6.3.4平面向量數乘運算的坐標表示第六章

平面向量及其6.3平面向量基本定理及坐標表示整體感知[學習目標]

1．掌握平面向量數乘運算的坐標表示．2．理解用坐標表示的平面向量共線的條件．3．能根據平面向量的坐標，判斷向量是否共線．[討論交流]

預習教材P31－P33的內容，思考以下問題：問題1．兩向量共線的充要條件是什么？問題2．如何利用向量的坐標表示兩個向量共線？[自我感知]經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．探究建構探究1平面向量數乘運算的坐標表示探究問題1當a＝(x，y)時，2a如何表示？[提示]

法一：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)．法二：a＝xi＋yj，∴2a＝2xi＋2yj，即2a＝(2x，2y)．[新知生成]已知a＝(x，y)，則λa＝_________，這就是說，實數與向量的積的坐標等于用這個實數____________________．(λx，λy)乘原來向量的相應坐標【鏈接·教材例題】例6已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求3a＋4b的坐標．[解]

3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．4

反思領悟

平面向量坐標運算的技巧(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的坐標運算進行計算．(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．(3)向量的線性運算可完全類比數的運算進行．

探究2平面向量共線的坐標表示及其應用探究問題2已知a，b兩向量，則兩個向量共線的條件是什么？如何用坐標表示兩個向量共線？[提示]

設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，由a，b共線的充要條件是存在實數λ，使a＝λb，則有(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即消去λ，得x1y2－x2y1＝0．[新知生成]設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．向量a，b(b≠0)共線的充要條件是_________________．x1y2－x2y1＝0【鏈接·教材例題】例7已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y．[解]

因為a∥b，所以4y－2×6＝0．解得y＝3．4例8已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷A，B，C三點之間的位置關系．[解]

在平面直角坐標系中作出A，B，C三點(圖6.3-15)．觀察圖形，我們猜想A，B，C三點共線．下面來證明．

反思領悟

三點共線的實質與證明步驟(1)實質：三點共線問題的實質是向量共線問題．兩個非零向量共線只需滿足方向相同或相反，兩個向量共線與兩個向量平行是一致的．(2)證明步驟：利用向量平行證明三點共線需分兩步完成，①證明向量平行；②證明兩個向量有公共點．[學以致用]

2．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？[解]法一：(向量共線定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．

4【鏈接·教材例題】例9設P是線段P1P2上的一點，點P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)．(1)當P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；(2)當P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標．

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4反思領悟

處理此類分點問題的關鍵是建立等量關系，然后借助向量的坐標運算求解，當遇到選擇、填空題也可以直接套用公式求解．

243題號1應用遷移

√B

[利用平面向量共線的充要條件可知，只有B滿足題意．]23題號142．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c滿足3a－2b＋c＝0，則c＝(

)A．(－23，－12) B．(23，12)C．(7，0) D．(－7，0)√A

[因為a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c滿足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．]23題號41

√243題號14．(2021·全國乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝________．

1．知識鏈：(1)平面向量數乘運算的坐標表示．(2)兩個向量共線的坐標表示．(3)有向線段的定比分點坐標公式及應用．2．方法鏈：轉化與化歸、分類討論法．3．警示牌：注意不要記錯兩個向量共線的坐標表示的公式．回顧本節知識，自主完成以下問題：1．若a＝(