第31頁（共31頁）2024-2025學年下學期高中數學人教A版（2019）高一同步經典題精練之隨機事件與概率一．選擇題（共5小題）1．（2025?市中區校級模擬）為了檢測學生的身體素質指標，從包括游泳類1項，球類3項，田徑類4項的共8項體育項目中隨機抽取4項進行測試，則每類項目都被抽到的概率為（）A．27 B．37 C．57 2．（2024秋?呼和浩特期末）已知一個古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，滿足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，則下列說法正確的是（）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B獨立 C．P(B)=33．（2024秋?浦東新區校級期末）拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的正六面體骰子，記下骰子朝上面的點數用x表示紅色骰子的點數，用y表示綠色骰子的點數，用（x，y）表示一次試驗的結果．定義事件：事件A為“x+y為奇數”，事件B為“xy為奇數”，事件C為“x為奇數”，則下列結論錯誤的是（）A．A與B互斥 B．A與B對立 C．P（C）＝0.5 D．A與C相互獨立4．（2025?秦皇島一模）將顏色為紅、黃、白的3個小球隨機分給甲、乙、丙3個人，每人1個，則與事件“甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球、乙分得紅球”互為對立事件的是（）A．甲分得黃球 B．甲分得白球 C．丙沒有分得白球 D．甲分得白球，乙分得黃球5．（2025?濰坊模擬）從分別標有數字1，2，3，4的4張卡片中有放回地隨機抽取3次，每次取一張，則抽到的3張卡片上的數字之和大于9的概率為（）A．332 B．764 C．532 二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024秋?湖北期末）柜子里有2雙不同的鞋，從中隨機地一次性取出2只，記事件A＝“取出的鞋恰好成一雙鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只腳的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，則下列說法正確的是（）A．該試驗的樣本空間共有6個樣本點 B．事件A與事件C互為對立事件 C．P（B∪C）＝P（A） D．事件B與事件C相互獨立（多選）7．（2024秋?自貢校級期末）已知某籃球運動員共投籃兩次，記事件A＝“第一次投籃投中”，事件B＝“第二次投籃投中”，事件C＝“兩次投籃均投中”，則下列說法正確的是（）A．A，B互為互斥事件 B．A與C互為互斥事件 C．A∪B＝C D．A∪B與（多選）8．（2024秋?廣西期末）甲、乙兩人準備進行一場乒乓球比賽，規定每球交換發球權，通過拋硬幣決定誰先發球．已知兩人在自己發球時得分的概率均為23A．第二次由乙發球的概率為14B．甲先得一分的概率為12C．前兩次發球都由乙得分的概率為13D．前兩次發球甲、乙各得1分的概率為5（多選）9．（2024秋?江西期末）現有編號依次為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子裝有1個紅球和3個白球，2號盒子裝有2個紅球和2個白球，3號盒子裝有4個紅球，這些球除顏色外完全相同．某人先從三個盒子中任取一盒，再從中任意摸出一球，記事件A表示“取得紅球”，事件B表示“取得白球”，事件?i表示“球取自i號盒子”，則（）A．P(A)=12C．P(C1|三．填空題（共3小題）10．（2024秋?遼寧期末）算盤是我國古代一項偉大的發明，是一類重要的計算工具．現有一把初始狀態的算盤如圖所示，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠表示的數的大小等于同組一粒上珠表示的數的大?。纾瑐€位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數字15．現將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件M＝“表示的四位數能被3整除”，N＝“表示的四位數能被5整除”，則P（M∪N）+P（MN）＝．11．（2025?昆明一模）圍棋是世界上最古老的棋類游戲之一．一副圍棋的棋子分黑白兩種顏色，現有6枚黑色棋子和2枚白色棋子隨機排成一行，每枚棋子排在每個位置可能性相等，則兩端是同一色棋子的概率為．12．（2025?南寧模擬）數學中有時會采用十進制以外的進制進行計數，比如二進制，五進制．五進制是“逢五進一”的進制，由數字0，1，2，3，4來表示數值，例如五進制數324轉化成十進制數為3×52+2×51+4＝89．若由數字1，2，3，4組成的五位五進制數，要求1，2，3，4每個數字都要出現，例如12334，則不同的五位五進制數共有個．若從由數字2，3，4（可重復）組成的三位五進制數中隨機取1個，則該數對應的十進制數能被3整除的概率為．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?市北區校級期末）某校高一學生共有500人，年級組長利用數字化學習軟件記錄每位學生每日課后作業完成的時長，期中考試之后統計得到了如下平均作業時長n與學業成績m的數據表：平均作業時長n（單位：小時）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3）[3，3.5）學業成績優秀：90≤m≤10011437435學業成績不優秀：0≤m≤90136137102187（1）試判斷：是否有95%的把握認為學業成績優秀與日均作業時長不小于2小時且小于3小時有關？（2）常用L(B|A)=P(B|A)P(B|A)表示在事件A發生的條件下事件B發生的優勢，在統計中稱為似然比．已知該校高一學生女生中成績優秀的學生占比25%附：χ2=n(ad-bc)214．（2024秋?臺州期末）“石頭、剪刀、布”是我們小時候常玩的游戲，游戲規則如下：①石頭贏剪刀，剪刀贏布，布贏石頭；②兩人游戲時，出相同的手勢為平局；多人游戲時都出相同的手勢或者三種手勢都出現為平局．現有n（n≥3）人玩游戲．（1）分別求3人，4人玩一輪游戲，平局的概率p（3）、p（4）；（2）求n（n≥3）人玩一輪游戲，平局的概率p（n）（結果用n表示）；（3）設當n＝5時，玩2輪游戲，最終決出唯一獲勝者的概率Q．15．（2024秋??？谛＜壠谀﹩雾椷x擇與多項選擇題是數學標準化考試中常見題型，單項選擇一般從A，B，C，D四個選項中選出一個正確答案，其評分標準為全部選對的得5分，選錯的得0分；多項選擇題一般從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中有兩個或三個選項是正確的），其評分標準為全部選對的得6分，部分選對的得部分分（兩個選項選對其中一個的得3分，三個選項選對其中一個的得2分，選對兩個得4分，只要選出錯誤選項的就得0分）．（1）有一道單項選擇題考生甲不會做，他隨機選擇一個選項，求猜對本題并得5分的概率；（2）有一道多項選擇題乙不會做，這道題正確答案為ABD，他便隨機猜寫答案（2個或3個選項），求考生乙本題剛好得4分的概率；（3）現有一道只有兩個正確選項的多項選擇題，根據訓練經驗，考生丙得6分的概率為14，得3分的概率為12；考生丁得6分的概率為16，得3分的概率為13

2024-2025學年下學期高中數學人教A版（2019）高一同步經典題精練之隨機事件與概率參考答案與試題解析題號12345答案BDBCC一．選擇題（共5小題）1．（2025?市中區校級模擬）為了檢測學生的身體素質指標，從包括游泳類1項，球類3項，田徑類4項的共8項體育項目中隨機抽取4項進行測試，則每類項目都被抽到的概率為（）A．27 B．37 C．57 【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】B【分析】由題意，利用古典概型、排列組合求解．【解答】解：從包括游泳類1項，球類3項，田徑類4項的共8項體育項目中隨機抽取4項進行測試，基本事件總數n=C8每類項目都被抽到包含的基本事件個數為m=C1∴每類項目都被抽到的概率為P=m故選：B．【點評】本題考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2．（2024秋?呼和浩特期末）已知一個古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，滿足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，則下列說法正確的是（）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B獨立 C．P(B)=3【考點】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨立性．【專題】轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】D【分析】利用古典概型的計算公式先求出P（A），P（B）和P（A∪B），再由互斥事件、獨立事件和對立事件的性質即可逐項判斷．【解答】解：古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，滿足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，∴P(A)=n(對于A，∵P(AB)=110≠0，∴事件對于B，P(A)P(B)=對于C，P(B)=1-對于D，由P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），得35∴P(AB)=故選：D．【點評】本題考查古典概型、互斥事件、獨立事件和對立事件的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．3．（2024秋?浦東新區校級期末）拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的正六面體骰子，記下骰子朝上面的點數用x表示紅色骰子的點數，用y表示綠色骰子的點數，用（x，y）表示一次試驗的結果．定義事件：事件A為“x+y為奇數”，事件B為“xy為奇數”，事件C為“x為奇數”，則下列結論錯誤的是（）A．A與B互斥 B．A與B對立 C．P（C）＝0.5 D．A與C相互獨立【考點】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】集合思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】B【分析】利用互斥事件的概念判斷選項A；利用對立事件的定義判斷選項B；利用古典概型判斷選項C；利用事件獨立性概念判斷選項D．【解答】解：拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的正六面體骰子，記下骰子朝上面的點數用x表示紅色骰子的點數，用y表示綠色骰子的點數，用（x，y）表示一次試驗的結果，定義事件：事件A為“x+y為奇數”，事件B為“xy為奇數”，事件C為“x為奇數”，由題可得，樣本空間為：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36個樣本點，其中A＝{（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4）（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3）（6，5）}，共包含18個樣本點，B＝{（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3）（5，5）}，共包含9個樣本點，C＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）（5，6）}，共有18個樣本點，對于A，若x+y為奇數，則x，y一個為奇數，一個為偶數，若xy為奇數，則x，y都為奇數，∴事件A和事件B不能同時發生，∴事件A與事件B是互斥事件，故A正確；對于B，事件A與事件B不能同時發生，但能同時不發生，例如x＝2，y＝2，∴事件A與事件B是互斥但不對立事件，故B錯誤；對于C，P(C)=對于D，AC＝{（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）}，∴P(∵P(A)=1836=12，P(C)=∴A與C相互獨立，故D正確．故選：B．【點評】本題考查古典概型、列舉法、相互獨立事件的定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4．（2025?秦皇島一模）將顏色為紅、黃、白的3個小球隨機分給甲、乙、丙3個人，每人1個，則與事件“甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球、乙分得紅球”互為對立事件的是（）A．甲分得黃球 B．甲分得白球 C．丙沒有分得白球 D．甲分得白球，乙分得黃球【考點】事件的互為對立及對立事件．【專題】對應思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解．【答案】C【分析】由對立事件的概念即可得解．【解答】解：甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球，乙分得紅球，即丙分得白球，與丙沒有分得白球互為對立事件．故選：C．【點評】本題考查了對立事件的概念，屬于基礎題．5．（2025?濰坊模擬）從分別標有數字1，2，3，4的4張卡片中有放回地隨機抽取3次，每次取一張，則抽到的3張卡片上的數字之和大于9的概率為（）A．332 B．764 C．532 【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】集合思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】C【分析】根據古典概型、列舉法能求出抽到的3張卡片上的數字之和大于9的概率．【解答】解：從分別標有數字1，2，3，4的4張卡片中有放回地隨機抽取3次的所有情況有4×4×4＝64種，抽到的3張卡片上的數字之和大于9的情況有：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3），（2，4，4），（4，2，4），（4，4，2），（3，4，4），（4，3，4），（4，4，3），∴抽到的3張卡片上的數字之和大于9的概率為P=10故選：C．【點評】本題考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024秋?湖北期末）柜子里有2雙不同的鞋，從中隨機地一次性取出2只，記事件A＝“取出的鞋恰好成一雙鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只腳的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，則下列說法正確的是（）A．該試驗的樣本空間共有6個樣本點 B．事件A與事件C互為對立事件 C．P（B∪C）＝P（A） D．事件B與事件C相互獨立【考點】對立事件的概率關系及計算．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統計；數學抽象．【答案】AC【分析】根據題意，列舉樣本空間Ω以及A、B、C，由此分析選項是否正確，綜合可得答案．【解答】解：根據題意，用A、B和a、b表示同一雙鞋，其A、a表示左腳的鞋，B、b表示右腳的鞋，則Ω＝{AB，ab，Aa，Bb，Ab，aB}，則A＝{AB，ab}，B＝{Aa，Bb}，C＝{Ab，aB}，依次分析選項：對于A，該試驗的樣本空間共有6個樣本點，A正確；對于B，事件A、C可能都不發生，不是對立事件，B錯誤；對于C，B∪C=A={Aa，Bb，Ab，aB}，故P（B∪C）＝P（A），對于D，BC＝?，則P（BC）＝0，而P（B）＝P（C）=1則P（BC）≠P（B）P（C），事件B與事件C不相互獨立，D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查相互獨立事件、對立事件的判斷，涉及古典概型的計算，屬于基礎題．（多選）7．（2024秋?自貢校級期末）已知某籃球運動員共投籃兩次，記事件A＝“第一次投籃投中”，事件B＝“第二次投籃投中”，事件C＝“兩次投籃均投中”，則下列說法正確的是（）A．A，B互為互斥事件 B．A與C互為互斥事件 C．A∪B＝C D．A∪B與【考點】互斥事件與對立事件．【專題】轉化思想；轉化法；概率與統計；運算求解．【答案】BD【分析】根據已知條件，結合對立事件、互斥事件的定義，即可求解．【解答】解：事件A＝“第一次投籃投中”，事件B＝“第二次投籃投中”，事件C＝“兩次投籃均投中”，A，B兩個事件可以同時發生，故A錯誤；A與C不可能同時發生，故B正確；C為A，B的交事件，故C錯誤；A∪B對應的事件是第一次投籃未投中或第二次投籃未投中，故A∪B與故選：BD．【點評】本題主要考查對立事件、互斥事件的定義，屬于基礎題．（多選）8．（2024秋?廣西期末）甲、乙兩人準備進行一場乒乓球比賽，規定每球交換發球權，通過拋硬幣決定誰先發球．已知兩人在自己發球時得分的概率均為23A．第二次由乙發球的概率為14B．甲先得一分的概率為12C．前兩次發球都由乙得分的概率為13D．前兩次發球甲、乙各得1分的概率為5【考點】概率的應用；相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】BD【分析】A直接判斷，BC根據獨立事件，互斥事件同時發生的概率公式即可求解，D根據對立事件的概率公式求解．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，通過拋硬幣決定誰先發球，第一次甲、乙發球的概率都是12若第一次由甲發球，則第二次由乙發球，反之，第二次由甲發球故第二次由乙發球的概率為12，故A對于B，若甲先發球，甲先得一分的概率P1=1若乙先發球，甲先得一分的概率P2=1故甲先得一分的概率P＝P1+P2=12×對于C，前兩次發球都由乙得分的概率為12×2對于D，前兩次發球都由甲得分的概率為12則前兩次發球甲、乙各得一分的概率為1-29故選：BD．【點評】本題考查互斥事件、相互獨立事件的概率計算，注意分析事件之間的關系，屬于基礎題．（多選）9．（2024秋?江西期末）現有編號依次為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子裝有1個紅球和3個白球，2號盒子裝有2個紅球和2個白球，3號盒子裝有4個紅球，這些球除顏色外完全相同．某人先從三個盒子中任取一盒，再從中任意摸出一球，記事件A表示“取得紅球”，事件B表示“取得白球”，事件?i表示“球取自i號盒子”，則（）A．P(A)=12C．P(C1|【考點】概率的應用；求解條件概率．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】BCD【分析】根據題意，由全概率公式分析A，由對立事件的性質分析B，由貝葉斯公式分析C、D，綜合可得答案．【解答】解：根據題意，P（C1）＝P（C2）＝P（C3）=1P（A|C1）=14，P（A|C2）=24=12，P（依次分析選項：對于A，P（A）＝P（C1）P（A|C1）+P（C2）P（A|C2）+P（C1）P（A|C2）=13×14對于B，由于P（A）=712，則P（B）＝1﹣P（A）=5對于C，P（AC1）＝P（C1）P（A|C1）=1則P（C1|A）=P(A對于D，P（BC2）＝P（C2）P（B|C2）=1P（C2|B）=P(B故選：BCD．【點評】本題考查條件概率、全概率公式的計算，涉及古典概型的計算，屬于基礎題．三．填空題（共3小題）10．（2024秋?遼寧期末）算盤是我國古代一項偉大的發明，是一類重要的計算工具．現有一把初始狀態的算盤如圖所示，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠表示的數的大小等于同組一粒上珠表示的數的大小．例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數字15．現將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件M＝“表示的四位數能被3整除”，N＝“表示的四位數能被5整除”，則P（M∪N）+P（MN）＝78【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】轉化思想；綜合法；概率與統計；邏輯思維；運算求解．【答案】78【分析】利用古典概型的概率公式計算出P（M）、P（N），即可求出P（M∪N）+P（MN）的值．【解答】解：將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件M＝“表示的四位數能被3整除”，N＝“表示的四位數能被5整除”，∵只撥動一粒珠子至梁上，∴數字只表示1或5，∵個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，∴所得的四位數的個數為24＝16個，能被3整除的四位數，數字1和5各出現2個，這樣的四位數有：1155、1515、1551、5511、5115、5151，共6個，∴P(能被5整除的四位數，個位數為5，則這樣的四位數為：1115、1155、1515、1555、5555、5115、5155、5515，共8個，∴P(∴P(故答案為：78【點評】本題考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．11．（2025?昆明一模）圍棋是世界上最古老的棋類游戲之一．一副圍棋的棋子分黑白兩種顏色，現有6枚黑色棋子和2枚白色棋子隨機排成一行，每枚棋子排在每個位置可能性相等，則兩端是同一色棋子的概率為47【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】47【分析】計算兩端棋子顏色不同的概率，再使用對立事件概率的性質即可．【解答】解：現有6枚黑色棋子和2枚白色棋子隨機排成一行，每枚棋子排在每個位置可能性相等，若兩端的棋子顏色不同，則兩端的棋子的顏色分布有2種可能，中間的棋子的顏色分布有C6∴兩端棋子顏色不同的概率為2×6C∴兩端是同色棋子的概率為p=1故答案為：47【點評】本題考查古典概型、對立事件概率的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．12．（2025?南寧模擬）數學中有時會采用十進制以外的進制進行計數，比如二進制，五進制．五進制是“逢五進一”的進制，由數字0，1，2，3，4來表示數值，例如五進制數324轉化成十進制數為3×52+2×51+4＝89．若由數字1，2，3，4組成的五位五進制數，要求1，2，3，4每個數字都要出現，例如12334，則不同的五位五進制數共有240個．若從由數字2，3，4（可重復）組成的三位五進制數中隨機取1個，則該數對應的十進制數能被3整除的概率為13【考點】古典概型及其概率計算公式；簡單排列問題．【專題】轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】240；13【分析】應用分步計數，結合排列組合數求數字1，2，3，4組成的五位五進制數的個數，設2，3，4構成的三位五進制數從左到右的數字分別為a，b，c，根據52a+5b+c＝24a+3b+（a+2b+c），將問題化為a+2b+c能被3整除，結合a+2b+c∈[8，16]進行分類討論求五進制數的個數，最后求其概率．【解答】解：由數字1，2，3，4組成的五位五進制數，要求1，2，3，4每個數字都出現，則需先從1，2，3，4中選取一個數字作為重復出現的數字，有C4再將不重復出現的3個數字從五個位置中選3個進行排列，有A5最后剩余兩個位置排重復數字，根據分步計數原理，則所求不同的五位五進制數共有C41數字2，3，4組成的三位五進制數總共有33＝27個，設這個三位五進制數從左到右的數字分別為a，b，c，轉化成十進制數后此數為52a+5b+c＝25a+5b+c＝24a+3b+（a+2b+c），此數能被3整除等價于a+2b+c能被3整除，因為a+2b+c∈[8，16]，所以能被3整除的只有9，12，15三種情況，若a+2b+c＝9，則（a，b，c）的取值有（2，2，3）、（3，2，2）兩種，若a+2b+c＝12，則（a，b，c）的取值有（2，4，2）、（2，3，4）、（4，3，2）、（3，3，3）、（4，2，4）五種，若a+2b+c＝15，則（a，b，c）的取值有（4，4，3）、（3，4，4）兩種，則能被3整除的數共有2+5+2＝9個，根據古典概率公式，所求概率為927故答案為：240，13【點評】本題考查排列組合的應用，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?市北區校級期末）某校高一學生共有500人，年級組長利用數字化學習軟件記錄每位學生每日課后作業完成的時長，期中考試之后統計得到了如下平均作業時長n與學業成績m的數據表：平均作業時長n（單位：小時）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3）[3，3.5）學業成績優秀：90≤m≤10011437435學業成績不優秀：0≤m≤90136137102187（1）試判斷：是否有95%的把握認為學業成績優秀與日均作業時長不小于2小時且小于3小時有關？（2）常用L(B|A)=P(B|A)P(B|A)表示在事件A發生的條件下事件B發生的優勢，在統計中稱為似然比．已知該校高一學生女生中成績優秀的學生占比25%附：χ2=n(ad-bc)2【考點】概率的應用；求解條件概率；獨立性檢驗．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】（1）有把握；（2）P（A）＝0.6．【分析】（1）完善2×2列聯表，計算χ2的觀測值并與臨界值比對即可得解．（2）設P（A）＝x，根據給定條件，利用條件概率公式、結合互斥事件的加法公式列出方程求解．【解答】解：（1）根據題意，可得2×2列聯表如下：時長n2≤n＜3其他總計優秀8020100不優秀120280400總計200300500χ2所以有95%的把握認為學業成績優秀與日均作業時長不小于2小時且小于3小時有關；（2）根據題意，設P（A）＝x，則選到的學生為女生的概率P（A）＝1﹣x，已知該校高一學生女生中成績優秀的學生占比25%，則P(則有P（B∩A）＝P（B|A）P（A）＝0.25P（A）＝0.25（1﹣x），而P（B）＝P（B∩A）+P（B∩A）＝0.2，則P（A∩B）＝0.25x﹣0.05．又L（B|A）=P(B|A)P(B|A)=0.2，則有即P(A∩B)P(A)=0.2×P(B∩而P（A）＝P（A∩B）+P（B∩A）＝x，則有P（A∩B）=x又由P（A∩B）＝0.25x﹣0.05．則有0.25x-0.05=x6，得x＝0.6，所以P【點評】本題考查條件概率的計算和的應用，涉及獨立性檢驗的應用，屬于中檔題．14．（2024秋?臺州期末）“石頭、剪刀、布”是我們小時候常玩的游戲，游戲規則如下：①石頭贏剪刀，剪刀贏布，布贏石頭；②兩人游戲時，出相同的手勢為平局；多人游戲時都出相同的手勢或者三種手勢都出現為平局．現有n（n≥3）人玩游戲．（1）分別求3人，4人玩一輪游戲，平局的概率p（3）、p（4）；（2）求n（n≥3）人玩一輪游戲，平局的概率p（n）（結果用n表示）；（3）設當n＝5時，玩2輪游戲，最終決出唯一獲勝者的概率Q．【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】（1）p(3)=13（2）1-（3）125729【分析】（1）應用古典概型及排列數組合數公式計算即可；（2）應用古典概型及對立事件概率公式計算即可；（3）應用古典概型，獨立事件概率乘積公式及互斥事件概率和公式計算即可；【解答】解：（1）“石頭、剪刀、布”游戲中，石頭贏剪刀，剪刀贏布，布贏石頭，3人玩一輪游戲，平局的概率為p(3)=4人玩一輪游戲，平局的概率為p(4)=（2）∵平局的情況比較多，∴考慮n人玩游戲分出勝負的概率P，P=其中C32表示分出勝負的三種情況，即n人只出了①石頭，剪刀；②石頭，布；而分出勝負與平局是對立事件，故n（n≥3）人玩一輪游戲，平局的概率p（n）=P（3）由于5人玩2輪游戲，最終決出唯一獲勝者，情形一：第一輪平局，第二輪決出唯一獲勝者，此時P1情形二：第一輪淘汰1位游戲者，第二輪淘汰3位游戲者，決出唯一獲勝者，此時P2情形三：第一輪淘汰2位游戲者，第二輪淘汰2位游戲者，決出唯一獲勝者此時P3情形四：第一輪淘汰3位游戲者，第二輪淘汰1位游戲者，決出唯一獲勝者，此時P4綜上所述：Q=【點評】本題考查古典概型及排列數組合數公式、對立事件概率公式、獨立事件概率乘積公式及互斥事件概率和公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．15．（2024秋?海口校級期末）單項選擇與多項選擇題是數學標準化考試中常見題型，單項選擇一般從A，B，C，D四個選項中選出一個正確答案，其評分標準為全部選對的得5分，選錯的得0分；多項選擇題一般從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中有兩個或三個選項是正確的），其評分標準為全部選對的得6分，部分選對的得部分分（兩個選項選對其中一個的得3分，三個選項選對其中一個的得2分，選對兩個得4分，只要選出錯誤選項的就得0分）．（1）有一道單項選擇題考生甲不會做，他隨機選擇一個選項，求猜對本題并得5分的概率；（2）有一道多項選擇題乙不會做，這道題正確答案為ABD，他便隨機猜寫答案（2個或3個選項），求考生乙本題剛好得4分的概率；（3）現有一道只有兩個正確選項的多項選擇題，根據訓練經驗，考生丙得6分的概率為14，得3分的概率為12；考生丁得6分的概率為16，得3分的概率為13【考點】概率的應用；相互獨立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率計算公式．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】（1）14（2）310（3）13【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）利用列舉法可得共有10個樣本點，“猜對本題得4分”，有3個樣本點，利用古典概型的概率公式求解；（3）分丙得0分丁得6分；丙得3分丁得3分；丙得6分丁得0分三種情況，利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解．【解答】解：（1）根據題意，考生甲隨機選擇一個選項，其樣本空間Ω＝{A，B，C，D}，有4個樣本點，設M＝“考生甲猜對本題得5分”，有1個樣本點，則P(（2）根據題意，乙隨機猜寫答案，其樣本空間Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD}，共有10個樣本點，設N＝“考生乙本題剛好得4分”，N＝{AB，AD，BD}，有3個樣本點，故P(（3）記丙得i分的事件為Xi，丁得j分為Yj，其中i、j∈{0，3，6}，由題意P(P(記丙丁兩位考生總分剛好6分的事件為E，易知E＝X6Y0+X3Y3+X0Y6，由題意P（E）＝P（X6Y0+X3Y3+X0Y6）＝P（X6Y0）+P（X3Y3）+P（X0Y6）=P【點評】本題考查互斥事件、古典概型的計算，涉及樣本空間、樣本點的列舉，屬于基礎題．

考點卡片1．互斥事件與對立事件【知識點的認識】1．互斥事件（1）定義：一次試驗中，事件A和事件B不能同時發生，則這兩個不能同時發生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個都不可能同時發生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發生（即A1，A2，…，An中有一個發生）的概率等于這n個事件分別發生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對立事件（1）定義：一次試驗中，兩個事件中必有一個發生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件記做A．注：①兩個對立事件必是互斥事件，但兩個互斥事件不一定是對立事件；②在一次試驗中，事件A與A只發生其中之一，并且必然發生其中之一．（2）對立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對立事件的區別和聯系互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生．因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對知識點概念的掌握例1：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個黑球”與“至少有1個紅球”D．“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”分析：列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可解答：對于A：事件：“至少有一個紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個事件是對立事件，∴A不正確對于B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發生，如：一個紅球一個黑球，∴B不正確對于C：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有1個紅球”可以同時發生，如：一個紅球一個黑球，∴C不正確對于D：事件：“恰有一個黑球”與“恰有2個黑球”不能同時發生，∴這兩個事件是互斥事件，又由從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，得到所有事件為“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”以及“恰有2個紅球”三種情況，故這兩個事件是不是對立事件，∴D正確故選D點評：本題考查互斥事件與對立事件．首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事件的聯系與區別．同時要能夠準確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題．例2：下列說法正確的是（）A．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率大D．事件A，B同時發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率?。治觯焊鶕α⑹录突コ馐录母怕?，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，這兩者之間的關系是一個包含關系．解答：根據對立事件和互斥事件的概念，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，故選B．點評：本題考查互斥事件與對立事件之間的關系，這是一個概念辨析問題，這種題目不用運算，只要理解兩個事件之間的關系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13分析：記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案為：5點評：本題主要考查互斥事件的關系，不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計算中的應用．3．對立事件概率公式的應用例：若事件A與B是互為對立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據對立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因為對立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點評：本題主要考查對立事件的定義，屬于基礎題．2．事件的互斥（互不相容）及互斥事件【知識點的認識】一般地，如果事件A與事件B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）．【解題方法點撥】﹣判斷兩個事件是否互斥，即它們的交是否為空．【命題方向】．；﹣常用于考察事件是否互斥的問題．3．事件的互為對立及對立事件【知識點的認識】﹣對立事件：事件A的對立事件是指A不發生的情況，記作A．﹣互為對立：如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，兩個事件A和B互為對立當且僅當A∪B=【解題方法點撥】﹣使用對立事件的概率關系P(﹣判斷兩個事件是否互為對立，通常檢查它們的并集是否為樣本空間，交集是否為空．【命題方向】﹣主要考察對立事件的概率計算及事件的補集概念．4．互斥事件的概率加法公式【知識點的認識】互斥事件的概率加法公式：在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，則有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發生（即A1，A2，…，An中有一個發生）的概率等于這n個事件分別發生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）5．對立事件的概率關系及計算【知識點的認識】﹣對立事件的概率關系是P(【解題方法點撥】﹣利用對立事件的公式計算對立事件的概率．【命題方向】﹣主要考察對立事件概率計算的問題，適用于概率計算的補集部分．6．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現的結果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現的結果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數n與事件A中所包含的基本事件數．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數n與所求事件A中所包含的基本事件個數m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．7．概率的應用【知識點的認識】概率相關知識梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發生的概率的估計值．2．古典概率計算公式：P（A）＝．集合的觀點：設試驗的基本事件總數構成集合I，事件A包含的事件數構成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗的結果只有一個基本事件出現；（2）試驗結果具有有限性；（3）試驗結果出現等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個隨機試驗中，一次試驗中不可能同時發生的兩個事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對立事件：在一個隨機試驗中，一次試驗中兩個事件A，B不會同時發生，但必有一個事件發生，這樣的兩個事件稱為對立事件．記作：B=A，由對立事件定義知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件與對立事件的關系：對立必互斥，互斥未必對立．用集合的觀點分析對立事件與互斥事件：設兩個互斥事件A，B包含的所有結果構成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設兩個對立事件A，A包含的所有結果構成的集合為A，A，A∩A=?，A∪A=則注：若A1，A2，…，An任意兩個事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區域（集合）G內投擲點M，若點M落在子區域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計算公式：幾何概型的特征：（1）試驗的結果有無限個（無限性）；（2）試驗的結果出現等可能性．注：幾何概型中的區域可以是長度、面積、體積等．三、條件概率與獨立事件1．條件概率的定義：對于任何兩個事件A，B，在已知事件B發生的條件下事件A發生的概率稱為事件B發生時事件A發生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發生時事件B發生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時發生所構成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B發生的條件下”的概率與沒有事件B發生時的概率是不同的．（2）對于兩個事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發生不影響事件A發生的概率．此時事件A，B是相互獨立的兩個事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0?P（AB）＝故當兩個事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨立，同時A與B，A與B，A與B也相互獨立．四、二項分布、超幾何分布、正態分布1．二項分布：（1）n次獨立重復試驗的概念：在相同的條件下，重復做n次試驗，各次試驗的結果相互獨立．n次獨立重復試驗的特征：①每次試驗的條件相同，某一事件發生的概率不變；②各次試驗的結果互不影響，且每次試驗只有兩個結果發生或不發生．（2）二項分步概率計算公式：一般地，在一次試驗中某事件發生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率為，若隨機變量由此式確定，則X服從參數n，p的二項分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設有N件產品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產品中任取n件產品，用X表示取出的n件產品中含有的次品的個數，則，（k為非負整數），若隨機變量由此式確定，則X服從參數N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機變量X取某一個值的概率就是求這一事件發生的次數與總次數的商．3．正態分布：（1）正態曲線：函數f（x）=12πσe-(x（2）若隨機變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數，則η也是隨機變量．（3）連續型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續性隨機變量的結果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機變量的期望數學期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數學期望，簡稱期望．數學期望的意義：數學期望離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個性質：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．5、離散型隨機變量的方差；方差：對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機