方法專題

專題14數學方法的應用

網絡構建

宜線.v=Ax+b

數列數學極值法

極

限雙曲線尸/

與

數

學

歸

數學方法在圖象求

納

法高中物理中

解法拋物線,￥=請+加+。

的應用

正弦線尸Asin(M+。

空間向量的其他數學方法三角函數】=sin?f)+cos20

坐標計算法

幾何圖形法解析幾何法導數微元法數學比例法分析討論法

考題一常用的數學知識

S知識精講

1.羅列物理中常用數學方法，熟悉其內容及其變形.

2.熟悉數學在物理題中應用的特點.

3.理解物理公式或圖象所表示的物理意義，不能單純地從抽象的數學意義去理解物理問題，

防止單純從數學的觀點出發，將物理公式“純數學化”的傾向.

回典例剖析

例1如圖1所示，AB是豎直平面內圓心為0、半徑為R的圓上水平方向的直徑，AC是圓

上的一條弦.該圓處在某一勻強電場中，電場線與圓平面平行，將一質量為加、電荷量為g的

帶正電小球從圓周上A點以相同的功能拋出，拋出方向不同時，小球會經過圓周上的不司點,

若到達C點時小球的動能最大，已知N8AC=a=30。，重力加速度為g,則電場強度￡的最

小值為（）

A幽

q

r小〃W

J2q

■q

解析小球到達C點動能最大，說明。點是重力場和電場形成的復合場中的等效最低點，即

重力和電場力的合力沿0c方向，對小球受力分析，如圖所示，

利用矢量三角形可知：當巴場力垂直于OC時，電場力最小，尸min=，〃gsin30°=%咫，即Emin

X（

=罕，A正確.故選A.

答案A

【變式訓練】

1.如圖2所示，在斜面上有四條光滑細桿，其中。4桿豎直放置，04桿與。。桿等長，0C

桿與斜面垂直放置，每根桿上都套著一個小滑環（圖中未畫出），四個環分別從。點由靜止釋

放，沿0A、OB、0C、0D滑到斜面上所用的時間依次為小出小、/4.下列關系不正確的是（）

圖2

A./|>/2

C.f2=f4Dj2</4

答案c

解析以0A為直徑畫圓建立等時圓模型，小滑環受重力和支持力，由牛頓第二定律得：〃

=gcos0（〃為桿與豎直方向的夾角）

O

由圖中的直角三角形可知，小滑環的位移x=2Rcos0

由x=yar2,得：，=、行=2、^^^1=2、^,t與。無關，呼知從圓上最高由、沿任意一條

弦滑到底端所用時間相同，故沿。4和OC滑到底端的時間相同，即0=/3,OB不是一條完

整的弦，時間最短，即九＞七。。長度超過一條弦，時間最長，即f2V白.故A、B、D正確，

C不正確，因本題選不正確的，故選C.

2.如圖3所示，穿在一根光滑固定桿上的小球A、B通過一條跨過定滑輪的細繩連接，卡與水

平面成。角，不計所有摩擦，當兩球靜止時，OA繩與桿的夾角為仇OB繩沿豎直方向，則

下列說法正確的是（）

A.人可能受到2個力的作用

B.B可能受到3個力的作用

C.A、B的質量之比為tan8：1

D.A、4的質量之比為1：tan

答案D

解析對A球受力分析可知，A受到重力、繩子的拉力以及桿對A球的彈力，三個力的合力

為零，故A錯誤；對8球受力分析可知，8受到重力、繩子的拉力，兩個力合力為零，桿對

3球沒有彈力，否則4不能平衡，故B錯誤；分別對4、8兩球受力分析，運用合成法，如

圖，根據共點力平衡條件，得：Fr=〃iBg

為0,軸線上的A點在0點右側與0點相距為試分析判斷下列關于4點處電場強度

大小E的表達式(式中k為靜電力常量)正確的是()

圖5

_UR\kqR、

XE—/?/+(a+r)2/?22+(?—r)2

BE=kqRkqR?

222

[R；+(a+r)]2[??2+(67-r)]2

如伍+r)kq(Lr)

/?i2+G/+r)2-/?22+(?-r)2

DE=kq(a+r)_________kq(a-r)

[Rj+(…)2/[Rj+(一)2/

答案D

解析令品=4=0,A點電場強度不為0,排除A、B.或令/=凡E的結果應該只與R有關，

與此無關，排除A、B：當時，A點位于圓心。2處，帶電圓環。2由于對稱性在月點的

電場為0,根據微元法可以求得此時的總電場強度為E=&=-2口。3，將代入C、

(RJ+4"戶

D選項可以排除C選項.故選D.

考題二數學知識的綜合應用

國知識精講

1.結合實際問題，將客觀事物的狀態關系和變化過程用數學語言表達出來，經過數學推導和

求解，求得結果后再用圖象或函數關系把它表示出來.

2.一般程序

審題一過程分析一建立模型一應用數學思想或方法一求解并驗證.

3.弄清物理公式的運用條件和應用范圍；注意數學的解與物理解的統一.

囤典例剖析

例2如圖6甲所示，木板與水平地面間的夾角〃可以隨意改變，當。=30。時，可視為質點

的一小物塊恰好能沿著木板勻速下滑.若讓該小物塊從木板的底端以大小恒定的速度W沿木

板向上運動(如圖乙)，隨著夕的改變，小物塊沿木板滑行的距離S將發生變化，重力加速度

為g.

圖6

(1)求小物塊與木板間的動摩擦因數；

(2)當0角滿足什么條件時.小物塊沿木板上滑的距離最小，并求出此最小值.

解析(1)由題知，當6=30。時，對物塊受力分析得：〃儂皿夕=/,外

尸N=/〃gCOS0

A

聯得：〃=tan〃=tan30°=□.

J

(2)小物塊向上運動，則有：

"igsin夕+/〃〃gcos夕=〃7a

物塊的位移為X:詔=2ax

_______v(?______

X2g(sin〃+〃cos0)

_________________

1+/siii(J+a)

令：lana=〃，當夕+。=90°時，x最小

此時有:0=60。

#_________IV________笳

可：xmm=2g(sin600+"cos60。)=4g-

答案(1)坐(2)9=60°嚕^

【變式訓練】

5.如圖7所示，在“十”字交叉互通的兩條水平直行道路上，分別有甲、乙兩輛汽車運動，

以“十,，字中心為原點，沿直道建立X。),坐標系.在，時刻，甲車坐標為(1,0),以速度如

=Am/s沿一X軸方向做勻速直線運動，乙車沿+)，方向運動，其坐標為(0,)，)，y與時間/的

關系為y=、l+2必/m,美系式中公＞0,問：

y/m

圖7

(1)當攵滿足什么條件時，甲、乙兩車間的距離有最小值，最小值為多大？

⑵當Z為何值時，甲車運動到。處，與乙車的距離和，=0時刻的距離相同？

答案(I)O<R1,2-(1-)2m(2)1

解析(1)/時刻兩車坐標：甲車：x=(l—A/)m,乙車：y=yj1+21^1m

，時刻兩車相距

s=yl>r-}-y2=yj(\—kt)2-^(\+2lrt)

=7再-2k(I-k)f+2m

1

當/=1—S時，甲、乙兩車間的距離有最小值.

K

最小值為Smin=、/2—(1一行m,其中&滿足0<k<1.

(2)當f=0時，甲車坐標為(1,0),乙車坐標為(0,1),此時兩車距離50=地m.

當甲車運動到O處時，kt=\m,

乙車y=71+2弁/m=y12m

兩式聯立解得：k=g.

6.一小球從加=45m高處自由下落，著地后又彈起，然后又下落，每與地面相碰一次，速度

大小就變化為原來的2倍.若攵=3,求小球從下落直至停止運動所用的時間.(g取10m/s2,碰

撞時間忽略不計)

答案9s

解析由運動學公式將小球每碰一次后在空中運動的n-|間的通項公式求出，然后再累加求和.

小球從仙處落到地面時的速度：vo=?2gho,

運動的時間為：，()=

第一次碰地后小球反彈的速度：s=kvo=Z2gho

小球再次與地面碰撞之前做豎直上拋運動，這一過程球運動的時間：力=警=2「^^

則第n次碰地后，小球的運動速度的通項公式為：

V,產H\l2gho

運動時間：暴=2粵

所以，小球從下落到停止運動的總時間為：

上式括號中是一個無窮等比遞減數列，由無窮等比遞減數列求和公式，并代入數據得，=9s.

7.一輕繩一端固定在。點，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度地解放，

如圖8所示，小球在運動至輕繩達到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時功率在何處取

得最大值？

答案當細繩與豎直方向的夾角余弦值為cos。=坐時，重力的瞬時功率取得最大值

解析如圖所示，當小球運動到繩與豎直方向成0角的。時，重力的功率：P=ingvcosa=

ingvsin0

飛期'、

小球從水平位置到圖中C位置時,由機械能守恒有mgLcosO=^mv2

解得：P=〃E2gLeos%in汨

令尸cos"sin?"

因為y=cos/tn2=q）（2cos2esin40）

=q*2cos2夕si/e.sin?。）

又因為2cos2。+$皿2。+$訪2夕=2（巾2。+8$2。）=2（定值）.

所以當且僅當2cos2〃=siif〃時，y有最大值

由2cos%=I—cos?。

得cos。=芋

即：當cos夕=當時，功率P有最大值.

專題規范練

1.（多選M0C是光滑的直角金屬導軌，入0沿豎直方向，0C沿水平方向，。〃是一根金屬直棒,

靠立在導軌上（開始時。離。點很近），如圖1所示.它從靜止開始在重力作用下運動，運動過

程中。端始終在AO上，匕端始終在OC上，直到他完全落在OC上，整個裝置放在一勻強

磁場中，磁場方向垂直紙面向里，則他棒在運動過程中（）

圖1

A.感應電流方向始終是〃一。

B.感應電流方向先是〃f〃后變為。一〃

C.所受磁場力方向垂直于ab向上

D.所受磁場力方向先垂直于岫向下，后垂直于"向上

答案BD

解析初始，ah與直角金屬導軌圍成的三角形面積趨于0,末狀態,心與直前金屬導航圍成的

三角形面積也趨于0,所以整個運動過程中，閉合回路的面積先增大后減小.根據楞次定律的

增反戒同，判斷電流方向尤是逆時針后是順時針，選項A錯，B對.根據左手定則判斷或培力

可得安培力先垂直于岫向下，后垂直于"向上，選項C錯，D對.故選B、D.

2.如圖2所示，斜面上固定有一與斜面垂直的擋板，另有一截面為七圓的光滑柱狀物體甲放置

于斜面上，半徑與甲相同的光滑球乙被夾在甲與擋板之間，沒有與斜面接觸而處于靜止狀態.

現在從球心。1處對甲施加一平行于斜面向下的力F,使甲沿斜面方向緩慢向下移動.設乙對

擋板的壓力大小為F^,甲對斜面的壓力大小為F”甲對乙的彈力大小為B.在此過程中（）

圖2

A.Q逐漸增大，尸2逐漸增大，尸3逐漸增大

B.Q逐漸減小，死保持不變，6逐漸減小

C.R保持不變，乃逐漸增大，B先增大后減小

D.Q逐漸減小，B保持不變，尸3先減小后增大

答案B

解析先對物體乙受力分析，受重力、擋板的支持力產」和甲對乙的彈力尸3,如圖中所示；

甲沿斜面方向向下移動，a逐漸變小，片,的方向不變，整個過程中乙物體保持動態平衡，

故與民的合力始終與重力等大反向，由平行四邊形定則知后、尸」均逐漸減小，根據

牛頓第三定律，乙對擋板的壓力Q逐漸減小；再對甲與乙整體受力分析，受重力、斜面的支

持力、擋板的支持力R'和推力F,如圖乙所示；根據平衡條件有，尸2'=（M+〃）gcos

3.如圖3所示，A、8為地球的兩個軌道共面的人造衛星，運行方向相同，A、8衛星的軌道

半徑分別為，八和「B，某時刻人、B兩衛星距離達到最近，已知衛星A的運行周期為r從該時

刻起到A、B間距離最遠所經歷的最短時間為（）

解析設兩衛星至少經過時間，距離最遠，兩衛星相距最遠時，轉動相差半周，則克一三一；，

又因為衛星環繞周期T=2JIC正確.故選C.

4.圖4為某制藥廠自動生產流水線的?部分裝置示意圖，傳送帶與水平面的夾角為a,。為漏

斗.要使藥片從漏斗中出來后經光滑滑槽滑到傳送帶上，設滑槽的擺放方向與豎直方向的夾角

為的則3為多大時可使藥片滑到傳送帶上的時間最短（）

圖4

A.9=CCB.9=2a

D.T

答案c

解析如圖所示，藥片沿滑槽下滑的加速度4=gC0S如設。到傳送帶的距離為，，則有

OP=

cos(a-°)2

1,

=2^rcos(p

2H

t~=77

COS(Gt-3)gCOS(p

令7—cos(?—^)cos(p

=^[cos(a一夕+°)+cos(a-(p-(p)]

=J[cosa+cos(a-2°)]

當a=2e時，7^ax=1(cosa4-l)

可見，時，/有最小值.故選C.

5.在同一水平面內有兩個圍繞各自固定軸勻速轉動的圓盤A、B,轉動方向如圖5所示，在A

盤上距圓心48cm處固定一個小球。，在8盤上距圓心16cm處固定一個小球Q.已知P、Q

轉動的線速度大小都為47tm/s.當P、Q相距最近時開始計時，則每隔一定時間兩球相距最遠，

這個時間的最小值應為（）

A.0.08sB.0.12S

C.0.24sD.0.48s

答案B

解析兩球相距最遠時，在相同的時間內，P、。轉過的角度分別為〃P="R=（2〃+1加（〃=

0,123,…），3=（。0/=（為+1）兀（〃?=（）,123,…），由于/。=3仞＞,當兩球第一次相距最遠

時，〃=0,解得m=l,故，=旦，而例＞=/=痣,解得f=0.12s,選項B正確.故選B.

coprpu.4o

6.如圖6所示，一根長為上的輕桿OA,。端用錢鏈固定，另一端固定著一個小球4,輕桿靠

在一個質量為M、高為。的物塊上.若物塊與地面間摩擦不計，則當物塊以速度。向右運動至

桿與水平方向夾角為。時，小球A的線速度大小為（）

虎源〃，，〃〃，〃，

圖6

pLtan0vLsin20

A--h-B.-Jj-

vLco^OvL

C-h-D7?tan0

答案B

解析根據運動的合成與分解可知，接觸點B的實際運動為合運動，可將8點運動的速度沿

垂直于桿和沿桿的方向分解成。2和〃I,如圖所示，

其中。2=。那訪9=rsina即為8點做圓周運動的線速度.功=即cos。，為8點沿桿運動的速

度.當桿與水平方向夾角為。時，0^=熹：A、B兩點都圍繞。點做圓周運動，且在同一桿

^111C/

上，故甬速度相同，由于8點的線速度為V2=vs\n0=coOB,所以①'，所以A

T7?c

的線速度VA=COL=_1一:,故選項B正確.故選B.

7.（多選）如圖7所示，直角三角形是圓。的內接三角形，Za=30°,Nb=90。，Zc=60°.

勻強電場電場線與圓所在平面平行，已知。、氏。三點電勢為仰=一U、"=（）、%=U.下面

說法正確的是（）

圖7

A.圓上最高點的電勢等于坐U

B.圓上最高點的電勢等于半U

C.勻強電場的電場強度等于摯

D.勻強電場的電場強度等于嚕1

答案BD

解析ac中點0的電勢『=-9)+"=0,所以。、方兩點是等勢點，則直線/"?是勻強電場

的等勢線，與直線〃。垂直的直線就是電場線，圓周上M點電勢最高，如圖所示.

過c點作等勢線，與電場線交于d點，則伽=仰=(/,設圓的半徑為R,根據幾何關系知O、

d間的距離Od=Rcos30。=當'R,所以電場強度七=4"=筆2,D正確點的電勢仰產

2人

時手U,B正確.故選B、D.

8.(多選)如圖8所示，固定于豎直面內的粗糙斜桿，與水平方向夾角為3()。，質最為機的小球

套在桿上，在大小不變的拉力尸作用下，小球沿桿由底端勻速運動到頂端.已知小球與斜桿之

間的動摩擦因數為〃=雪，則關于拉力產的大小和尸的做功情況，下列說法正確的是()

圖8

A.當a=30。時,拉力E最小

B.當。=30。時,拉力尸做功最小

C.當a=60。時,拉力尸最小

D.當a-60。時,拉力尸做功最小

答案AD

解析由題中選項可知要使F最小,則應有Fsina<mgcos30°,故根據平衡條件有

Feosa="zgsin30°+〃（/〃gcos30°-Fsina）,

/叫（sin30。+乎cos300）

解得：F=

cosa+乎sina2sin（a+60。）'

由數學知識知，當a=30°時，拉力尸最小，A正確，C錯誤：當a=60°時，F=mg,因為沒

有摩擦力，拉力做功最小，Wmin=〃?g/?,所以B錯誤，D正確.故選A、D.

9.如圖9所示，在直角坐標系的第一象限區域