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第7講函數的性質

知識梳理

1、函數的單調性

（1）單調函數的定義

一般地，設函數f(x)的定義域為A，區間DA：

如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就

Dx1x2x1x2f(x1)f(x2)

說f(x)在區間D上是增函數．

如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么

Dx1x2x1x2f(x1)f(x2)

就說f(x)在區間D上是減函數．

①屬于定義域A內某個區間上；

②任意兩個自變量，且；

x1x2x1x2

③都有或；

f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)

④圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是

下降的．

（2）單調性與單調區間

①單調區間的定義：如果函數f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數f(x)

在區間D上具有單調性，D稱為函數f(x)的單調區間．

②函數的單調性是函數在某個區間上的性質．

（3）復合函數的單調性

復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，

內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）

函數，復合函數是減函數.

2、函數的奇偶性

函數奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有關于y軸對

偶函數

f(x)f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數稱

如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有關于原點對

奇函數

f(x)

f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數稱

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判斷f(x)與f(x)的關系時，也可以使用如下結論：如果f(x)f(x)0或

f(x)f(x)

1(f(x)0)，則函數f(x)為偶函數；如果f(x)f(x)0或1(f(x)0)，

f(x)f(x)

則函數f(x)為奇函數．

注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的

任意一個x，x也在定義域內(即定義域關于原點對稱)．

3、函數的對稱性

(1)若函數yf(x＋a)為偶函數，則函數yf(x)關于xa對稱．

(2)若函數yf(x＋a)為奇函數，則函數yf(x)關于點(a，0)對稱．

(3)若f(x)f(2ax)，則函數f(x)關于xa對稱．

(4)若f(x)＋f(2ax)2b，則函數f(x)關于點(a，b)對稱．

4、函數的周期性

（1）周期函數：

對于函數yf(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有

f(xT）f(x)，那么就稱函數yf(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.

（2）最小正周期：

如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做

f(x)的最小正周期.

【解題方法總結】

1、單調性技巧

（1）證明函數單調性的步驟

①取值：設，是定義域內一個區間上的任意兩個量，且；

x1x2f(x)x1x2

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號：判斷差的正負或商與1的大小關系；

④得出結論．

（2）函數單調性的判斷方法

①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判

斷．

②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．

③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫

出它們的單調區間．

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（3）記住幾條常用的結論：

①若f(x)是增函數，則f(x)為減函數；若f(x)是減函數，則f(x)為增函數；

②若f(x)和g(x)均為增(或減)函數，則在f(x)和g(x)的公共定義域上f(x)g(x)為增

(或減)函數；

1

③若f(x)0且f(x)為增函數，則函數f(x)為增函數，為減函數；

f(x)

1

④若f(x)0且f(x)為減函數，則函數f(x)為減函數，為增函數．

f(x)

2、奇偶性技巧

(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.

(2)奇偶函數的圖象特征.

函數f(x)是偶函數函數f(x)的圖象關于y軸對稱；

函數f(x)是奇函數函數f(x)的圖象關于原點中心對稱.

(3)若奇函數yf(x)在x0處有意義，則有f(0)0；

偶函數yf(x)必滿足f(x)f(|x|).

(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內

關于原點對稱的兩個區間上單調性相同.

(5)若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則函數f(x)能表示成一個偶函數與一個奇函數

11

的和的形式.記g(x)[f(x)f(x)]，h(x)[f(x)f(x)]，則f(x)g(x)h(x).

22

(6)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除

四則運算所得的函數，如f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x).

對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；

奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶.

(7)復合函數yf[g(x)]的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數模型

ax1ax1

奇函數：①函數f(x)m()(x0)或函數f(x)m()．

ax1ax1

②函數f(x)(axax)．

xm2mxm2m

③函數f(x)loglog(1)或函數f(x)loglog(1)

axmaxmaxmaxm

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22

④函數f(x)loga(x1x)或函數f(x)loga(x1x)．

2m2m

注意：關于①式，可以寫成函數f(x)m(x0)或函數f(x)m(mR)．

ax1ax1

偶函數：①函數f(x)(axax)．

mx

②函數f(x)log(amx1)．

a2

③函數f(|x|)類型的一切函數．

④常數函數

3、周期性技巧

函數式滿足關系（xR）周期

f(xT)f(x)T

f(xT)f(x)2T

11

f(xT);f(xT)2T

f(x)f(x)

f(xT)f(xT)2T

f(xT)f(xT)4T

f(ax)f(ax)

2(ba)

f(bx)f(bx)

f(ax)f(ax)

2a

f(x)為偶函數

f(ax)f(ax)

2(ba)

f(bx)f(bx)

f(ax)f(ax)

2a

f(x)為奇函數

f(ax)f(ax)

4(ba)

f(bx)f(bx)

f(ax)f(ax)

4a

f(x)為奇函數

f(ax)f(ax)

4a

f(x)為偶函數

4、函數的的對稱性與周期性的關系

（1）若函數yf(x)有兩條對稱軸xa，xb(ab)，則函數f(x)是周期函數，且

T2(ba)；

（2）若函數yf(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(b,c)(ab)，則函數yf(x)是周

期函數，且T2(ba)；

（3）若函數yf(x)有一條對稱軸xa和一個對稱中心(b,0)(ab)，則函數yf(x)

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是周期函數，且T4(ba).

5、對稱性技巧

（1）若函數yf(x)關于直線xa對稱，則f(ax)f(ax)．

（2）若函數yf(x)關于點(a，b)對稱，則f(ax)f(ax)2b．

（3）函數yf(ax)與yf(ax)關于y軸對稱，函數yf(ax)與yf(ax)關

于原點對稱．

必考題型全歸納

題型一：函數的單調性及其應用

fxxx

例1．已知函數的定義域是R，若對于任意兩個不相等的實數1，2，總有

fxfx

210成立，則函數fx一定是（）

x2x1

A．奇函數B．偶函數C．增函數D．減函數

f(a)-f(b)

例2．若定義在R上的函數f(x)對任意兩個不相等的實數a，b，總有>0成立，則

a-b

必有（）

A．f(x)在R上是增函數B．f(x)在R上是減函數

C．函數f(x)先增后減D．函數f(x)先減后增

例3．下列函數中，滿足“fxyfxfy”的單調遞增函數是

1

3

A．fxx2B．fxx

x

1x

C．fxD．fx3

2

2

變式1．函數fxx3x2的單調遞增區間是（）

33

A．,B．1,和2,

22

33

C．,1和,2D．,和2,

22

變式2．（江蘇省泰州市海陵區2024學年高三上學期期中數學試題）已知函數

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2x

f(x),x(0,)．

x1

(1)判斷函數f(x)的單調性，并利用定義證明；

(2)若f2m1f1m，求實數m的取值范圍．

ax1

變式3．（2024·全國·高三專題練習）設a0，a1，證明：函數x是x的增函數

x

x0．

2xa

變式4．（2024·上海靜安·高三校考期中）已知函數f(x)(a0)，且f(0)0.

a2x

(1)求a的值，并指出函數f(x)的奇偶性；

(2)在（1）的條件下，運用函數單調性的定義，證明函數f(x)在(,)上是增函數.

【解題總結】

函數單調性的判斷方法

①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判

斷．

②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．

③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫

出它們的單調區間．

題型二：復合函數單調性的判斷

例4．函數yx23x的單調遞減區間為（）

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33

A．,B．,

22

C．0,D．,3

2

例5．（陜西省寶雞市金臺區2024學年高三下學期期末數學試題）函數ylog2(2xx)的

單調遞減區間為（）

A．(1,2)B．1,2

C．(0,1)D．0,1

例6．（陜西省榆林市2024學年高三下學期階段性測試）函數ylg2cosx3的單調遞增

區間為（）

11

A．2k,2k2kZB．2k，2kkZ

6

C．2k,2kkZD．2k,2kkZ

66

【解題總結】

討論復合函數yf[g(x)]的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數的

單調性．一般需要先求定義域，再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合，

然后分別判斷它們的單調性，再用復合法則，復合法則如下：

1、若ug(x)，yf(u)在所討論的區間上都是增函數或都是減函數，則yf[g(x)]為

增函數；

2、若ug(x)，yf(u)在所討論的區間上一個是增函數，另一個是減函數，則

yf[g(x)]為減函數．列表如下：

ug(x)yf(u)yf[g(x)]

增增增

增減減

減增減

減減增

復合函數單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數的單性相同時遞增；單性相異時遞減．

題型三：利用函數單調性求函數最值

例7．（河南省2024屆高三下學期仿真模擬考試數學試題）已知函數fx為定義在R上的

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x

單調函數，且ffx22x10，則fx在2,2上的值域為______．

ax

例8．（上海市靜安區2024屆高三二模數學試題）已知函數fx(a0)為偶函數，

2x1

則函數fx的值域為___________.

例9．（河南省部分學校大聯考2024學年高三下學期3月質量檢測）已知函數

fxax3x1(a0且a1)，若曲線yfx在點0,f0處的切線與直線

x2y10垂直，則fx在1,2上的最大值為__________.

2xm

變式5．（新疆烏魯木齊市第八中學2024屆高三上學期第一次月考）若函數fx在

x1

區間0,1上的最大值為3，則實數m=_______.

【解題總結】

利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值．常用到下面的結論：

1、如果函數yf(x)在區間(a，b]上是增函數，在區間[b，c)上是減函數，則函數

yf(x)(xa，c)在xb處有最大值f(b)．

2、如果函數yf(x)在區間(a，b]上是減函數，在區間[b，c)上是增函數，則函數

yf(x)(xa，c)在xb處有最小值f(b)．

3、若函數yf(x)在[a，b]上是嚴格單調函數，則函數yf(x)在[a，b]上一定有最

大、最小值．

4、若函數yf(x)在區間[a，b]上是單調遞增函數，則yf(x)的最大值是f(b)，最

小值是f(a)．

5、若函數yf(x)在區間[a，b]上是單調遞減函數，則yf(x)的最大值是f(a)，最

小值是f(b)．

題型四：利用函數單調性求參數的范圍

3a1x4a(x1)

xx

例10．已知函數fxa，滿足對任意的實數1，2且x1x2，都有

x1

x

f(x1)f(x2)(x1x2)0，則實數a的取值范圍為（）

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11111

A．,1B．0,C．,D．,1

73636

3

例11．（吉林省松原市2024學年高三上學期第一次月考）若函數fxlogaxax（a0

1

且a1）在區間,0內單調遞增，則a的取值范圍是（）

2

1399

A．,1B．,1C．,D．1,

4444

例12．（四川省廣安市2024學年高三上學期期末數學試題）已知函數

x2ax9,x1

fxa在R上單調遞增，則實數a的取值范圍為（）

,x1

x

A．5,0B．(,2)

C．5,2D．(,0)

變式6．（江西省臨川第一中學2024屆高三上學期期末考試數學（理）試題）已知函數

2

0,1a

fxlogaxax3在上是減函數，則實數的取值范圍是（）

A．0,1B．1,4

C．0,11,4D．2,4

變式7．（天津市復興中學2024學年高三上學期期末數學試題）已知函數fxx22kx5

在2,4上具有單調性，則實數k的取值范圍為（）．

A．k4B．k2

C．k4或k2D．k4或k2

【解題總結】

若已知函數的單調性，求參數a的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數

a的不等式，利用下面的結論求解．

1、若af(x)在[m，n]上恒成立af(x)在[m，n]上的最大值．

2、若af(x)在[m，n]上恒成立af(x)在[m，n]上的最小值．

題型五：基本初等函數的單調性

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例13．（2024·天津河西·天津市新華中學校考模擬預測）已知函數yfx2是R上的偶

fx1fx2

函數，對任意x1，x22,，且x1x2都有0成立．若aflog318，

x1x2

e2ln10

bfln，cfe2，則a，b，c的大小關系是（）

2

A．bacB．abcC．cbaD．b<c<a

例14．（多選題）（甘肅省慶陽市寧縣第一中學2024學年高三上學期期中數學試題）已知函

數fx在區間5,5上是偶函數，在區間0,5上是單調函數，且f3f1，則（）

A．f(1)f(3)B．f0f(1)

C．f(1)f1D．f(3)f5

例15．（2024屆北京市朝陽區高三第一次模擬考試數學試題）下列函數中，既是偶函數又在

區間(0,)上單調遞增的是（）

32|x|

A．yxB．yx1C．ylog2xD．y2

【解題總結】

1、比較函數值大小，應將自變量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數單調性解決.

2、求復合函數單調區間的一般步驟為：①求函數定義域；②求簡單函數單調區間；③

求復合函數單調區間(同增異減).

3、利用函數單調性求參數時，通常要把參數視為已知數，依據函數圖像或單調性定義，

確定函數單調區間，與已知單調區間比較，利用區間端點間關系求參數.同時注意函數定義

域的限制，遇到分段函數注意分點左右端點函數值的大小關系.

題型六：函數的奇偶性的判斷與證明

例16．利用圖象判斷下列函數的奇偶性：

x22x1,x0

(1)f(x)2

x2x1,x0

x2x,x0,

(2)f(x)2

xx，x0

1x

(3)y()；

2

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(4)ylog2(x1)；

(5)yx22x1.

例17．（2024·北京·高三專題練習）下列函數中，既是偶函數又在區間0,上單調遞增的

是（）

1

A．ycosxB．yexC．ylgxD．y

x

例18．（多選題）（黑龍江省哈爾濱市第五中學校2024學年高三下學期開學檢測數學試題）

設函數fx,gx的定義域都為R，且fx是奇函數，gx是偶函數，則下列結論正確的

是（）

A．fxgx是偶函數B．fxgx是奇函數

C．fxgx是奇函數D．fxgx是偶函數

變式8．（北京市海淀區2024屆高三二模數學試題）下列函數中，既是奇函數又在區間0,1

上單調遞增的是（）

2

A．ylgxB．yC．y2|x|D．ytanx

x

【解題總結】

函數單調性與奇偶性結合時，注意函數單調性和奇偶性的定義，以及奇偶函數圖像的對

稱性.

題型七：已知函數的奇偶性求參數

例19．（四川省成都市蓉城聯盟2024學年高三下學期第二次聯考）已知函數

xx

fxeaesin2x是偶函數，則a______．

例20．（江西省部分學校2024屆高三下學期一輪復習驗收考試）若函數

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x

fxlog2161ax是偶函數，則loga2__________．

例21．（湖南省部分學校2024屆高三下學期5月聯數學試題）已知函數fx2x2ax2，

若fx1是偶函數，則a______．

變式9．若函數fx2e2xae2x1為偶函數，則a__________.

【解題總結】

利用函數的奇偶性的定義轉化為f(x)f(x)，建立方程，使問題得到解決，但是

在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.

題型八：已知函數的奇偶性求表達式、求值

例22．（2024年高三數學押題卷五）已知函數fx是奇函數，函數gx是偶函數．若

2023π

fxgxxsinx，則f（）

2

2023π2023π

A．B．C．0D．1

22

x23x,x0,

例23．（廣東省湛江市2024屆高三二模數學試題）已知奇函數fx則

gx1,x0,

gx__________．

例24．已知函數fx是定義在R上的奇函數，當x0時，fxx24x3，則函數fx

的解析式為_________．

變式10．設函數f(x)與g(x)的定義域是xRx1，函數f(x)是一個偶函數，g(x)是一

1

個奇函數，且f(x)g(x)，則f(x)等于（）

x1

12x222x

A．B．C．D．

x21x21x21x21

【解題總結】

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抓住奇偶性討論函數在各個分區間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于f(x)的方

程，從而可得f(x)的解析式.

題型九：已知f(x)奇函數+M

例25．（寧夏銀川一中、昆明一中2024屆高三聯合二模考試數學試題）已知函數

fxax5bsinxc，若f1f12，則c（）

2

A．B．0C．1D．

13

例26．（河南省濟洛平許2024屆高三第四次質量檢測數學試題）已知fx1在R上單調遞

12

增，且為奇函數.若正實數a，b滿足fa4fb2，則的最小值為（）

ab

3233

A．B．2C．322D．2

4242

例27．（重慶市巴蜀中學2024屆高三高考適應性月考數學試題）已知函數

f(x)cosxlnx1x2在區間[5,5]的最大值是M，最小值是m，則f(Mm)的值

4

等于()

A．0B．10C．D．

42

變式11．（福建省福州格致中學2024學年高三下學期期中考數學試題）已知函數

fxalnx1x2bsinx2，若f37，則f3（）

A．等于7B．等于5C．等于3D．無法確定

【解題總結】

已知f(x)奇函數+M，x[a,a]，則

（1）f(x)f(x)2M

（）

2f(x)maxf(x)min2M

題型十：函數的對稱性與周期性

例28．（多選題）（2024·山東煙臺·統考二模）定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(4x)0，

f(22x)是偶函數，f(1)1，則（）

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A．fx是奇函數B．f20231

100

C．fx的圖象關于直線x1對稱D．kf(2k1)100

k1

例29．（多選題）（2024·湖南·高三校聯考階段練習）已知定義在R上的函數fx和gx的

導函數分別是fx和gx，若fxgx21，fx2g2x，且gx2是

奇函數，則下列結論正確的是（）

A．f41B．gx的圖像關于點1,0對稱

20242024

C．fk0D．fkgk10

k1k1

例30．（多選題）（2024·河北·統考模擬預測）已知函數fx，gx的定義域均為R，導

函數分別為fx，gx，若f3xgx2，fxgx1，且g2xgx0，

則（）

A．4為函數gx的一個周期B．函數fx的圖象關于點2,2對稱

20242024

C．gn0D．fn4048

n1n1

變式12．（多選題）（2024·山東濱州·統考二模）函數yfx在區間,上的圖象是

一條連續不斷的曲線，且滿足f3xf3x6x0，函數f12x的圖象關于點0,1

對稱，則（）

A．fx的圖象關于點1,1對稱B．8是fx的一個周期

C．fx一定存在零點D．f101299

【解題總結】

（1）若函數yf(x)有兩條對稱軸xa，xb(ab)，則函數f(x)是周期函數，且

T2(ba)；

（2）若函數yf(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(b,c)(ab)，則函數yf(x)是周

期函數，且T2(ba)；

（3）若函數yf(x)有一條對稱軸xa和一個對稱中心(b,0)(ab)，則函數yf(x)

是周期函數，且T4(ba).

題型十一：類周期函數

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

例31．（2024·山西長治·高三山西省長治市第二中學校校考階段練習）定義域為R的函數

x2x,x(0,1)

x2t1

fx滿足fx22fx，fx1，若x(2,0]時，f(x)恒

,x1,22t

2

成立，則實數t的取值范圍是（）

A．[2,0)(0,1)B．[2,0)[1,)C．[2,1]D．(,2](0,1]

例32．（2024·江西南昌·高三校考期中）已知定義在0,上的函數f(x)滿足

12

f(x)f(x2)，且當x0,2時，f(x)x2x.設f(x)在2n2,2n上的最大值為an

2

*

（nN），且數列an的前n項的和為Sn.若對于任意正整數n不等式kSn12n9恒

成立，則實數k的取值范圍為（）

137

A．0,B．,C．,D．,

326464

例33．（2024·全國·高三專題練習）定義域為R的函數f(x)滿足f(x2)3f(x)，當x[0,2]

13

時，f(x)x22x，若x[4,2]時，f(x)(t)恒成立，則實數t的取值范圍是()

18t

A．,10,3B．,30,3

C．1,03,D．3,03,

44x8,1x3

變式13．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知函數f(x)1x，則下

f,x3

23

列說法正確的是（）

11

A．若函數yf(x)kx有4個零點，則實數k的取值范圍為,

183

1

．關于x的方程*有個不同的解

Bf(x)0nN2n1

2n3

C．對于實數x[1,)，不等式xf(x)80恒成立

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

n1

n1n*3

D．當x3,3nN時，函數f(x)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為4

2

【解題總結】

1、類周期函數

若yf(x)滿足：f(xm)kf(x)或f(x)kf(xm)，則yf(x)橫坐標每增加m個

單位，則函數值擴大k倍．此函數稱為周期為m的類周期函數．

類周期函數圖象倍增函數圖象

2、倍增函數

x

若函數yf(x)滿足f(mx)kf(x)或f(x)kf()，則yf(x)橫坐標每擴大m倍，

m

則函數值擴大k倍．此函數稱為倍增函數．

g(x)，x[1，m)

2

g(xm1)，x[m，m)

注意當mk時，構成一系列平行的分段函數，f(x)g(xm21)，x[m2，m3)．

n1n1n

g(xm1)，x[m，m)

題型十二：抽象函數的單調性、奇偶性、周期性

例34．（安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數學試題）已知定義在R上的函數fx，

gx滿足：①f01；②gx為奇函數；③x0,，g(x)0；④任意的x，yR，

fxyfxfygxgy.

（1）判斷并證明函數fx的奇偶性；

（2）判斷并證明函數fx在(0,+￥)上的單調性.

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

例35．（2024·河北石家莊·統考模擬預測）設函數f(x)定義域為R，f(x1)為奇函數，

f(x1)為偶函數，當x(1,1)時，f(x)x21，則下列結論錯誤的是（）

73

A．fB．f(x7)為奇函數

24

C．f(x)在(6,8)上是減函數D．方程f(x)lgx0僅有6個實數解

例36．（2024·湖北·統考模擬預測）已知函數fx是定義在R上的偶函數，對任意

fxfx

12

x1,x2[0,)，且x1x2，有0，若f10，則不等式x1fx0的解集是

x1x2

（）

A．1,11,B．1,1C．,11,D．,10,1

變式14．（四川省遂寧市2024學年高三上學期期末數學試題）定義在R上的函數f(x)，對

任意x1,x2R，滿足下列條件：①f(x1x2)f(x1)f(x2)2②f(2)4

（1）是否存在一次函數f(x)滿足條件①②，若存在，求出f(x)的解析式；若不存在，說明

理由.

（2）證明：g(x)f(x)2為奇函數；

變式15．（安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數學試題）已知定義在R上的函數fx，

gx滿足：

①f01；

②任意的x，yR，fxyfxfygxgy.

（1）求f2xg2x的值；

（2）判斷并證明函數fx的奇偶性.

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

變式16．（多選題）（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中校考開學考試）已知函數fx對任意

xR都有fx4fx2f2，若yfx1的圖象關于直線x1對稱，且對任意的

fx1fx2

x1，x20,2，且x1x2，都有0，則下列結論正確的是（）．

x1x2

A．fx是偶函數B．fx的周期T4

C．f20220D．fx在4,2單調遞減

【解題總結】

抽象函數的模特函數通常如下：

(1)若f(xy)f(x)f(y)，則f(x)xf(1)(正比例函數)

(2)若f(xy)f(x)f(y)，則f(x)[f(1)]x(指數函數)

若，則對數函數

(3)f(xy)f(x)f(y)f(x)logbx()

(4)若f(xy)f(x)f(y)，則f(x)xa(冪函數)

(5)若f(xy)f(x)f(y)m，則f(x)xf(1)m(一次函數)

(6)對于抽象函數判斷單調性要結合題目已知條件，在所給區間內比較大小，有時需要

適當變形.

題型十三：函數性質的綜合

例37．（廣西2024屆高三畢業班高考模擬測試數學試題）已知定義在R上的函數fx在

,2上單調遞減，且fx2為偶函數，則不等式fx1f2x的解集為（）

55

A．,6,B．,1,

3