第十章

方差分析1案例導入乳制品是我們日常生活消費品，如果作為生產商我們想知道乳制品的銷售是否會受季節的影響，那么我們該如何進行研究?下表收集了某地區近四年各季節乳制品銷售的數據:學完本章，我們可以使用方差分析這一工具對我們的猜想作出檢驗，為我們研究問題提供一種新的思路。季節對乳制品銷售的影響乳制品銷售量(萬噸)第一季度第二季度第三季度第四季度2012年547.01144.51796.72518.72013年621.61301.61971.12672.02014年597.51259.61941.72643.22015年615.21304.52013.52738.9學習目標2本章要掌握:本章要求掌握方差分析的原理和方法。本章要求掌握方差分析的原理和方法。10.1方差分析的內容和思想10.1.1方差分析的內容方差分析能夠解決多個均值是否相等的的檢驗問題。例如，KN市場調研公司在研究評價兒童干谷類食品的潛在的新品種時，認為能改善食品味道的四種關鍵因素是：A．食品中小麥與玉米的比例；B．甜味劑的類型：白糖、蜂蜜或人工制劑；C．果味香料的有無；D．加工時間的長短。一個用于確定這四種因素對食品味道的影響的試驗被設計出來。例如，一種被檢驗的食品是在某個特定的小麥與玉米的比例、甜味劑為白糖、加果味香精，以及短加工時間條件下制成；另一種被檢驗的食品在小麥與玉米比例不同但是其他三種因素相同條件下制成。由幾組兒童品嘗這些食品并說出他們對每種食品的評價。10.1方差分析的內容和思想10.1.1方差分析的內容用于研究由品嘗得來的數據的統計方法是方差分析。分析結果表明：·食品成分及甜味劑類型對味道影響很大。·果味香精事實上破壞了食品的味道。·加工時間對味道沒有影響。這些信息幫助KN公司研究者們識別出了可能產生最佳口味食品的因素。KN公司使用的試驗設計及隨后的方差分析在推薦生產方案中起到了很大作用。10.1方差分析的內容和思想10.1.1方差分析的內容方差分析的優勢:方差分析所進行的檢驗是對多個樣本的均值是否相等的問題的檢驗。節省時間是這種方法明顯的優點，它的另一個好處是，由于進行分析時是將所有的樣本資料結合在一起，因而增加了穩定性。例如，有30個樣本，每一個樣本包括10個觀察單位。如果用t檢驗法，一次只能研究兩個樣本，即20個觀察單位，而使用方差分析則可以把300個觀察單位結合在一起進行研究。所以說，方差分析是一種實用、有效的分析方法。10.1方差分析的內容和思想10.1.1方差分析的內容例9-1某汽車公司設計了四種不同的營銷方案。這四種方案的不同點集中表現在電話交易的頻數上。為了比較研究這四種方案的營銷效果，隨機從五家分銷商收集了前一期該種汽車交易的電話記錄，如表9-1所示。表9-1五家分銷商的電話交易頻數情況表問:不同的方案是否對汽車銷售量產生影響。10.1方差分析的內容和思想10.1.1方差分析的內容這是一個方差分析問題。即對四種方案下的電話交易頻數的均值是否相等進行檢驗。由于汽車是同一廠家生產的，它們的質量、外形設計、價格、內裝修等所有可能影響銷售量的因素全部相同，如果檢驗結果為不相等，如圖9-1(a)所示，則意味著它們來自于不同的總體，表明某種營銷方案對汽車銷售量產生影響。反之，如果檢驗結果為不存在顯著不同，則可以認為任何方案對銷售量都沒有影響，它們來自于相同的總體。見圖9-1(b)。10.1方差分析的內容和思想10.1.1方差分析的內容在方差分析中，因素是一個獨立的變量，也是方差分析研究的對象。在本例中，營銷方案就是一個因素。因素中的內容稱為水平。本例中的因素包含四個水平，即有A、B、C、D等四種不同的方案。如果方差分析只針對一個因素進行，稱為單因素方差分析。如果同時針對多個因素進行，稱為多因素方差分析。在多因素方差分析中，雙因素方差分析是最常見的。在方差分析中，通常假定各個水平的觀察數據是來自于服從正態分布總體中的隨機樣本，各個總體相互獨立，且方差相同。而實際應用中無法嚴格地滿足這些假定，一般只要求近似地符合上述假定。10.1方差分析的內容和思想10.1.2方差分析的原理從方差分析的目的看，是要檢驗各個水平的均值是否相等，而實現這個目的的手段是通過方差的比較。觀察值之間存在著差異，差異的產生來自于兩個方面:

是由因素中的不同水平造成的，例如，不同方案帶來不同的銷售量，對此我們可以稱為系統性差異；水平之間的方差；既包括系統性因素，也包括隨機性因素。

是由于抽選樣本的隨機性而產生的差異，例如，相同的方案在不同的分銷市場的銷售量也不同，可稱為隨機性誤差。水平內部的方差。僅包括隨機性因素。10.1方差分析的內容和思想10.1.2方差分析的原理如果不同的水平（方案A、B、C、D）對結果（銷售量）沒有影響，那么在水平之間的方差中，就僅僅有隨機因素的差異，而沒有系統性差異，它與水平內部方差就應該近似，兩個方差的比值就會接近于1：反之，如果不同的水平對結果產生影響，在水平之間的方差中就不僅包括了隨機性差異，也包括了系統性差異。這時，該方差就會大于水平內方差，兩個方差的比值就會顯著地大于1，當這個比值大到某個程度，或者說達到某臨界點，就可以作出判斷，不同的水平之間存在著顯著性差異。因此，方差分析就是通過對不同方差的比較，作出接受原假設或拒絕原假設的判斷。小概率原理仍然是方差分析的指導思想。方差分析的步驟包括建立假設、計算F統計量、給定置信水平、查表確定臨界值、比較判斷等。10.2單因素方差分析10.2.1單因素方差分析的步驟第一步:首先對各組的水平狀況進行了解，并計算它們的均值。不妨令表示第j種水平的樣本均值，有

(10-1)式中，是第j種水平下的第i個觀察值，表示第j種水平的觀察值個數。數據列表及計算如表10-2所示。10.2單因素方差分析10.2.1單因素方差分析的步驟表10-2四種方案電話交易頻數及均10.2單因素方差分析10.2.1單因素方差分析的步驟

第二步:采用F檢驗進行判斷。我們要對4個方案的總體均值是否相等進行F檢驗。由于檢驗的內容是營銷方案對銷售量影響問題，所以對所關心的問題提出如下原假設和替換假設：

相等，即方案對銷售量沒有影響

不全相等即方案對銷售量有影響若，查《F分布表》(附錄2表7)知：其中r為水平個數，n為各水平的觀察值個數，括號中r-1，n-r分別為分子項和分母項的自由度。由前面資料可以計算出F值:F=組間方差/組內方差10.2單因素方差分析10.2.1單因素方差分析的步驟由于故拒絕原假設，接受替換假設。即通過檢驗知，不全相等，說明營銷方案對銷售量有顯著影響，見圖10-2。

10.2單因素方差分析10.2.2F分布與F值的計算水平間(也稱組間)方差和水平內(也稱組內)方差之比是一個統計量。數理統計證明，這個統計量服從F分布。F=組間方差/組內方差(10-2)F分布有這樣幾個特征：(1)統計量F是大于零的正數。(2)F分布曲線為正偏態，它的尾端以橫軸為漸進線趨于無窮。(3)F分布是一種連續的概率分布，不同的自由度組合有不同的F分布曲線.如圖10-2所示。由圖10-2看出，隨著分子和分母自由度的增加，F分布以對稱的正態分布為極限。許多類型的假設檢驗需要利用F分布，方差分析是其中重要的一種。F分布10.2單因素方差分析10.2.2F分布與F值的計算關于組間方差（SMA）和組內方差（SME）的計算方法說明如下。在單因素方差分析中，離差平方和有三個，它們分別是總離差平方和（SST），誤差項離差平方和（SSE）以及水平項離差平方和（SSA）。其中組內方差=誤差項離差平方和/誤差項自由度=SSE/（n－r）組間方差=水平項離差平方和/水平項自由度=SSA/（r－1）F值的計算10.2單因素方差分析10.2.2F分布與F值的計算總離差平方和（SST）反映了離差平方和的總體情況。如本例有:誤差項離差平方和(SSE)反映的是水平內部，或組內觀察值的離散狀況。如本例有對公式分析不難發現，SSE實質上反映了隨機因素帶來的影響。水平項離差平方和(SSA)反映的是組間差異。

F值的計算10.2單因素方差分析10.2.2F分布與F值的計算因為:在各組同為正態分布，等方差條件下，等式右邊最后一項為零，故有：即關鍵是如何確定各離差平方的自由度:對總離差平方和（SST）來說，它是n個離差平方之和，共同擁有一個平均數，也就失去了一個自由度，其自由度應為n—1。因為它只有一個約束條件，即10.2單因素方差分析10.2.2F分布與F值的計算對水平離差平方和（SSA）來說，它是4組水平（即四種不同方案）離差平方之和，共同擁有一個平均數，也失去1個自由度，其自由度為4-1。用r表示組數，則有。它也有一個約束條件，即要求：對誤差項平方和（SSE）來說，因為對各組（每一種水平）而言，其組內觀察值個數為，它們都失去一個自由度，該組（水平）下的自由度，總共有r個組（水平），因此擁有的自由度個數為。其實，與離差平方和一樣，SST=SSA+SSE之間的自由度也存在如下關系：總離差自由度=誤差項自由度+水平項自由度于是，對本例有:組內方差=組間方差=10.2單因素方差分析10.2.2F分布與F值的計算為了將方差分析的主要過程表現的更清楚，通常把有關計算結果列成方差分析表，如表10-3所示。表10-3方差分析表10.2單因素方差分析10.2.3樣本容量不等下方差分析進行方差分析時，各個水平下的樣本容量可以相同，也可以不同。進行方差分析時，可以把方差分析的因素放在列的位置，也可以放在行的位置，但通常放在列的位置。這樣與計算機中數據庫的結構相一致，便于計算機處理。例10-2：某課程結束后，學生對該授課教師的教學質量進行評估，評估結果分為優、良、中、差四等。教師對學生考試成績的評判和學生對教師的評估是分開進行的，他們互相都不知道對方給自己的打分。有一種說法，認為給教師評優秀的這組學生的考試分數，可能會顯著地高于那些認為教師工作僅是良、中或差的學生的分數。同時認為，對教師工作評價差的學生，其考試的平均分數可能最低。為對這種說法進行檢驗，從對評估的每一個等級組中，隨機抽取出共26名學生。其課程分數如表9-5所示。10.2單因素方差分析10.2.3樣本容量不等下方差分析表10-526名學生考試成績試檢驗各組學生的分數是否有顯著差別。10.2單因素方差分析10.2.3樣本容量不等下方差分析解：若各組學生的平均成績之間沒有顯著差別，則表明學生對教師的評估結果與他們的成績之間沒有必然的聯系。H0：各組平均分數相等；H1：各組平均分數不全相等。利用Excel軟件，將計算結果列表，如表10-6所示。。表10-6學生平均成績方差分析表由于F＜，故接受原假設。可以認為學生的成績與它們對教師教學質量的評估意見之間沒有關系。10.2單因素方差分析10.2.3樣本容量不等下方差分析方差分析的局限:方差分析可以對若干平均值是否相等同時進行檢驗，這是此種方法的特點和長處。但如果檢驗結果拒絕原假設，接受替換假設，這僅表明進行檢驗的這幾個均值不全相等。至于是哪一個或哪幾個均值與其他均值不等，方差分析并沒有告訴答案。如果要對此問題進一步分析，可采用其它書上介紹的多重比較方法。10.3雙因素方差分析汽車銷售量除了受到營銷方案的影響之外，我們還想了解汽車的顏色是否影響銷售量，如果不同的顏色對銷售量存在顯著的影響，就需要分析原因，采用不同對策。若把營銷方案看作影響銷售量的因素A，汽車顏色則是影響因素B。對因素A和因素B同時進行分析，就屬于雙因素方差分析。雙因素方差分析的內容，是對影響因素進行檢驗，究竟一個因素在起作用，還是兩個因素都起作用，或是兩個因素的影響都不顯著。雙因素方差分析有兩種類型；

無交互作用的雙因素方差分析，

有交互作用的雙因素方差分析。這里介紹無交互作用的雙因素方差分析。10.3雙因素方差分析首先給出雙因素方差分析表(表10-7)表10-7雙因素方差分析表10.3雙因素方差分析例10-3某商品有五種不同的包裝方式(因素A)，在五個不同地區銷售(因素B)，現從每個地區隨機抽取一個規模相同的超級市場，得到該商品不同包裝的銷售資料如表9-8所示。表10-8某種商品不同地區不同包裝的銷售資料現欲檢驗包裝方式和銷售地區對該商品銷售是否有顯著性影響()。10.3雙因素方差分析解：若五種包裝方式的銷售的均值相等，則表明不同的包裝方式在銷售上沒有差別；同理，若五個地區的銷售的均值相等，則表明不同地區在銷售上沒有影響。故方差分析的過程為：第一步：建立假設：對因素A：：包裝方式之間無差別：不全相等包裝方式之間有差別對因素B：：地區之間無差別：不全相等地區之間有差異10.3雙因素方