第60講直線與圓、圓與圓的位置關系

知識梳理

一．直線與圓的位置關系

直線與圓的位置關系有3種，相離，相切和相交

二．直線與圓的位置關系判斷

（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關系）

|AaBbC|

圓心(a,b)到直線AxByC0的距離，則d：

A2B2

22

dr直線與圓相交，交于兩點P,Q，|PQ|2rd；

dr直線與圓相切；

dr直線與圓相離

（2）代數方法（幾何問題轉化為代數問題即交點個數問題轉化為方程根個數）

AxByC0

由222，

(xa)(yb)r

消元得到一元二次方程px2qxt0，px2qxt0判別式為，則：

0直線與圓相交；

0直線與圓相切；

0直線與圓相離．

三．兩圓位置關系的判斷

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關系確定，具體是：

設兩圓的半徑分別是，（不妨設），且兩圓的圓心距為，則：

O1,O2R,rRrd

dRr兩圓相交；

dRr兩圓外切；

RrdRr兩圓相離

dRr兩圓內切；

0dRr兩圓內含（d0時兩圓為同心圓）

設兩個圓的半徑分別為R，r，Rr，圓心距為d，則兩圓的位置關系可用下表來表示：

位置關系相離外切相交內切內含

幾何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr

代數特征無實數解一組實數解兩組實數解一組實數解無實數解

公切線條數43210

【解題方法總結】

關于圓的切線的幾個重要結論

（）過圓222上一點的圓的切線方程為2．

1xyrP(x0,y0)x0xy0yr

（）過圓222上一點的圓的切線方程為

2(xa)(yb)rP(x0,y0)

2

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

（）過圓22上一點的圓的切線方程為

3xyDxEyF0P(x0,y0)

xxyy

xxyyD0E0F0

0022

（）求過圓222外一點的圓的切線方程時，應注意理解：

4xyrP(x0,y0)

①所求切線一定有兩條；

②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論．設切線方程為

，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關于的方程，求出值．若求出

yy0k(xx0)kk

的k值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的k值只有一個，則說明斜率

不存在的情形符合題意．

必考題型全歸納

題型一：直線與圓的位置關系的判斷

xy

例1．（2024·四川成都·成都七中校考一模）圓C：(x1)2(y1)21與直線l：1

43

的位置關系為（）

A．相切B．相交C．相離D．無法確定

例2．（2024·全國·高三對口高考）若直線axby1與圓x2y21相交，則點Pa,b（）

A．在圓上B．在圓外C．在圓內D．以上都有可能

22

例3．（2024·全國·高三專題練習）已知點Px0,y0為圓C:xy2上的動點，則直線

l:x0xy0y2與圓C的位置關系為（）

A．相交B．相離C．相切D．相切或相交

22

變式1．（2024·全國·高三專題練習）直線l:xmy1m0與圓C:x1y29

的位置關系是（）

A．相交B．相切C．相離D．無法確定

變式2．（2024·陜西寶雞·統考二模）直線l：xcosysin1R與曲線C：x2y21

的交點個數為（）

A．0B．1C．2D．無法確定

變式3．（2024·寧夏銀川·銀川一中校考二模）直線kxy14k0kR與圓

(x1)2(y2)225的位置關系為（）

A．相離B．相切C．相交D．不能確定

【解題方法總結】

判斷直線與圓的位置關系的常見方法

（1）幾何法：利用d與r的關系．

（2）代數法：聯立方程之后利用Δ判斷．

（3）點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．

題型二：弦長與面積問題

例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）已知直線l：3xy50與圓C：

22

xy2x6y60交于A，B兩點，則AB．

1

例5．（2024·河南鄭州·統考模擬預測）已知圓C:x2y26x50，直線yx1與圓

3

C相交于M，N兩點，則MN．

2

例6．（2024·全國·高三專題練習）已知直線l:xmy10與C:x1y24交于A，

8

B兩點，寫出滿足“ABC面積為”的m的一個值．

5

變式4．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中學校考階段練習）圓心在直線y2x上，與x

軸相切，且被直線xy0截得的弦長為14的圓的方程為.

變式5．（2024·廣東廣州·統考三模）寫出經過點(1,0)且被圓x2y22x2y10截得的

弦長為2的一條直線的方程．

變式6．（2024·廣東深圳·校考二模）過點(1,1)且被圓x2y24x4y40所截得的弦

長為22的直線的方程為.

變式7．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考三模）已知直線l：kxy2k20被圓

C：x2(y1)216所截得的弦長為整數，則滿足條件的直線l有條.

22

變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知A，B分別為圓x1y21與圓x2y24

上的點，O為坐標原點，則OAB面積的最大值為.

變式9．（2024·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）已知直線l:xy50與

22

圓C:xy2x4y40交于A，B兩點，若M是圓上的一動點，則△MAB面積的最大

值是.

變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知圓C的方程為(x3)2(y4)225，若直線

l:3x4y50與圓C相交于A,B兩點，則ABC的面積為.

變式11．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，過點A(0,3)的直線l

6

與圓C:x2(y2)29相交于M，N兩點，若SS，則直線l的斜率為.

△AON5△ACM

變式12．（2024·廣東惠州·統考模擬預測）在圓x2y22x6y0內，過點E0,3的最

長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為．

【解題方法總結】

弦長問題

l

①利用垂徑定理：半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l具有的關系r2d2()2，這

2

也是求弦長最常用的方法．

②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距

離公式計算弦長．

③利用弦長公式：設直線，與圓的兩交點，，，，將直線方程

l:ykxb(x1y1)(x2y2)

代入圓的方程，消元后利用根與系數關系得弦長：

l1k2|xx|(1k2)[(xx)24xx](1k2)．

121212A

題型三：切線問題、切線長問題

例7．（2024·遼寧錦州·校考一模）寫出一條與圓x2y21和曲線yx25都相切的直線

的方程：.

22

例8．（2024·河南開封·統考三模）已知點A(1,0)，B(2,0)，經過B作圓x3y25

的切線與y軸交于點P，則tanAPB．

例9．（2024·全國·高三專題練習）經過點1,0且與圓x2y24x2y30相切的直線方

程為．

變式13．（2024·福建寧德·校考模擬預測）已知圓C：x2y22x2y0，直線l的橫縱

截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．

變式14．（2024·福建福州·統考模擬預測）寫出經過拋物線y28x的焦點且和圓

2

x2y14相切的一條直線的方程.

變式15．（2024·重慶·統考模擬預測）過點P3,2且與圓C：x2y22x4y10相

切的直線方程為

變式16．（2024·湖北·高三校聯考開學考試）已知過點P3,3作圓O:x2y22的切線，

則切線長為.

變式17．（2024·江蘇無錫·校聯考三模）已如P3,3，M是拋物線y24x上的動點（異

22

于頂點），過M作圓C:x2y4的切線，切點為A，則MAMP的最小值為.

變式18．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）由直線xy60上一點P

22

向圓C:x3y54引切線，則切線長的最小值為．

變式19．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考階段練習）若在圓C：x2y2r2r0

22

上存在一點P，使得過點P作圓M：x2y1的切線長為2，則r的取值范圍

為．

變式20．（2024·天津濱海新·天津市濱海新區塘沽第一中學校考模擬預測）已知圓

M:x2y22ay0(a0)與直線xy0相交所得圓的弦長是22，若過點A3,6作圓M

的切線，則切線長為.

2

變式21．（2024·天津南開·統考二模）若直線kxy2k30與圓x2y14相切，

則k.

變式．（·湖北·高三校聯考階段練習）已知e22，

222024O1:xy21

e22，過軸上一點分別作兩圓的切線，切點分別是，，當

O2:x3y69xPMN

PMPN取到最小值時，點P坐標為.

【解題方法總結】

（1）圓的切線方程的求法

①點，在圓上，

M(x0y0)

法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．

klkOM1kOMkl1

法二：圓心O到直線l的距離等于半徑r．

②點，在圓外，則設切線方程：，變成一般式：

M(x0y0)yy0k(xx0)

，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．

kxyy0kx00k

注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一

個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．

（2）常見圓的切線方程

過圓222上一點，的切線方程是2；

xyrP(x0y0)x0xy0yr

過圓222上一點，的切線方程是

(xa)(yb)rP(x0y0)

2．

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

題型四：切點弦問題

2

例10．（2024·浙江·高三浙江省富陽中學校聯考階段練習）從拋物線y4xy0上一點

22

P作圓C：x5y1得兩條切線，切點為A,B，則當四邊形PACB面積最小時直線AB方

程為.

例11．（2024·貴州·高三凱里一中校聯考開學考試）已知圓C:x2y22y0，過直線

l:xy10上任意一點P，作圓的兩條切線，切點分別為A,B兩點，則AB的最小值

為.

x2y2

例12．（2024·北京·高三強基計劃）如圖，過橢圓1上一點M作圓x2y22的

94

兩條切線，過切點的直線與坐標軸于P，Q兩點，O為坐標原點，則△POQ面積的最小值

為（）

123

A．B．C．D．前三個答案都不對

234

變式23．（2024·山東泰安·統考模擬預測）已知直線l:mxym10(m0)與圓

22

C:xy4x2y40，過直線l上的任意一點P向圓C引切線，設切點為A,B，若線段

AB長度的最小值為3，則實數m的值是（）

121277

A．B．C．D．

5555

變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知點P在直線l:3x4y330上，過點P作圓

C:(x1)2y24的兩條切線，切點分別為A,B，則圓心C到直線AB的距離的最大值為（）

124

A．B．C．1D．

333

變式25．（2024·重慶·統考模擬預測）若圓C:x2(y2)216關于直線axby120對

稱，動點P在直線yb0上，過點P引圓C的兩條切線PM、PN，切點分別為M、N，

則直線MN恒過定點Q，點Q的坐標為（）

A．(1,1)B．(1,1)C．(0,0)D．(0,12)

變式26．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知圓C：(x3)2y24，點M在拋

2MPQ

物線T：y4x上運動，過點引直線l1,l2與圓C相切，切點分別為P,Q，則下列選項中

能取到的值有（）

A．2B．22C．23D．25

2

變式27．（2024·江蘇南京·高三統考開學考試）過拋物線y8x上一點P作圓

22

C:x2y1的切線，切點為A、B，則當四邊形PACB的面積最小時，直線AB的方程

為（）

A．2x10B．x10C．2x30D．4x70

【解題方法總結】

過圓222外一點，作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為

xyrP(x0y0)

2

x0xy0yr

過曲線上，，做曲線的切線，只需把2替換為，2替換為，x替換

P(x0y0)xx0xyy0y

xxyy

為0，y替換為0即可，因此可得到上面的結論．

22

題型五：圓上的點到直線距離個數問題

例13．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）若圓C:x2y212x10y250上有

四個不同的點到直線l:3x4yc0的距離為3，則c的取值范圍是（）

A．,17B．17,13C．13,17D．12,18

例14．（2024·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學校考階段練習）圓C：

2

x2y2R2R0上恰好存在2個點，它到直線y3x2的距離為1，則R的一個取

值可能為（）

A．1B．2C．3D．4

例15．（2024·全國·高三專題練習）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等

于1的點至少有2個，則a的取值范圍為()

A．32,32B．,3232,

C．22,22D．,2222,

222

變式28．（2024·全國·高三專題練習）若圓C1:(x1)(y2)r(r0)上恰有2個點到

直線l:4x3y100的距離為1，則實數r的取值范圍為（）

223222

A．(3,5)B．(4,6)C．,D．,6

555

變式29．（1991·全國·高考真題）圓x22xy24y30上到直線xy10的距離為2的

點共有

A．1個B．2個C．3個D．4個

變式30．（2024·全國·高三專題練習）若圓x2y2r2r0上僅有4個點到直線xy20

的距離為1，則實數r的取值范圍為（）

A．21,B．21,21C．0,21D．0,21

【解題方法總結】

臨界法

題型六：直線與圓位置關系中的最值（范圍）問題

22

例16．（2024·湖北·統考模擬預測）已知點P在圓O:xy1運動，若對任意點P，在直

π

線l:xy40上均存在兩點A,B，使得APB恒成立，則線段AB長度的最小值是（）

2

A．21B．21C．221D．422

例17．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯考開學考試）已知圓

22

M:x5y516，點N在直線l:3x4y50上，過點N作直線NP與圓M相切于

點P，則△MNP的周長的最小值為.

例18．（2024·河北石家莊·高三校聯考階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是邊

AB上的一動點，FGEC交EC于點P，且直線FG平分正方形ABCD的周長，當線段BP的

長度最小時，點A到直線BP的距離為.

變式31．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學校考階段練習）直線xy20分別與x

1

軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2(y1)2上，則ABP面積的取值范圍

2

是.

變式32．（2024·上海徐匯·高三上海民辦南模中學校考階段練習）若x2y24，則

22

x2y1x1的最小值為.

變式33．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）已知圓O:x2y2r2與直線

相切，函數過定點P，過點P作圓的兩條互相垂直

3x4y100fxloga2x12O

的弦AC,BD，則四邊形ABCD面積的最大值為.

變式34．（2024·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預測）已知a,b,c是平面內的三個單位

向量，若ab，則a2c3a2b2c的最小值是．

變式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中學校考階段練習）已知

22

M:xy2x2y10，直線l:x2y20,P為l上的動點，過點P作M的切線

PA,PB，切點為A,B，當PMAB最小時，直線AB的方程為.

變式36．（2024·全國·高三專題練習）已知C:(x1)2(y1)23，點A為直線l:y1

上的動點，過點A作直線與C相切于點P，若Q(2,0)，則|AP||AQ|的最小值

為.

變式37．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）若直線l1:xmy20

22

與l2:mxy20(mR)相交于點P，過點P作圓C:(x2)(y2)1的切線，切點為M，

則|PM|的最大值為．

變式38．（2024·河南·高三信陽高中校聯考階段練習）已知函數fxalnx11aR

22

的圖象恒過定點A，圓O:xy4上兩點Px1,y1，Qx2,y2滿足PAAQR，則

2x1y172x2y27的最小值為．

2

變式39．（2024·四川成都·統考模擬預測）已知圓C：x1y29與直線l：

13x1y240(R)交與A，B兩點，當|AB|最小值時，直線l的一般式方程

是.

變式40．（2024·北京西城·高三北京市回民學校校考階段練習）已知圓

C:x2y24x4y40與直線l:kxyk10相交于A,B兩點，則|AB|的最小值是.

變式41．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學校考模擬預測）已知M,N分別是圓

2222

C1:xy4x4y70，圓C2:xy2x0上動點，P是直線xy10上的動點，

則PMPN的最小值為．

變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知實數x，y滿足：(x2)2(y1)21，則

12

xy

的取值范圍是．

變式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中學校考期中）已知Ax1,y1,Bx2,y2是

22π

圓O:xy1上兩點，若AOB，則x1y11x2y21的最大值為.

2

變式44．（2024·廣東廣州·高三廣州市白云中學校考期中）已知P是直線3x4y80上

的動點，PA,PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四

邊形PACB面積的最小值為．

變式45．（2024·全國·高三專題練習）設A2，0，B2，0，O為坐標原點，點P滿足

22

PA|PB|16，若直線kxy60上存在點Q使得PQO，則實數k的取值范圍

6

為（）

，，，

A．4242B．4242

，55，5，5

C．D．

2222

變式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）德國數學家米勒曾提出

最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點A，B是MON的ON邊上的兩個定點，C是

OM邊上的一個動點，當C在何處時，ACB最大？問題的答案是：當且僅當ABC的外接

圓與邊OM相切于點C時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點D，E的坐標分別是0,1，

π

0,m，F是x軸正半軸上的一動點.若DFE的最大值為，則實數m的值為（）

6

1

A．2B．3C．或mD．2或4

m33

變式47．（2024·新疆烏魯木齊·統考三模）已知直線l:x2y40與x軸和y軸分別交于

A，B兩點，以點A為圓心，2為半徑的圓與x軸的交點為M（在點A右側），點P在圓上，

當MBP最大時，△MPB的面積為（）

3648

A．B．8C．2210D．

55

22

變式48．（2024·江西贛州·統考模擬預測）已知圓C：x1y25，圓C是以圓

x2y21上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓C交于A，B兩點，則當ACB最

大時，CC（）

A．1B．2C．3D．2

變式49．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業中學校考期中）已知點P在圓

22

x5y516上，點A4,0，B0,2，則錯誤的是（）

A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2

C．當PBA最小時，PB32D．當PBA最大時，PB32

變式50．（2024·廣東珠海·高二珠海市第一中學校考期末）德國數學家米勒曾提出過如下

的“最大視角原理”：對定點A、B和在直線l上的動點P，當l與△APB的外接圓相切時，

APB最大．若A(0,2)，B(0,8)，P是x軸正半軸上一動點，當P對線段AB的視角最大時，

△APB的外接圓的方程為（）

A．(x4)2(y4)225B．(x4)2(y5)216

C．(x5)2(y4)216D．(x4)2(y5)225

【解題方法總結】

直線上的點與圓上的點的最近或最遠距離問題，這樣的題目往往要轉化為直線上的點與

圓心距離的最近和最遠距離再加減半徑長的問題．

題型七：圓與圓的位置關系

例19．（2024·河南·校聯考模擬預測）已知直線l:xcosysin102π與圓

22

C:x2y54相切，則滿足條件的直線l的條數為（）

A．2B．3C．4D．5

22

例20．（2024·黑龍江大慶·統考三模）已知直線l是圓C:x2y11的切線，并且

點B3,4到直線l的距離是2，這樣的直線l有（）

A．1條B．2條C．3條D．4條

2222

例21．（2024·全國·高三專題練習）已知圓C1：xy2x0，圓C2：x3y14，

則C1與C2的位置關系是（）

A．外切B．內切C．相交D．外離

22

變式51．（2024·全國·高三專題練習）圓C1：xy6x10y20與圓C2：

x2y24x14y40公切線的條數為（）

A．1B．2C．3D．4

222

變式52．（2024·山西·校聯考模擬預測）已知圓C1：xyaaa0的圓心到直

22

線xy20的距離為22，則圓C1與圓C2：xy2x4y40的公切線共有（）

A．0條B．1條C．2條D．3條

變式53．（2024·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知

圓C：x2＋y2－4x＝0及點A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則

點P的個數為（）

A．1B．2C．3D．4

變式54．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知兩點O0,0，A3,4

到直線l的距離分別是1與4，則滿足條件的直線l共有（）

A．1條B．2條C．3條D．4條

變式55．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圓C:(x4)2(y3)24和兩點

A(a,0),B(a,0)(a0)，若圓C上存在點P，使得APB90，則a的最小值為（）

A．6B．5C．4D．3

2222

變式56．（2024·全國·高三專題練習）已知圓C1：x＋y＋4ax＋4a－4＝0和圓C2：x＋

11

y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（）

a2b2

A．3B．8C．4D．9

【解題方法總結】

已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：

r1,r2d

（）兩圓外離；

1r1r2d

（）兩圓外切；

2r1r2d

（）兩圓相交；

3|r1r2|dr1r2

（）兩圓內切