不等式、推理與證明第七章第6講數(shù)學(xué)歸納法【考綱導(dǎo)學(xué)】1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷11．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取__________________時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)________時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．第一個(gè)值n0(n0∈N*)

n＝k＋12．(2018年岳陽模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2＋1對(duì)于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取(

)A．2

B．3

C．5

D．6【答案】C4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝________時(shí)，命題亦真．1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1.2．推證n＝k＋1時(shí)一定要用上n＝k時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法．3．解“歸納—猜想—證明”題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算出前若干具體項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ)．否則將會(huì)做大量無用功．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立．(

)(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明．(

)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用．(

)(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)．(

)(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23.(

)(6)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí)，n0＝3.(

)××××√√課堂考點(diǎn)突破2用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【規(guī)律方法】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少．(2)由n＝k時(shí)等式成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法．【跟蹤訓(xùn)練】1．求證：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．【證明】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝2，右邊＝2，故等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．由(1)(2)可知，對(duì)所有n∈N*等式成立．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【規(guī)律方法】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題：(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明方法．整除問題【規(guī)律方法】在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，對(duì)于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn)：(1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證n＝k＋1時(shí)，必須用上歸納假設(shè)．【跟蹤訓(xùn)練】3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－(3＋x)n(n∈N*，x∈Z)能被x＋2整除．歸納—猜想—證明【考向分析】數(shù)學(xué)歸納法是證明數(shù)學(xué)命題的一種重要方法，此類問題經(jīng)常是利用歸納—猜想—證明的思路進(jìn)行解決，考查學(xué)生的歸納猜想及論證能力．常見的考向：(1)與函數(shù)關(guān)系式有關(guān)的證明；(2)與數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式有關(guān)的證明；(3)存在性問題的證明．【規(guī)律方法】(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性．(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題．課后感悟提升31種方法——尋找遞推關(guān)系的方法(1)在第一步驗(yàn)證時(shí)，不妨多計(jì)算幾項(xiàng)，并爭取正確寫出來，這樣對(duì)發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的．(2)探求數(shù)列通項(xiàng)公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n處在哪個(gè)位置．(3)在書寫f(k＋1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)．除此之外，多了哪些項(xiàng)，少了哪些項(xiàng)都要分析清楚．3個(gè)注意點(diǎn)——運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意的三個(gè)問題(1)第一步驗(yàn)證n＝n0