階段拔尖專訓

相似與長度計算問題高分秘籍初中階段線段長度求值的四種策略：策略一﹕最深奧的相似三角形法．先從直觀上看可能相似的三角形大概有哪幾對，再結(jié)合所求的線段，找出它們的關(guān)系即可很快地找出我們所需要的相似三角形，然后找出與所求線段對應的線段，其他一對對應線段要根據(jù)已知條件去找．策略二﹕最容易忽略的建立直角坐標系法．當你在幾何范圍內(nèi)不能順利解決時，可以通過建系、設點的坐標、兩點之間距離公式這種方法解決問題．策略三﹕最親民的勾股定理法．所有計算長度問題的方法中，勾股定理是最常用的，或者說是使用頻率最高的．我們要構(gòu)造包含所求線段的直角三角形，這是解決問題的關(guān)鍵．策略四﹕最高大上的三角函數(shù)法．首先要將所求的線段放在一個直角三角形內(nèi)，一般是不會直接給出直角三角形的，所以關(guān)鍵是添加輔助線——作垂線，構(gòu)造直角三角形，然后利用特殊角的三角函數(shù)去解決問題．類型1以三角形為背景1．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點P在∠BAC的平分線AD上，過點P作線段EF分別交BD，AC于點E，F(xiàn)，已知∠CEF＝2∠BAD.(1)求證：△ABC∽△EFC；【證明】∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD.又∵∠CEF＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠FEC.又∵∠BCA＝∠FCE，∴△ABC∽△EFC.(2)若BE＝DE＝3，F(xiàn)是AC的中點，求CF的長．【解】∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD.∵BE＝DE＝3，∴CD＝BD＝BE＋ED＝6，∴EC＝ED＋CD＝9，BC＝2BD＝12.∵F為AC的中點，∴AC＝2CF.2．已知在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2－2mx＋m2＋2m－1的頂點為A，點B的坐標為(3，5)．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D.(1)在BC邊上求作點E，使△ACE∽△BCD；(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)【解】如圖所示，點E即為所求．(2)在(1)的條件下，連接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的長．類型2以四邊形為背景3．[2024溫州模擬]如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，點E在CD上，∠DAE＝45°，F(xiàn)為BC的中點，連接AE，AF，分別交BD于點G，H，連接EF.【證明】∵四邊形ABCD是矩形，AB＝2AD，∴AB＝CD＝2AD，∠ADC＝90°，AD＝BC.∵∠DAE＝45°，∴∠DEA＝90°－45°＝45°＝∠DAE.∴AD＝ED.∴CD＝2DE.∴E為DC的中點．又∵F為BC的中點，∴EF是△BCD的中位線．∴BD＝2EF.(1)求證：BD＝2EF；(2)當EF＝6時，求GH的長．類型3以函數(shù)為背景4．如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，頂點為D.(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)連接BC，CD，BD，P為BD的中點，連接CP，則線段CP的長是________．(1)求反比例函數(shù)的表達式和點A的坐標；(2)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠AOB的平分線OM(不寫作法，保留作圖痕跡)；【解】