2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測(cè)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合,集合,則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．已知一個(gè)古典概型，其樣本空間中共有12個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件A有6個(gè)樣本點(diǎn)，事件B有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有8個(gè)樣本點(diǎn)，則（）A．B．C．D．4．己知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和,且滿足,則等差數(shù)列的公差為（）A．B．C．1D．35．已知的展開式中的系數(shù)為80，則m的值為（）A．B．2C．D．16．如圖，正方形中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且,則的最小值為（）A．B．C．D．47．設(shè),則下列關(guān)系正確的是（）A．B．C．D．8．已知，則（）A．B．C．D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為,則下列說法正確的是（）A．地震釋放的能量為焦耳時(shí)，地震里氏震級(jí)約為七級(jí)B．八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的6.3倍C．八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍D．記地震里氏震級(jí)為,地震釋放的能量為,則數(shù)列是等比數(shù)列10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，現(xiàn)有四個(gè)條件：①;②；③平分;④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為Q,且,能使雙曲線C的離心率為的條件組合可以是（）A．①②B．①③C．②③D．②④11．如圖，是底面直徑為2高為1的圓柱的軸截面，四邊形繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到,則（）A．圓柱的側(cè)面積為B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，異面直線與所成的角為D．面積的最大值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．如圖，某景區(qū)共有A,B,C,D,E五個(gè)景點(diǎn)，相鄰景點(diǎn)之間僅設(shè)置一個(gè)檢票口供出入，共有7個(gè)檢票口，工作人員為了檢測(cè)檢票設(shè)備是否正常，需要對(duì)每個(gè)檢票口的檢票設(shè)備進(jìn)行檢測(cè)若不重復(fù)經(jīng)過同一個(gè)檢票口，依次對(duì)所有檢票口進(jìn)行檢測(cè)，則共有___________種不同的檢測(cè)順序．13．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的取值的集合為___________．14．斜率為1的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)A，B,點(diǎn)C是曲線E上的一點(diǎn)，滿足和的重心分別為的外心為R,記直線的斜率為,若，則雙曲線E的離心率為___________．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（13分）設(shè)函數(shù)．（1）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）16．（15分）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，四邊形為矩形，平面平面為線段的中點(diǎn)，且．（1）求證：平面;（2）若,直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．17．（15分）軟筆書法又稱中國(guó)書法，是我國(guó)的國(guó)粹之一，琴棋書畫中的“書”指的正是書法．作為我國(guó)的獨(dú)有藝術(shù)，軟筆書法不僅能夠陶冶情操，培養(yǎng)孩子對(duì)藝術(shù)的審美還能開發(fā)孩子的智力，拓展孩子的思維與手的靈活性，對(duì)孩子的身心健康發(fā)展起著重要的作用．近年來越來越多的家長(zhǎng)開始注重孩子的書法教育．某書法培訓(xùn)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了該機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的學(xué)生人數(shù)（每人只學(xué)習(xí)一種書體），得到相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：書體楷書行書草書隸書篆書人數(shù)2416102010（1）該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某周學(xué)生軟筆書法作業(yè)完成情況，得到下表，其中．認(rèn)真完成不認(rèn)真完成總計(jì)男生a女生總計(jì)60若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以認(rèn)為該周學(xué)生是否認(rèn)真完成作業(yè)與性別有關(guān)，求該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的女生的人數(shù)．（2）現(xiàn)從學(xué)習(xí)楷書與行書的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，記4人中學(xué)習(xí)行書的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：．0.100.050.012.7063.8416.63518．（17分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓C上一點(diǎn)，且到的距離之和為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)B為A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，斜率為k的直線與線段（不含端點(diǎn)）相交于點(diǎn)Q,與橢圓C相交于點(diǎn)M,N,若為常數(shù)，求與面積的比值．19．（17分）設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”：①；②．（1）若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（,用k,n表示）；（2）若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（,用k,n表示）；（3）記n階“曼德拉數(shù)列”的前k項(xiàng)和為,若存在,使,試問：數(shù)列能否為n階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說明理由．

數(shù)學(xué)答案一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．C，故．故選C．2．D，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選D3．D根據(jù)概率公式計(jì)算可得；由概率的加法公式可知,代入計(jì)算可得故選：D4．D,解得,故選D5．A，在的展開式中，由,令，得r無解，即的展開式?jīng)]有的項(xiàng)；在的展開式中，由,令,解得，即的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為,又的展開式中的系數(shù)為80，所以,解得,故選A．6．C正方形中，,則,而,則，又點(diǎn)B,P,E共線，于是,即,而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：C7．C記．因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，,即,所以．記．因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，,即,所以．所以．記．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，,即,所以．所以,綜上所述：．故選：C8．A，．，，，又因?yàn)椋裕瑒t,所以．．故選：A二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．ACD對(duì)于A:當(dāng)時(shí)，由題意得,解得,即地震里氏震級(jí)約為七級(jí)，故A正確；對(duì)于B:八級(jí)地震即時(shí)，,解得,所以，所以八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的倍，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C:六級(jí)地震即時(shí)，,解得,所以,即八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍，故C正確；對(duì)于D:由題意得,所以，所以所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，故D正確；故選：ACD10．AD③平分且為中線，可得,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以不成立；若選①②：可得,所以，即離心率為，成立；若選②④：，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為Q,且，可得四邊形為矩形，即可得,所以,即離心率為,成立；故選：AD11．BC對(duì)于A,圓柱的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)椋?又,所以平面,所以,B正確；對(duì)于C,因?yàn)?所以就是異面直線與所成的角，因?yàn)椋詾檎切危?因?yàn)?所以，C正確；對(duì)于D,作,垂足為E,連接,所以平面,所以．在中，,,所以,D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．32如圖將5個(gè)景區(qū)抽象為5個(gè)點(diǎn)，見7個(gè)檢票口抽象為7條路線，將問題化歸為不重復(fù)走完7條路線，即一筆畫問題，從B或E處出發(fā)的線路是奇數(shù)條，其余是偶數(shù)條，可以判斷只能從B或E處出發(fā)才能不重復(fù)走完7條路線，由于對(duì)稱性，只列出從B處出發(fā)的路線情形即可．①走路線：,3126745,,3147625,,3157426，共6種；②走路線：,4137625,,4267315,,4573126，共6種；③走路線：,7543126,,7624315，共4種；綜上，共有種檢測(cè)順序．故3213．由可知，，得，所以,又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，所以，所以，的可能取值為．當(dāng)時(shí)，由解得，經(jīng)檢驗(yàn)，,6,10時(shí)不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由解得,經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)滿足題意．所以，的可能取值為．故14．若直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)G,H,設(shè)G,H的中點(diǎn)為K，聯(lián)立方程組，整理得,可得,則，又由在直線上，可得，所以，所以，即直線l與雙曲線相交線的中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率與直線l的斜率之積為定值，如圖所示，取的中點(diǎn)M,N,因?yàn)榈闹匦腜在中線上，的重心Q在中線上，所以,可得，即，又由,可得，可得因?yàn)?且的外心為，點(diǎn)R,則R為線段的中點(diǎn)，可得，因?yàn)椋裕裕裕裕剩摹⒔獯痤}（本題共6小題，共70分）15．解：（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，令,則,解得,令,則,解得．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）令,則．令，其中，則．令,解得,令,解得．的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為,．又,函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是．16．解：（1）在中，E為線段的中點(diǎn)，且,所以,所以為直角三角形，且，所以,因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅危?所以,又因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以,因?yàn)槠矫?所以平面．（2）因?yàn)槠矫嫫矫?所以,由（1）知平面,又平面,所以,所以兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在中，,所以,設(shè),則,所以,易知平面的一個(gè)法向量為,設(shè)直線與平面所成的角為,則,解得,所以,設(shè)平面的法向量為則，令，則,易知平面的一個(gè)法向量為,則，易知二面角是銳角，故二面角的余弦值為．17．解：（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表如下：認(rèn)真完成不認(rèn)真完成總計(jì)男生a女生總計(jì)602080由題意可得，得．易知a為5的倍數(shù)，且，所以,所以該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書法的女生有（人）．（2）因?yàn)閷W(xué)習(xí)軟筆書法的學(xué)生中學(xué)習(xí)楷書與行書的人數(shù)之比為，所以用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的10人中，學(xué)習(xí)楷書的有（人），學(xué)習(xí)行書的有（人），所以X的所有可能取值為0,1,2,3,4，，．X的分布列為：X01234P所以．18．解：（1）由橢圓的定義得,所以．又為橢圓C上一點(diǎn)，所以，將代入，得,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)锽為A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，所以,直線的方程為．設(shè),則直線的方程為,聯(lián)立得，可得,由點(diǎn)Q在橢圓內(nèi)，易知，不妨令,則，所以．又,所以為常數(shù)，則需滿足為常數(shù)，（此式為與t無關(guān)的常數(shù)，所以分子與分母對(duì)應(yīng)成比例）即，解得．將代入，可得,得，所以Q為的中點(diǎn)，所以．19．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比