專題十四三角形及其全等（講義）——中考數學一輪復習備考合集考情分析命題點命題形式命題熱度命題特點三角形及其性質1.三角形的三邊關系☆☆本專題多以選擇題和填空題的形式出現，考查三角形的基本概念，解答題常見題型為全等三角形的有關證明與計算等，要求學生熟練掌握全等三角形的判定及性質，并在解答過程中靈活運用，體現了數形結合和分類討論的思想2.三角形的內角和外角☆與三角形有關的重要線段3.三角形中的重要線段☆4.線段的垂直平分線☆☆5.角平分線的性質☆☆全等三角形6.全等三角形的判定☆☆☆7.全等三角形的性質與判定綜合☆☆☆講解一：三角形及其性質分類按角分：按邊分：性質三邊關系：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.角的關系：（1）內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.（2）三角形的外角和等于360°.（3）內外角關系：a.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.如圖，b.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角如圖，邊角關系：在同一個三角形中，等邊對等角，等角對等邊（大邊對大角，小邊對小角）三角形具有穩定性命題精練命題形式1三角形的三邊關系1．（2023·湖南·中考真題）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6【答案】C解析：，∴1，3，4不能組成三角形，故A選項不符合題意；，∴2，2，7不能組成三角形，故B不符合題意；，，∴4，5，7能組成三角形，故C符合題意；，∴3，3，6不能組成三角形，故D不符合題意，故選：C．2．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（）A．或 B．或 C． D．【答案】C【思路點撥】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方程可得，，根據三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為，腰長為，進而即可求出三角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵．解析：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底邊長為，腰長為，∴這個三角形的周長為，故選：． 3.（2023·福建·中考真題）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．9【答案】B解析：由題意，得，即，故的值可選5，故選：B．4.（2024·江蘇鎮江·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為．【答案】6解析：當6為一腰長時，則另一腰長為6，底邊長為2，，能構成三角形，第三邊長為6；當2為一腰長時，則另一腰長為2，底邊長為6，，不能構成三角形，舍去；綜上，第三邊長為6，故答案為：6．命題形式2三角形的內角和外角1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，直線，一塊含有的直角三角板按如圖所示放置．若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】A解析：∵，∴，∵，∴，故選：A．2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）將一個含角的三角尺和直尺如圖放置，若，則的度數是（）A．30° B． C． D．60°【答案】B解析：如圖所示，由題意得，，，∴，故選：B．3.（2023·四川遂寧·中考真題）一個三角形的三個內角的度數的比試，這個三角形是三角形【答案】直角【思路點撥】本題考查了三角形內角和定理，三角形類別，解答此題應明確三角形的內角度數的和是，求出最大的角的度數，然后根據三角形的分類判定類型．解析：，這個三角形是直角三角形，故答案為：直角．講解二：與三角形有關的重要線段一、三角形中的重要線段名稱圖形性質重要結論中線三角形的三條中線的交點在三角形的內部，這個點稱為重心.中線將三角形分成兩個面積相等的三角形.高，即銳角三角形的三條高的交點在三角形的內部；直角三角形的三條高的交點是直角的頂點；鈍角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部，這個點稱為垂心.角平分線三角形的三條角平分線的交點在三角形的內部，這個點稱為內心.中位線且中位線所截得的三角形與原三角形相似，其相似比為1:2，面積比為1:4二、線段的垂直平分線線段的垂直平分線圖形性質線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等直線是線段的垂直平分線，為上一點，則；反過來，若，則點在線段的垂直平分線上判定與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上知識詳解（1）由線段的垂直平分線的性質可直接證明線段相等，比利用兩三角形全等證明更簡捷.線段的垂直平分線的性質在求線段的長及平面圖形的周長中都有廣泛的應用.（2）線段的垂直平分線的判定是畫線段垂直平分線的依據三、角平分線的性質內容符號語言圖形角平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等如果點在的平分線上，且于點，于點，那么知識詳解（1）性質中的距離是指點到角兩邊的垂線段的長.（2）性質中有兩個條件：一是點在角的平分線上，二是這個點到角兩邊的距離，即這個點到角的兩邊的垂線段的長度，兩者缺一不可.（3）利用角的平分線的性質證明線段相等，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”，而不是“垂直于角平分線的線段”.（4）應用角平分線的性質解題的格式：平分，于點，于點，.（5）角平分線的性質的作用：由于角平分線的性質的結論是兩條線段相等，因此角平分線的性質常被用來證明兩條線段相等四、角平分線的判定內容符號語言圖形角平分線的判定角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上如果點為內一點，于點，于點，且，那么點在的平分線上知識詳解（1）角平分線的性質與判定的關系：點在角的平分線上（角的內部的）點到角的兩邊的距離相等.要正確理解，明確條件和結論，“性質”和“判定”恰好是條件和結論的交換，性質是證明兩條線段相等的依據，判定是證明兩角相等的依據.（2）應用角平分線的判定解題的格式：于點，于點，，平分命題精練命題形式3三角形中的重要線段1．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段一定是的（）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線【答案】B解析：由作圖可得：，∴線段一定是的高線；故選B2．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在中，是高，是中線，，，則的長為（）A． B．3 C．4 D．6【答案】B【思路點撥】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據和求出，根據是中線即可求解．解析：∵，，∴∵是中線，∴故選：B3.（2024·四川涼山·中考真題）如圖，中，是邊上的高，是的平分線，則的度數是．【答案】/100度解析：∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴．故答案為：．命題形式4線段的垂直平分線1．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在中，，，分別以點，點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，，過點，作直線交于點，連接，則的周長為（）A．7 B．8 C．10 D．12【答案】C【思路點撥】本題考查了尺規作圖—作垂直平分線，根據垂直平分線的性質即可證明，根據的周長，即可求出答案．解析：由作圖知，垂直平分，，的周長，，，的周長，故選：C．2．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在中，垂直平分交于點，若的周長為，則（）A． B． C． D．【答案】C解析：∵垂直平分，∴，∴的周長，故選：．3.（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，的邊的垂直平分線交于點，連接．若，，則．【答案】3解析：，，，在的垂直平分線上，．故答案為：3．命題形式5角平分線的性質1．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在紙上畫有，將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交點P在的平分線上，則（）A．與一定相等 B．與一定不相等C．與一定相等 D．與一定不相等【答案】A【思路點撥】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的性質，過點P分別作的垂線，垂足分別為E、F，由角平分線的性質得到，由平行線間間距相等可知，則，而和的長度未知，故二者不一定相等，據此可得答案．解析：如圖所示，過點P分別作的垂線，垂足分別為E、F∵點P在的平分線上，∴，由平行線間間距相等可知，∴，由于和的長度未知，故二者不一定相等，故選：A，2．（2024·青海·中考真題）如圖，平分，點P在上，，，則點P到的距離是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C解析：過點P作于點E，∵平分，，，∴，故選：C．3.（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，已知是的角平分線，，分別是和的高，，，則點E到直線的距離為．

【答案】/【思路點撥】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質可得點D到的距離等于點D到的距離DE的長度，然后根據勾股定理求出，最后根據等面積法求解即可．解析：∵是的角平分線，，分別是和的高，，∴，又，∴，設點E到直線的距離為x，∵，∴．故答案為：．講解三：全等三角形概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形性質（1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應的中線、高、角平分線、中位線都相等判定邊邊邊（SSS）：三邊分別相等的兩個三角形全等邊角邊（SAS）：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等角邊角：（ASA）：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等角角邊（AAS）：兩角對應相等，且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形相等斜邊、直角邊（）：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等【提示】判定一般三角形全等，無論用哪種方法，都要有三組元素對應相等，且其中最少要有一組對應邊相等命題精練命題形式6全等三角形的判定1.（2024·四川樂山·中考真題）知：如圖，平分，．求證：．【答案】見解析解析：平分，，在和中，，，．2.（2023·四川樂山·中考真題）如圖，與相交于點O，．求證：．【答案】見解析解析：∵，∴，在與中，，，，∴．∴．3.（2024·西藏·中考真題）如圖，點C是線段的中點，，．求證：．【答案】見解析證明：∵點C是線段的中點，∴，在和中，，∴，∴．4.（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，點D在的邊AB上，經過邊的中點E，且．求證．【答案】見詳解證明：∵點E為邊的中點，∴，∵，，∴，∴，∴．5.（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．求證：．【答案】見解析證明：，，即，在和中，，．命題形式7全等三角形的性質與判定綜合1．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，，．

(1)求證：；(2)若，則__________°．【答案】(1)答案見解析(2)解析：（1）證明：在和中，，；（2），，，由（1）知，，故答案為：20．2.（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在矩形中，是的中點，連接．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析解析：（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵是的中點，∴，在和中，，∴（2）證明：∵，∴，∴．【題型分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊對等角．（1）根據矩形的性質得出，再根據中點的定義得出，即可根據求證；（2）根據全等的性質得出，根據等邊對等角即可求證．3.（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，點C在線段上，，，．(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)解析：（1）證明：在與中，，所以；（2）因為，，所以，，所以是等邊三角形．所以．4.（2024·四川內江·中考真題）如圖，點、、、在同一條直線上，，，(1)求證：；(2)若，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【思路點撥】本題主要