C2=0,根據(jù)離心率得到直線4工的斜

4c3c

率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線OE的斜率，寫出直線OE的方程：xfy-c,代入橢圓方程

3x、4.mo,整理化簡(jiǎn)得到：13）3一6&，-9c2=0,利用弦長(zhǎng)公式求得c=￡,得。=2。吟，根據(jù)對(duì)

稱性將VAOE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為△6OE的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為4a=13.

【解析】：橢圓的離心率為e=￡=4，???a=2c,???從=/一/=302,???橢圓的方程為

￡+￡=1,K|J3x2+4y2-12c2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為K，右焦點(diǎn)為尸2,如圖所示，

4c’3c-

.:入F?=a,OF?=c,〃=2%??./460=三，.??△〃；鳥為正三角形，???過(guò)6且垂直于八乙的直線與C交于

D,E兩點(diǎn)，DE為線段從巴的垂直平分線，，直線OE的斜率為無(wú)，斜率倒數(shù)為&，直線。石的方程：

3

x=&-c,代入橢圓方程3./+分2-1*=0,整理化簡(jiǎn)得到：13尸一66。，-9c2=0,

=（6x/3c）2+4x13x9？=62X16XC\

.*.|DE|=^l+（＞/3y|y1-y2|=2x^=2x6x4x^=6,

.13俎013

??c=~~,得〃=2c=丁,

84

???DE為線段"2的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，AD=DF2,人石=里，???VADE的周長(zhǎng)等于△崔加的周長(zhǎng),

利用橢圓的定義得到△鳥。七周長(zhǎng)為

I亞I+忸5HgHDF?|+|七名|+|DF、用班H班l(xiāng)+lDF21+|%|+|￡可=2a+2。=4〃=13.

故答案為：13.

模擬分析

押題14立體幾何平面解析幾何圖考模擬題型分布表

題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)

題型1最值問題1-3（單選）

題型2求表面積或體積4-5（單選）

題型3