7.1.1平面向量的定義江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊(cè)）問(wèn)題探究

如圖7-1，小明在400米運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上的點(diǎn)

A

(1道)處出發(fā)，沿跑道跑完

200米到達(dá)終點(diǎn)B處．（1）小明所經(jīng)過(guò)的路程是多少？發(fā)生的位移是什么？（2）小明從點(diǎn)B出發(fā)按逆時(shí)針?lè)较蜓嘏艿琅芰?00米，經(jīng)過(guò)的路程是

多少？位移是什么？（3）位移和路程這兩個(gè)量有什么差別？圖7-1抽象概括1．平面向量的定義在數(shù)學(xué)中，把既有大小又有方向的量稱(chēng)為向量(也

稱(chēng)為矢量).上面提到的力、速度、位移等都是向量．抽象概括一般地，用一條有向線(xiàn)段來(lái)表示向量.有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量（如圖7-2(1)),記為.向量也可以用小寫(xiě)黑體字母表示，如

、

、

等(如圖7-2(2)),手寫(xiě)時(shí)寫(xiě)成帶箭頭的小寫(xiě)字母，如

，

，

等.

（1）

（2）

圖7－2抽象概括向量的大小稱(chēng)為向量的模(或稱(chēng)為向量的長(zhǎng)度).向量

的模記作

;的模記作,手寫(xiě)時(shí)可以寫(xiě)成.向量的模是一個(gè)數(shù)量，是非負(fù)實(shí)數(shù)．長(zhǎng)度為0的向量稱(chēng)為零向量，記作0．零向量的模為0，

方向?yàn)槿我夥较?長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量稱(chēng)為單位向量，記作

.例題講析例1：如圖7-3所示,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度.

以A、B、C中的一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)，可

以構(gòu)成哪些向量？用有向線(xiàn)段表示這些向量，并求出

它們的模.圖7-3例題講析例2:如圖7-5，在

中，AB=2,BC=1,其所有的

邊能構(gòu)成哪些向量？這些向量的模分別是多少？圖7－5合作交流（1）你能舉出一些向量的例子嗎？（2）零向量有什么特點(diǎn)？（3）

與

的大小和方向有什么關(guān)系？思維拓展

在如圖7-5所示的（1）向量

與向量

有什么關(guān)系？滿(mǎn)足這樣關(guān)系的向量還有哪些？

（2）向量

與向量

有什么關(guān)系？滿(mǎn)足這樣關(guān)系的向量還有哪些？圖7－5課堂練習(xí)1.判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由．(1)大小和方向是確定向量的兩個(gè)要素．(2)向量的模表示了向量的大?。?3)零向量是一個(gè)向量,所以它的方向是確定的．(4)零向量的長(zhǎng)度不確定．(5)單位向量沒(méi)有方向．(6)因?yàn)?(7)單位向量都相等.

(8)0和0相等.課堂練習(xí)2.

如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度.以

點(diǎn)A、B、C、D中的一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)，

可以構(gòu)成哪些向量？畫(huà)出這些向量并求出它們的模.(第2題)課堂小結(jié)1.平面向量的定義及其表示.2.平面向量的模的定義及其表示.3.零向量、單位向量的定義及其表示.

7.1.2相等向量、相反向量與平行向量江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊(cè)）問(wèn)題探究圖7-6中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，觀察向量

與

，它們之間有什么關(guān)系？

與

呢？

與

呢？怎樣來(lái)刻畫(huà)它們之間的關(guān)系呢？圖7-6FE抽象概括1．相等向量

在數(shù)學(xué)中，長(zhǎng)度相等且方向相同的向量稱(chēng)為相等向量

（或同一向量).向量

與

相等時(shí)，記為=2．相反向量

在數(shù)學(xué)中，長(zhǎng)度相等且方向相的向量稱(chēng)為相等向量.

向量

與

相等時(shí)，記為=-抽象概括3．平行向量

在數(shù)學(xué)中,如果兩個(gè)非零向量方向相同或相反,就說(shuō)這兩

個(gè)向量互相平行,這兩個(gè)向量稱(chēng)為平行向量(或共線(xiàn)向量）

（圖7-7).當(dāng)向量

與

平行時(shí),記為：

∥

圖7-7規(guī)定:零向量與任何向量平行,即對(duì)于任意向量,0∥例題講析

圖7-8例3：如圖7-8所示，在4×5方格紙中有一個(gè)向量,分別以

圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，其中與

相等的向

量有多少個(gè)？例題講析例4：如圖7-10,設(shè)

是正六邊形

的中心，在以

中任意一點(diǎn)為起點(diǎn),另一點(diǎn)為終點(diǎn)

的向量中,找出與

相等的向量、相反的向量、平

行的向量．

圖7-10合作交流(1)相等向量是平行向量嗎？相反向量呢？

(2)任何一組平行向量是否都可以平移到一條直線(xiàn)上？課堂練習(xí)1.

圖中3×4方格紙中有一個(gè)向量,分別以圖中的格點(diǎn)為

起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，其中與

相等的向量有多少個(gè)？（第1題）2.如圖,四邊形

為菱形，

相交于點(diǎn)

,在以

中任意一點(diǎn)為起點(diǎn),另一點(diǎn)為終點(diǎn)的向量中找出與

、

相等的

向量、相反的向量、平行的向量.（第2題）課堂練習(xí)3.

物體從點(diǎn)Ａ出發(fā),先向東移動(dòng)3米到達(dá)點(diǎn)B,然后向南移動(dòng)4米到點(diǎn)C.（1）試用向量表示該物體的這兩次位移；（2）如果物體從點(diǎn)Ａ出發(fā)向南移動(dòng)4米到點(diǎn)D，

能否說(shuō)

與

相等？為什么？課堂小結(jié)1.相等向量的概念及其表示.2.相反向量的概念及其表示.3.平行（共線(xiàn)）向量的概念及表示.7.2.1向量加法的三角形法則江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊(cè)）問(wèn)題探究如圖7-11所示,在實(shí)現(xiàn)上海與臺(tái)北直航前,由上海（點(diǎn)A）到臺(tái)北(點(diǎn)C),需先經(jīng)香港(點(diǎn)B),再到臺(tái)北,位移是由A到B,再由B到C;實(shí)現(xiàn)直航后由上海直接到臺(tái)北,位移是由A到C．(1)在圖中用向量表示每一次的位移．(2)飛機(jī)由上海飛往至香港，再由香港飛至臺(tái)北位移的結(jié)果與飛

機(jī)直接由上海飛至臺(tái)北的位移結(jié)果相同嗎？抽象概括一般地，對(duì)已知向量

和,如圖7-12所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作

，,則向量

稱(chēng)為

與

的和(或和向量)，記作.即求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱(chēng)為向量的加法．

圖7－12抽象概括根據(jù)向量的加法定義，將兩個(gè)向量依次首尾順次相接，

則兩個(gè)向量的和向量即為以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，

以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量,這種和向量的方法，稱(chēng)為向量加法的三角形法則．對(duì)于任一向量,有,.向量的加法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，即

例題講析

圖7-13例1：如圖7-13所示，已知向量

，,向量的三角形法則

作和向量

.（1）

（2）例題講析圖7-15例2：如圖7-15所示，已知兩個(gè)共線(xiàn)向量

，,用三角形法則

作和向量

.（1）

（2）合作交流如果平面內(nèi)有

個(gè)向量依次首尾連接組成一條封閉折線(xiàn)，那么這

個(gè)向量的和是什么？思維拓展周未早晨,小明騎車(chē)從家(A點(diǎn))出發(fā),先去拉面館(B點(diǎn))吃了早飯,再到鴨血粉絲湯店(C點(diǎn))給父母買(mǎi)了兩籠包子,接著去超市(D點(diǎn))買(mǎi)了一袋米后,回到家中（如圖7-17）.(1)在圖中用向量表示小明活動(dòng)的位移.(2)這些向量的和是什么？圖7-17課堂練習(xí)第(1)題1.如圖，已知向量

，,作出.

（1）

（2）課堂練習(xí)

第(2)題2.如圖，已知向量

，,作出.

（1）

（2）課堂練習(xí)3.如圖,已知四邊形

為平行四邊形,填空．（第3題）課堂小結(jié)1.向量加法的定義.2.向量加法的三角形法則，能用三角形法則求作兩個(gè)向量的和向量.3.向量加法滿(mǎn)足的運(yùn)算律.

4.能用代數(shù)式表示兩個(gè)向量的加法運(yùn)算.

7.2.2向量加法的平行四邊形法則江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊(cè)）問(wèn)題探究

小明從家O點(diǎn)出發(fā)到學(xué)校B點(diǎn)，周邊的道路如圖7-18所示，

四點(diǎn)O、A、B、C

構(gòu)成?OABC．(1)如果向量

=,向量

=,與向量,

分別相等的向量有哪些？(2)根據(jù)向量加法的三角形法則，向量

與向量

的和向量

是圖中的哪個(gè)向量？（3）

，

，

之間位置關(guān)系如何？圖7-18抽象概括圖7-18表明，對(duì)于兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量

，,還可以作平行四邊形來(lái)求兩個(gè)向量的和，以任意點(diǎn)0為起點(diǎn)分別作,以

為鄰邊作平行四邊形

，則向量

就是向量

與

的和.這種求兩個(gè)向量和的方法稱(chēng)為向量加法的平行四邊形法則．圖7-18例題講析

圖7-19例3：如圖7-19所示，已知向量

，,用平行四邊形法則

求作和向量

.合作交流向量加法的平行四邊形法則與三角形法則有怎樣的關(guān)系?思維拓展圖7-21利用平行四邊形法則可以解決物理學(xué)中求合力的問(wèn)題.如圖7-21,一張拉緊的弓箭,受到兩個(gè)方向的力F1，F(xiàn)2,最終形成合力F,使箭向耙心飛行,把F1+F2記

作合力F.1.用平行四邊形法則作出弓箭所受兩個(gè)方向的力F1，F(xiàn)2的合力F的示意圖.2.如果力F1，F(xiàn)2的大小分別為100N，它們的夾角為90°,那么它們的合力F

的大小是多少？

（1）

（2）課堂練習(xí)第(1)題1.如圖，已知向量

，,用平行四邊形法則求作向量.

（1）

（2）課堂練習(xí)

第(2)題2.如圖,已知四邊形

為平行四邊形，則：

課堂練習(xí)3.如圖,為正六邊形

的中心，則：（第3題）課堂小結(jié)1.向量加法的平行四邊形法則.2.會(huì)用平行四邊形法則作出兩個(gè)向量的和向量.3.能用代數(shù)式表示兩個(gè)向量的加法運(yùn)算.

7.2.3向量的減法江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊(cè)）問(wèn)題探究

如圖7-22所示，在長(zhǎng)江南岸某渡口A處，江水以6km/h的

速度向東流，小船以8km/h的速度垂直駛過(guò)長(zhǎng)江到達(dá)渡口

C處.

（1）

小船的靜水速度是多少？

（2）

小船的航向如何確定？

（3）

試用水流速度和小船實(shí)際速度來(lái)表示小船的靜水速度.圖7-22抽象概括一般地,已知向量

，，如圖7-23,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作

=,，由向量求和的三角形法則,得

+

=

.

向量叫做向量與的差,記作,即

=

=

.圖7-23求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，稱(chēng)為向量的減法.抽象概括向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.即-=+(-)當(dāng)向量

，

的起點(diǎn)相同時(shí),兩個(gè)向量的差-是減向量

的終點(diǎn)到被減向量

的終點(diǎn)的向量.例題講析

圖7-24例4：如圖7-24所示，已知向量,求作向量,.例題講析

圖7-26例5：如圖7-26所示，在?ABCD，

，

，

用

、

分別表示合作交流試畫(huà)圖說(shuō)明=+(-)課堂練習(xí)

第(1)題1.如圖，已知向量

，

共線(xiàn)，求作向量.

（1）

（2）課堂練習(xí)

第(2)題2.如圖，已知向量

，

不共線(xiàn)，求作向量.

（1）

（2）課堂練習(xí)3.填空課堂練習(xí)4．如圖，在矩形ABCD中,已知=,,在圖中畫(huà)出向

量

與.（第4題）課堂小結(jié)1.向量減法的定義.2.向量減法的三角形法則，能用三角形法則求作兩個(gè)向量的差向量.3.能用代數(shù)式表示兩個(gè)向量的減法運(yùn)算.

7.2.4向量的數(shù)乘運(yùn)算江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊(cè)）問(wèn)題探究

如圖7-27所示，某質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)向東做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),其１s內(nèi)的

位移所對(duì)應(yīng)向量用

表示.

（1）如何用向量表示該點(diǎn)在3s時(shí)的位移？

（2）該向量的大小、方向與向量

有什么關(guān)系？

（3）如果質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)向西以相同的速率做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),

試回答(1)(2)中的問(wèn)題.

（4）質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)向東或向西在3s時(shí)的位移還有其他表示形式嗎？抽象概括一般地，實(shí)數(shù)

與向量

的積仍是一個(gè)向量,記作

，

它的長(zhǎng)度和方向有如下規(guī)定：(1)(2)當(dāng)

時(shí)，

與

方向相同;當(dāng)

時(shí)，

與

方向相反;

當(dāng)

時(shí)，.

實(shí)數(shù)

與向量

的乘法運(yùn)算，叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算．抽象概括可以驗(yàn)證,對(duì)于任意向量

、

及任意實(shí)數(shù),向量數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足如下法則：例題講析

圖7-30例6：如圖7-30所示,已知向量

和向量,求作向量

例題講析例7：計(jì)算：合作交流1.根據(jù)數(shù)乘向量的定義,對(duì)于兩個(gè)非零向量

，如果存在一

個(gè)實(shí)數(shù),使得

，那么向量

平行嗎？反之如何？2.“向量

平行”是

的什么條件？思維拓展如圖7-32,已知平行四邊形

的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)

，

試用

表示

.

圖7-32課堂練習(xí)1.如圖,已知向量,作向量

使

（第１題）課堂練習(xí)

第(2)題2.如圖，點(diǎn)

將線(xiàn)段

四等分，則

課堂練習(xí)3.計(jì)算4.

已知

是一個(gè)非零向量,將下列各題中的向量

表示為實(shí)數(shù)與

向量

的乘積．課堂小結(jié)1.向量數(shù)乘運(yùn)算的定義.2.向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.

7.3.1平面向量的內(nèi)積江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊(cè)）問(wèn)題探究.

如圖所示，一個(gè)物體在力F的作用下發(fā)生了位移S，力F與物體位移S方向的夾角為θ.（1）F在位移方向上的分量是多少？所做的功W是多少？（2）功W是一個(gè)數(shù)量還是一個(gè)向量？

抽象概括（一）平面向量所成角的概念抽象概括（一）平面向量所成角的概念

抽象概括（二）平面向量?jī)?nèi)積的定義抽象概括（二）平面向量?jī)?nèi)積的定義

例題講析

思維拓展

課堂練習(xí)

課堂小結(jié)1.平面向量所成角的概念2.兩個(gè)平面向量同向、反向、垂直時(shí)所成的角3.平面向量?jī)?nèi)積的定義及夾角公式7.3.2向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)與運(yùn)算律江蘇省五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)》（第二冊(cè)）問(wèn)題探究如圖，非零向量與單位向量的內(nèi)積是多少？?jī)蓚€(gè)非零向量同向、反向或者互相垂直時(shí)，它們的內(nèi)積分別是多少？?jī)蓚€(gè)相等的非零向量的內(nèi)積是多少？

抽象概括（一）向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)合作交流

抽象概括（二）向量?jī)?nèi)積的運(yùn)算律

例題講析

課堂練習(xí)

課堂小結(jié)1.向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)2.向量?jī)?nèi)積的運(yùn)算律7.4.1用坐標(biāo)表示平面向量