第53講傳統方法求角度與距離

知識點1：線與線的夾角

平行直線

共面直線

（1）位置關系的分類：相交直線

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點

（2）異面直線所成的角

①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a∥a，b∥b，把a與b所

成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．

②范圍：(0，]

2

③求法：平移法：將異面直線a，b平移到同一平面內，放在同一三角形內解三角形．

知識點2：線與面的夾角

①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．

②范圍：[0，]

2

③求法：

常規法：過平面外一點B做BB平面，交平面于點B'；連接AB，則BAB即

BBh

為直線AB與平面的夾角．接下來在Rt△ABB中解三角形．即sinBAB

AB斜線長

（其中h即點B到面的距離，可以采用等體積法求h，斜線長即為線段AB的長度）；

知識點3：二面角

（1）二面角定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線

稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面．（二面角l或者是二面角ACDB）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面

內分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍[0，]．

（3）二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面

角的平面角，如圖在二面角l的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面和

內作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條

垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于求兩條異面直線的夾角即可）．

法二：三垂線法

在面或面內找一合適的點A，作AO于O，過A作ABc于B，則BO為斜線

AB在面內的射影，ABO為二面角c的平面角．如圖1，具體步驟：

①找點做面的垂線；即過點A，作AO于O；

②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過A作ABc于B，連接BO；

③計算：ABO為二面角c的平面角，在Rt△ABO中解三角形．

圖1圖2圖3

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的

S射S

都可利用射影面積公式（cos=A'B'C'，如圖2）求出二面角的大小；

S斜SABC

法四：補棱法

當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確

的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當二平面沒有明確的交線時，

也可直接用法三的攝影面積法解題．

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所

成的角，就是二面角的平面角．

例如：過二面角內一點A作AB于B，作AC于C，面ABC交棱a于點O，則

BOC就是二面角的平面角．如圖3．此法實際應用中的比較少，此處就不一一舉例分析了．

知識點4：空間中的距離

求點到面的距離轉化為三棱錐等體積法求解．

必考題型全歸納

題型一：異面直線所成角

例1．（2024·四川綿陽·綿陽中學?？级＃┤鐖D，圓柱的軸截面為矩形ABCD，點M，N分

別在上、下底面圓上，NB2AN，CM2DM，AB2，BC3，則異面直線AM與CN

所成角的余弦值為（）

33033033

A．B．C．D．

102054

例2．（2024·全國·高三校聯考開學考試）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

ABBCACAA1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值等于（）

3111

A．B．C．D．

2234

5π

例3．（2024·江西·高三統考階段練習）如圖，二面角l的大小為,a,b，且

6

π

a與交線l所成的角為，則直線a,b所成的角的正切值的最小值為（）

3

393313

A．3B．C．D．

13313

變式1．（2024·河南·洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，

ABAA1，D為A1B1的中點，E為A1C1的中點，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（）

6353535

A．B．C．D．

610147

π

變式2．（2024·全國·高三對口高考）兩條異面直線a、b所成角為,一條直線l與a、b成角

3

都等于，那么的取值范圍是（）

πππππ5ππ2π

A．,B．,C．,D．,

32626633

變式3．（2024·四川·校聯考模擬預測）在正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B14，其

282

體積為,E為B1D1的中點，則異面直線AD1與BE所成角的余弦值為（）

3

333330

A．B．C．D．

1051010

變式4．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┱庵鵄BC-A1B1C1的棱長

均相等，E是B1C1的中點，則異面直線AB1與BE所成角的余弦值為（）

2210310

A．B．C．D．

432020

題型二：線面角

例4．（2024·貴州貴陽·校聯考三模）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABACAA1，

BAC60，則AB1與平面AA1C1C所成角的正弦值等于（）

23610

A．B．C．D．

2244

例5．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐PABCD中，AB//CD，ABC90，

△ADP是等邊三角形，ABAP2，BP3，ADBP.

(1)求BC的長度；

(2)求直線BC與平面ADP所成的角的正弦值.

例6．（2024·廣東陽江·高三統考開學考試）在正三棱臺ABC-A1B1C1中，AB6，

A1B1AA13，D為A1C1中點，E在BB1上，EB2B1E.

(1)請作出A1B1與平面CDE的交點M，并寫出A1M與MB1的比值（在圖中保留作圖痕跡，不

必寫出畫法和理由）；

(2)求直線BM與平面ABC所成角的正弦值.

變式5．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學校考二模）如圖，在多面體ABCDEFG中，平面

ABC平面DEFG，底面ABC是等腰直角三角形，ABBC2，側面ACGD是正方形，

DA平面ABC，且FB∥GC，GEDE.

(1)證明：AEGE．

(2)若O是DG的中點，OE平面BCGF，求直線OE與平面BDG所成角的正弦值．

變式6．（2024·全國·高三專題練習）在三棱錐OABC中，ABBCOB2,ABC120，

平面BCO平面ABC，且OBAB.

(1)證明：OBAC；

(2)若F是直線OC上的一個動點，求直線AF與平面ABC所成的角的正切值最大值.

變式7．（2024·湖南邵陽·高三統考學業考試）如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是

邊長為2的正方形，AC與BD交于點O，PA面ABCD，且PA2.

(1)求證BD平面PAC.；

(2)求PD與平面PAC所成角的大?。?/p>

變式8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C底面ABC，

ACB90,AA12，A1到平面BCC1B1的距離為1．

(1)證明：A1CAC；

(2)已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．

變式9．（2024·全國·模擬預測）如圖，在多面體ABCDE中，平面ACD平面ABC，BE

23

平面ABC，ACD是邊長為2的正三角形，ABBC，BE3．

3

(1)點M為線段CD上一點，求證：DEAM；

(2)求AE與平面BCE所成角的正弦值．

變式10．（2024·海南?？凇そy考模擬預測）如圖，四棱錐PABCD中，AB//CD，ABAD，

平面PAD平面PCD.

(1)證明：平面PAD平面ABCD；

(2)若AD2AB2，PB2，PD5，BC與平面PCD所成的角為，求sin的最大值.

變式11．（2024·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，AD//BC，

BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分別為PC，PB的中點．

(1)證明：PBDM．

(2)求BD與平面ADMN所成角的正弦值．

變式12．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在四棱錐EABCD中，底面ABCD為直角

1

梯形，AB//CD，ABCD，CDCE，ADCEDC45，AD2，BE3．

2

(1)求證：平面ABE平面ABCD；

(2)設M為AE的中點，求直線DM與平面ABCD所成角的正弦值．

題型三：二面角

例7．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱ABCABC中，已知CB平面

ABBA,AB2，且ABBB,ACAB.

(1)求AA的長；

(2)若D為線段AC的中點，求二面角ABCD的余弦值.

例8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，

CBB160,ABBC2,ACAB12.

(1)證明：平面ACB1平面BB1C1C；

(2)求二面角AA1C1B1的余弦值.

例9．（2024·廣東深圳·高三校聯考開學考試）在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，

ABPD.

(1)證明：平面PAD平面ABCD；

(2)若PAPD，PDA60，求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.

變式13．（2024·四川成都·高三川大附中校考階段練習）如圖，AB是圓O的直徑，點P在圓

O所在平面上的射影恰是圓O上的點C，且AC2BC，點D是PA的中點，PO與BD交于

點E，點F是PC上的一個動點.

(1)求證：BCPA；

(2)求二面角BPCO平面角的余弦值.

變式14．（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知在四棱錐PABCD中，AB4，

BC3，AD5，DABABCCBP90，PACD，E為CD的中點.

(1)證明：平面PCD平面PAE；

(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求二面角PCDA

的正弦值.

變式15．（2024·廣東廣州·高三廣州市第六十五中學校考階段練習）如圖，在五面體ABCDE

中，AD平面ABC，ADBE，AD2BE，ABBC.

(1)問：在線段CD上是否存在點P，使得PE平面ACD?若存在，請指出點P的位置，并

證明；若不存在，請說明理由.

(2)若AB3，AC2，AD2，求平面ECD與平面ABC夾角的余弦值.

變式16．（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）如圖，在梯形ABCD中，ABCD，

ADDCCB1，ABC60，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.

(1)求證：BC平面ACFE；

(2)求二面角ABFC的平面角的余弦值；

(3)若點M在線段EF上運動，設平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為(90)，

試求cos的范圍.

變式17．（2024·吉林·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）如圖，AB是圓O的直徑，點C

是圓O上異于A,B的點，直線PC平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點．

(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l，證明：l平面PCB；

1

(2)設（1）中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足DQCP．記直線PQ與平面

2

ABC所成的角為，異面直線PQ與EF所成的角為，二面角ElC的大小為，求證：

sinsinsin．

變式18．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐PABC中，ABBC，AB2，

BC22，PBPC6，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，AD5DO，點F在

AC上，BFAO.

(1)證明：EF//平面ADO；

(2)證明：平面ADO平面BEF；

(3)求二面角DAOC的正弦值.

變式19．（2024·廣東廣州·統考三模）如圖，在幾何體ABCDEF中，矩形BDEF所在平面與

平面ABCD互相垂直，且ABBCBF1，ADCD3，EF2．

(1)求證：BC平面CDE；

(2)求二面角EACD的平面角的余弦值．

變式20．（2024·浙江·校聯考模擬預測）已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，

ABAP，平面PCD平面ABCD,PDAD.

(1)若H為AP的中點，證明：AP平面HCD；

(2)若AB1,AD5,PA22，求平面PAB與平面PCD所夾角的余弦值.

變式21．（2024·河南·洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）在圖1中，ABC為等腰直角

三角形，DB=90°，AB22，ACD為等邊三角形，O為AC邊的中點，E在BC邊上，

且EC2BE，沿AC將ACD進行折疊，使點D運動到點F的位置，如圖2，連接FO，FB，

FE，使得FB4．

(1)證明：FO平面ABC．

(2)求二面角EFAC的余弦值．

變式22．（2024·江蘇蘇州·校聯考三模）如圖，在三棱錐PABC中，ABC是邊長為62的

等邊三角形，且PAPBPC6，PD平面ABC，垂足為D,DE平面PAB，垂足為E，

連接PE并延長交AB于點G.

(1)求二面角P-AB-C的余弦值；

(2)在平面PAC內找一點F，使得EF平面PAC，說明作法及理由，并求四面體PDEF的

體積.

變式23．（2024·全國·高三專題練習）已知四棱錐PABCD的底面為梯形ABCD，且AB//CD，

又PAAD，ABAD1，CD2，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面PBCl．

(1)判斷直線l和BC的位置關系，并說明理由；

2

(2)若點D到平面PBC的距離為，請從下列①②中選出一個作為已知條件，求二面角

3

BlD余弦值大?。?/p>

①CDAD；

②PAB為二面角PADB的平面角．

題型四：距離問題

例10．（2024·山東濱州·高三山東省北鎮中學?？茧A段練習）如圖所示的斜三棱柱

ABC-A1B1C1中，AA1B1B是正方形，且點C1在平面AA1B1B上的射影恰是AB的中點H，M

是C1B1的中點．

(1)判斷HM與面CAA1C1的關系，并證明你的結論；

(2)若C1H3，AB2，求斜三棱柱兩底面間的距離．

例11．（2024·北京海淀·高三海淀實驗中學?？计谀┤鐖D，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平

面A1C1CA平面BCC1B1，側面A1C1CA是邊長為2的正方形，C1BC1C2,E,F分別為

BC,A1B1的中點.

(1)證明：EF面A1C1CA

(2)請再從下列三個條件中選擇一個補充在題干中，完成題目所給的問題.

π1

①直線AB與平面BCCB所成角的大小為；②三棱錐FBCE的體積為；③BC^AC.

1141311

若選擇條件___________.

求（i）求二面角FBC1E的余弦值；

（ii）求直線EF與平面A1C1CA的距離.

例12．（2024·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐PABC中，PAB，ABC均為等邊三角

形，PA4，O為AB中點，點D在AC上，滿足AD1，且面PAB面ABC．

(1)證明：DC面POD；

(2)若點E為PB中點，問：直線AC上是否存在點F，使得EF∥面POD，若存在，求出FC

的長及EF到面POD的距離；若不存在，說明理由．

變式24．（2024·