二次根式人教版八年級下冊的乘除1.什么叫二次根式？2.兩個基本性質:復習提問=aa(a≥0)-a(a＜0)==∣a∣(a≥0)情景導入

小麗的媽媽在院里圍了一個面積為3平方米的小花壇，白色的柵欄、五顏六色的花兒相互映襯，賞心悅目，給小院增添了不少的生機.清晨坐在花園旁邊看看書報，十分愜意.

奶奶則建議明年改成12平方米的菜園，種上幾種蔬菜自己打理，吃綠色蔬菜多健康??！

爸爸問小麗，菜園的面積是花壇面積的4倍，它們的邊長又怎樣的數量關系呢？獲取新知知識點積的算術平方根11.

是否相等?呢?2.當a≥0，b≥0時，對的關系提出你的猜想，并說明理由.一起探究知識點商的算術平方根21.是否相等?呢?2.當a≥0，b＞0時，對的關系提出你的猜想，并說明理由.一起探究(1)___×___=____;=_________;計算下列各式:(2)___×___=____;(3)___×___=____;=_________;=_________.23645205630觀察兩者有什么關系？

知識點二次根式的乘法(1)

___÷___=____;=_____;計算下列各式:(2)

___÷___=____;(3)

___÷___=____;=_____;=_____.234567觀察兩者有什么關系？

知識點

二次根式的除法觀察三組式子的結果，我們得到下面三個等式：你發現了什么規律？你能用字母表示你所發現的規律嗎？猜測

這個式子與我們上節課學過的積的算數平方根的公式有什么關系？(1)

(2)

(3)

觀察三組式子的結果，我們得到下面三個等式：(1)

(2)

(3)

猜想

通過上述二次根式除法運算結果，聯想到二次根式乘法運算法則，你能說出二次根式的結果嗎？特殊一般一般地，對于二次根式的乘法是語言表述：算術平方根的積等于各個被開方數積的算術平方根.二次根式的乘法法則是:二次根式相乘，________不變，________相乘.根指數被開方數注意：a,b都必須是非負數.在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數．注意:a、b必須都是非負數！算術平方根的積等于各個被開方數積的算術平方根(a≥0,b≥0.)不成立！【思考】成立嗎？

沒有意義！因此被開方數a，b需要滿足什么條件？a，b是非負數，即a≥0,b≥0.

在前面發現的規律中，a,b的取值范圍有沒有限制呢？a,b同號就可以啦探究新知你們都錯啦，a≥0，b＞0,b=0時等式兩邊的二次根式就沒有意義啦不對，同乘法法則一樣，a,b都為非負數.二次根式的除法法則:文字敘述:算術平方根的商等于被開方數商的算術平方根.當二次根式根號外的因數(式)不為1時，可類比單項式除以單項式法則，易得。

下面的等式成立嗎？為什么？×√根號下不能出現負數！×分母不能為0！

二次根式的性質商的算術平方根，等于算術平方根的商.積的算術平方根，等于算術平方根的積.(a≥0，b≥0.)(a≥0，b>0.)a，b必須都是非負數！a必須是非負數，b必須是正數！二次根式的性質1二次根式的乘法法則(a≥0，b≥0.)(a≥0，b≥0.)

等號的左邊與右邊對換，就得到二次根式的乘法法則．同理，可得到除法法則．(a≥0，b>0.)二次根式的性質2(a≥0，b>0.)二次根式的除法法則寬=計算:解:簡單的二次根式的乘法運算（1）

;

（2）

.(1);(2).考點總結：只需其中兩個結合就可實現轉化進行計算，說明二次根式乘法法則同樣適合三個及三個以上的二次根式相乘（）【想一想】下邊的式子如何運算？解:可先用乘法結合律，再運用二次根式的乘法法則.解：(1)

例

化簡

：(1)；(2)；(3).(2)

(3)

學生活動

【應用性質】計算:解:因數不是1二次根式的乘法運算

（1）

;

（2）

.

(1)可類比前面的計算哦！(2)考點計算：解：=20×18=360;(1)

;(2).(2)(1)計算：解:利用二次根式的除法法則計算根號外因數是1的二次根式提示：像（2）中除式是分數或分式時，先要轉化為乘法再進行運算.（1）;（2）.（1）（2）考點計算：解：（1）;（2）;（3）.（1）;（2）;（3）解:提示：類似(2)中被開方數中含有帶分數，應先將帶分數化成假分數，再運用二次根式除法法則進行運算.利用二次根式的除法法則計算根號外因數不是1的二次根式計算:（1）

;（2）.（1）;（2）考點計算，看誰算的既對又快.（1）（2）（3）（4）;;;.

觀察化簡結果

，這些數有什么特點呢？特點被開方數中都不含分母，也不含能開得盡的因數或因式.學生活動五

【探究最簡二次根式】

一般地，被開方數不含分母，也不含能開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式.

最簡二次根式

下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？解：(1)不是，因為被開方數是小數（即含有分母）.(2)不是，因為被開方數含有分母.(3)是.(4)不是，因為被開方數32y中含有能開得盡方的因數16，16=42.(5)不是，因為分母中有二次根式.解：(1)

例

化簡：(1)；(2)；(3).(2)(3)化簡時，通常要求最終結果中分母不含有根號，而且各個二次根式是最簡二次根式.例

下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是最簡二次根式？不是最簡二次根式的，請說明理由．解：(1)不是，因為被開方數中含有分母．(3)不是,因為被開方數是小數(即含有分母)．(4)不是，因為被開方數24x中含有能開得盡方的因數4，4＝22.(5)不是，因為x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x

＋3)2，被開方數中含有能開得盡方的因式．(6)不是,因為分母中有二次根式．識別最簡二次根式(2)是．方法點撥判斷一個二次根式是否是最簡二次根式的方法：利用最簡二次根式需要同時滿足的兩個條件進行判斷：(1)被開方數不含分母，即被開方數必須是整數(式)；(2)被開方數不含能開得盡方的因數(式)，即被開方數中每個因數(式)的指數都小于根指數2；另外還要具備分母中不含二次根式的條件．

你是怎么發現

的被開方數含有開得盡方的因數的？

你是怎么判斷

是最簡二次根式的？

被開方數50是偶數，可寫成25×2的形式，25=52是一個完全平方數，是能開得盡方的因數.

中，根號內是整數，且不含有能開得盡方的因數，分母中又不含根號，所以是最簡二次根式.【方法總結】

本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示正數.典型例題1——化簡

針對練習計算：

典型例題2——計算

針對練習

1.要使式子有意義，a的取值范圍是（）。A.a≠0

B.a＞-2且a≠0

C.a＞-2或a≠0

D.a≥-2且a≠0

2．下列式子一定是二次根式的是（）。A．

B．

C．

D．3.下列根式中，不是最簡二次根式的是（）。A．

B．

C． D．基礎鞏固題DCC4.

計算：解：

基礎鞏固題（1）;（2）.（1）=12×13=156;（2）=a2.

5.

化簡：解：若被開方數是小數，則先將其化為分數，再化簡．提示：基礎鞏固題1.若，則（）。

A．x≥6