中考數學一模試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（4分）在0，﹣2，?5，πA．0 B．﹣2 C．?5 D．2．（4分）我國的北斗衛星導航系統中有一顆中高軌道衛星高度大約是21500000米．將數21500000用科學記數法表示為（）A．2.15×107 B．0.215×109 C．2.15×108 D．21.5×1073．（4分）篆刻是中華傳統藝術之一，雕刻印章是篆刻基本功．如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為（）A． B． C． D．4．（4分）如圖，直線a∥b，將直角三角板的直角頂點放在直線b上，已知∠1＝55°，則∠2的度數為（）A．35° B．45° C．55° D．125°5．（4分）有理數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，下列各式不正確的是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．﹣a﹣b＜0 D．|a|＞b6．（4分）2024年7月，第33屆夏季奧林匹克運動會（The33rdSummerOlympicGames）在法國巴黎舉辦．下面是巴黎奧運會一些項目圖標，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．7．（4分）某博物館開展“文化講解員”招募活動．兩位同學分別從“恐龍化石展”、“礦物世界展”、“海洋貝類展”、“動物遷徙展”四個展廳中隨機選擇一個進行講解，則兩位同學選擇同一個展廳的概率為（）A．16 B．14 C．138．（4分）如圖，正方形ABCD的頂點B在x軸上，點A，點C在反比例函數y=kx（k＞0，x＞0）圖象上，若直線BC的函數表達式為y=1A．6 B．12 C．16 D．249．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，分別以點A和B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交BC于點D，連接AD，再以點A為圓心，以AD的長為半徑作弧交射線BC于點E，連接AE．若AD＝4，則A．25+2 B．25+1 C．10．（4分）在平面直角坐標系中，對于點P（x1，y1）和點Q（x2，y2），若滿足x1+x2＝y1+y2，我們稱點P和點Q互為等和點．下列結論：①若點P坐標為（1，3），則點P的等和點Q在直線y＝x﹣2上；②若點P、Q分別在函數y＝x2﹣x、y＝x+1的圖象上，點P和Q互為等和點，則點P的坐標為（1，0）；③若點P坐標為（﹣3，2），則無論a取何值，直線y＝ax﹣3a+1上有且只有一個點是點P的等和點；④若點P坐標為（n，0），則二次函數y＝﹣x2﹣nx+1的圖象上總存在點P的等和點．其中，正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分。）11．（4分）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構成．向游戲板隨機投擲一枚飛鏢（每次飛鏢均落在紙板上），擊中陰影區域的概率是．12．（4分）化簡a?2a+3?a13．（4分）我國古代園林連廊常采用八角形的窗戶設計，如圖1所示，其輪廓是一個正八邊形，從窗戶向外觀看，景色宛如鑲嵌于一個畫框之中．圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個外角∠1的大小為°．14．（4分）隨著人工智能的發展，智能機器人送餐成為時尚．如圖，某餐廳的機器人聰聰和慧慧，他們從廚房門口出發，準備給客人送餐，聰聰比慧慧先出發，且速度保持不變，慧慧出發一段時間后將速度提高到原來的3倍．設聰聰行走的時間為x（s），聰聰和慧慧行走的路程分別為y1（cm），y2（cm），y1，y2與x的函數圖象如圖所示，則慧慧追上聰聰時，聰聰行走的路程是cm．15．（4分）如圖，在?ABCD中，點P是邊AD上一點，將△PDC沿直線PC折疊，點D的對應點為E．當點E恰好落在AB邊上時，若AP＝2，PD＝3，DC＝13，則AE的長為．三、解答題（本大題共10個小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）16．（7分）計算：(π?5)017．（7分）解不等式組：1218．（7分）如圖，四邊形ABCD是菱形，BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F．求證：DE＝DF．19．（8分）如圖1是某路政部門正在維修路燈的實物圖片，圖2是平面示意圖．路燈AB和汽車折臂升降機的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它們之間的水平距離BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE與下折臂DE的夾角∠AED＝88°，下折臂DE與折臂底座的夾角∠CDE＝135°，下折臂端點E到地面MN距離是4.5m．（1）求下折臂DE的長；（2）求路燈AB的高．（結果精確到0.1m，參考數據：sin43°＝0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，220．（8分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點F，過點A作AD⊥CF，交直線CF于點D，交⊙O于點E．（1）求證：AC平分∠BAD；（2）若CD＝2，AD＝4，求線段AF的長．21．（9分）某研究所甲、乙試驗田各有水稻稻穗5萬個，為了考查水稻穗長的情況，研究員于同一天在這兩塊試驗田里分別隨機抽取了50個稻穗進行測量，獲得了它們的長度x（單位：cm），并對數據（穗長）進行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．甲試驗田穗長的頻數分布統計表如表1所示（不完整）：b．乙試驗田穗長的頻數分布直方圖如圖所示：甲試驗田穗長頻數分布表（表1）分組/cm頻數頻率4.5≤x＜540.085≤x＜5.5n5.5≤x＜6140.286≤x＜6.5110.226.5≤x＜7m0.207≤x＜7.52合計501.00c．乙試驗田穗長在6≤x≤6.5這一組的是：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4d．甲、乙試驗田穗長的平均數、中位數、眾數、方差如下（表2）：試驗田平均數中位數眾數方差甲5.9245.85.80.454乙5.924w6.50.608根據以上信息，回答下列問題：（1）表1中m的值為，n的值為；（2）表2中w的值為；（3）在此次考查中，穗長為5.9cm的稻穗，穗長排名（從長到短排序）更靠前的試驗田是；稻穗生長（長度）較穩定的試驗田是；（4）若穗長在5.5≤x＜7范圍內的稻穗為“良好”，請估計乙試驗田所有“良好”的水稻約為多少萬個？22．（10分）某文教店老板到批發市場選購A、B兩種品牌的繪圖工具套裝，每套A品牌套裝進價比B品牌每套套裝進價多2.5元，已知用200元購進A種套裝的數量和用150元購進B種套裝的數量相同．（1）求A、B兩種品牌套裝每套進價分別為多少元？（2）若A品牌套裝每套售價為12元，B品牌套裝每套售價為10.5元，店老板決定，購進B品牌的數量比購進A品牌的數量的2倍還多4套，兩種工具套裝全部售出后，要使總的獲利超過120元，則最少購進A品牌工具套裝多少套？23．（10分）如圖，一次函數y=12x+b的圖象與反比例函數y=kx（k＞0）的圖象分別交于點A（4，m）和點B（n，﹣2），且與（1）求一次函數和反比例函數的解析式；（2）如圖1，將直線y=12x+b向上平移d（d＞0）個單位，平移后的直線與y=kx（k＞0）的圖象在第一象限交于點P，若S△PCA（3）如圖2，Q是第二象限內一點，∠QCO＝45°，連接QB，將△QCB繞點O順時針旋轉90°，點Q的對應點恰好落在該反比例函數圖象上，求點Q的坐標．24．（12分）拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）交x軸于A（﹣1，0），B兩點（B在A）的右側，交y軸于點C(0，?5（1）求此拋物線的表達式；（2）如圖1，連接BC，過動點M作MD⊥BC，垂足為點D，連接CM．當DM=545（3）如圖2，過動點M作BC的平行線交y軸于點N，若射線AC平分線段MN，求點M的坐標．25．（12分）（一）模型呈現（1）如圖1，點A在直線l上，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥l于點C，過點D作DE⊥l于點E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC＝，BC＝．我們把這個數學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（二）模型體驗（2）如圖2，在△ABC中，點D為AB上一點，DE＝DF＝3，∠A＝∠EDF＝∠B，四邊形CEDF的周長為10，△ABC的周長為18．小誠同學發現根據模型可以推理得到△ADE≌△BFD，進而得到AE＝BD，AD＝BF，那么AB＝AE+BF，再根據題目中周長信息就可得AB＝；（三）模型拓展（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．請猜想線段DE，AD，BE之間的數量關系，并寫出證明過程；（四）模型應用（4）如圖4，已知在矩形ABCD中，AB＝14，BC＝7，點E在CD邊上，且DE＝4．P是對角線AC上一動點，Q是邊AD上一動點，且滿足sin∠EPQ=255，當P在AC上運動時，請求線段AQ

一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案C．ADACBBDCB一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．【答案】C．【解答】解：∵?5＜?2＜0＜∴最小的數是：?5故選：C．2．【答案】A【解答】解：21500000＝2.15×107．故選：A．3．【答案】D【解答】解：俯視圖為是．故選：D．4．【答案】A【解答】解：如圖：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝55°，∵∠BAC＝90°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠BAC＝35°，故選：A．5．【答案】C【解答】解：由數軸可知，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，a﹣b＜0，﹣a﹣b＞0，|a|＞b，∴C選項錯誤，故選：C．6．【答案】B【解答】解：A、C、D中的圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故A、C、D不符合題意；B、圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B符合題意．故選：B．7．【答案】B【解答】解：將“恐龍化石展”、“礦物世界展”、“海洋貝類展”、“動物遷徙展”四個展廳分別記為A，B，C，D，列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種等可能的結果，其中兩位同學選擇同一個展廳的結果有4種，∴兩位同學選擇同一個展廳的概率為416故選：B．8．【答案】D【解答】解：在y=12x﹣4中，令y＝0，則令x＝0，則y＝﹣4，∴B（8，0），G（0，﹣4），∴OB＝8，OG＝4，過A作AE⊥x軸于E，過C作CF⊥x軸于F，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△AEB與△BFC中，∠AEB=∠BFC=90°∠BAE=∠FBC∴△AEB≌△BFC（AAS），∴AE＝BF，BE＝CF，∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，∴△OBG∽△FBC，∴CFBF∴設CF＝a，BF＝2a，∴AE＝2a，BE＝a，∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），∵點A，點C在反比例函數y=kx（k＞0，∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），∴a＝2，a＝0（不合題意舍去），∴A（6，4），∴k＝4×6＝24，故選：D．9．【答案】C【解答】解：由作圖過程可知，直線MN為線段AB的垂直平分線，AE＝AD＝4，∴CD＝CE，∠ADE＝∠AED，AD＝BD＝4，∴∠B＝∠BAD＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝∠B+∠BAD＝72°，∴∠EAB＝180°﹣∠B﹣∠BEA＝72°，∴∠ADE＝∠BAE．∵∠AED＝∠BEA，∴△AED∽△BEA，∴AEBE即AE2＝BE?DE．設CD＝CE＝x，則BE＝BD+DE＝4+2x，DE＝2x，∴42＝（4+2x）?2x，解得x=5?1或∴CD=5∴BC＝BD+CD＝4+5故選：C．10．【答案】B【解答】解：∵點P坐標為（1，3），且點Q和點P互為等和點，∴xQ+1＝yQ+3．∴yQ＝xQ﹣2，∴點Q在直線y＝x﹣2上，故①正確．令點P坐標為（，2﹣）點Q坐標為（xQ，xQ+1），∵點P與點Q互為等和點，∴∴xP＝1．∴點P坐標為（1，0），故②正確．令點P的等和點坐標為（m1，n1），∴m1﹣3＝n1+2，∴n1＝m1﹣5，即點P的等和點在直線y＝x﹣5上．當a＝1時，直線的解析式為y＝x﹣2，顯然直線y＝x﹣2與直線y＝x﹣5平行，∴點P的等和點此時一定不在直線y＝ax﹣3a+1上，故③錯誤．令點P的等和點坐標為（m2，n2），∴m2+n＝n2，即點P的等和點在直線y＝x+n上．由﹣x2﹣nx+1＝x+n得，x2+（n+1）x+n﹣1＝0，∴Δ＝（n+1）2﹣4（n﹣1）＝n2+2n+1﹣4n+4＝（n﹣1）2+4＞0，∴此方程一定有兩個不相等的實數根，即二次函數y＝﹣x2﹣nx+1圖象上總存在點P的等和點，故④正確．故選：B．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分。）11．【答案】49【解答】解：設小正方形的面積為a，∵飛鏢游戲板由大小相等的9個小正方形格子構成，∴飛鏢游戲板的面積為9a，陰影區域的面積為4a，∴隨意投擲一個飛鏢，擊中陰影區域的概率為4a9a故答案為：4912．【答案】aa+2【解答】解：a?2=a?2=a故答案為：aa+213．【答案】45．【解答】解：∵正八邊形的每一個外角都相等，外角和為360°，∴它的一個外角∠1＝360°÷8＝45°．故答案為：45．14．【答案】240．【解答】解：∵30÷（17﹣14）＝10（cm/s），∴慧慧提速前速度為10cm/s，提速后速度為30cm/s；∵（450﹣30）÷30＝14（秒），∴m＝17+14＝31，∴聰聰的速度為310÷31＝10（cm/s），∴y1＝10x（0≤x≤45），當17≤x≤31時，y2＝30+30（x﹣17）＝30x﹣480，慧慧追上聰聰時，y1＝y2，即10x＝30x﹣480，解得x＝24，此時y1＝10×24＝240；故答案為：240．15．【答案】133【解答】解：延長CP與BA點F，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD＝13，∴CD∥AB，∴∠F＝∠DCP，由折疊的性質得：∠DCP＝∠ECP，CD＝CE＝13，∴∠F＝∠ECP，∴EF＝CE＝13，設AE＝a，∴AF＝EF﹣AE＝13﹣a，∵CD∥AB，∴CD∥AF，∴△PCD∽△PFA，∴CDAF∵AP＝2，PD＝3，∴1313?a解得：a=13∴AE＝a=13故答案為：133三、解答題（本大題共10個小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）16．【答案】32【解答】解：原式=1+2＝1+2=3217．【答案】﹣6．【解答】解：12解：解不等式①得，x＜1，解不等式②得，x＞﹣4，∴不等式組的解集為﹣4＜x＜1，∴不等式組所有整數解為：﹣3、﹣2、﹣1，0．∴所有整數解得和為﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣6．18．【答案】見解析．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BA＝BC＝AD＝DC，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，在△ABE與△CBF中∠BEA=∠BFC∠A=∠C∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF∴AD﹣AE＝DC﹣CF，即DE＝DF．19．【答案】（1）下折臂DE的長約為4.2m；（2）路燈AB的高約為9.2m．【解答】解：（1）過點E作EG⊥MN于點G，過點D作DH⊥EG于點H，∴HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°，∴EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3，∵∠CDE＝135°，∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°．∴在Rt△EHD中，ED=32答：下折臂DE的長約為4.2m．（2）過點E作EK⊥AB，垂足為K．∵EK∥HD，∴∠KED＝∠EDH＝45°．∵∠AED＝88°，∴∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°，∵GC＝HD＝3，BC＝2，∴BG＝5，由題意可得四邊形EGBK是矩形，∴EK＝5，KB＝4.5，在Rt△AEK中，tan43°=AK∴AK＝EK?0.93°≈5×0.93＝4.65．∴AB＝KB+AK＝4.5+4.65＝9.15≈9.2（m）．答：路燈AB的高約為9.2m．20．【答案】（1）證明見解析；（2）203【解答】（1）證明：連接OC，∵FC與⊙O相切于點C，∴FC⊥OC，即∠FCO＝90°，∵AD⊥CF，∴∠ADF＝90°，∴∠FCO＝∠ADF，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠CAD，∴AC平分∠BAD；（2）解：∵CD＝2，AD＝4，∴AC=25∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠D＝90°，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴ABAC∴AB2∴AB＝5，∴OA＝OC＝2.5，∵∠FCO＝∠D，∠F＝∠F，∴△FCO∽△FDA，∴FOFA∴AF?2.5AF∴AF=2021．【答案】（1）10，0.18；（2）6.15；（3）甲，甲；（4）估計乙試驗田所有“良好”的水稻約為3萬個．【解答】解：（1）m＝50×0.2＝10，7≤x＜7.5這一組的頻率為2÷50＝0.04，∴n＝1﹣（0.08+0.28+0.22+0.20+0.04）＝0.18，故答案為：10，0.18；（2）表2中w的值為6.1+6.22故答案為：6.15；（3）穗長為5.9cm的稻穗在甲試驗田在中位數之前，在乙試驗田中在中位數之后，所以穗長排名（從長到短排序）更靠前的試驗田是甲，因為甲試驗田的稻穗長度的方差小，所以稻穗生長（長度）較穩定的試驗田是甲，故答案為：甲、甲；（4）5×7+9+14答：估計乙試驗田所有“良好”的水稻約為3萬個．22．【答案】（1）A品牌套裝每套進價為10元，B品牌套裝進價為7.5元；（2）最少購進A品牌工具套裝14套．【解答】解：（1）設A品牌套裝每套進價為x元，則B品牌套裝進價為（x﹣2.5）元，由題意得：200x解得：x＝10，經檢驗，x＝10是原方程的解，且符合題意，∴x﹣2.5＝7.5，答：A品牌套裝每套進價為10元，B品牌套裝進價為7.5元；（2）設購進A品牌套裝m套，則購進B品牌套裝（2m+4）套，由題意得：（12﹣10）m+（10.5﹣7.5）（2m+4）＞120，解得：m＞13.5，∵m為正整數，∴m的最小值為14，答：最少購進A品牌工具套裝14套．23．【答案】（1）y=6（2）2.5；（3）點Q的坐標為（﹣2，3）．【解答】解：（1）由點C（1，0）在一次函數y=12x+b一次函數的表達式為y=1由點A（4，m）在直線y=12x?∴A(4，3把A(4，32)得k＝6，∴反比例函數的表達式為y=6（2）作PD∥y軸交直線AB于點D，∵S△PCA∴12∴12∴PD=5∴d=PD=5（3）連接OQ，設點Q的對應點為點G，過點G作GN⊥x軸于N，過點Q作QM⊥x軸于M，由旋轉的性質可知：OQ＝OG，∠QOG＝90°，∴∠GON+∠QOM＝90°，∵QM⊥x軸，GN⊥x軸，∴∠QMO＝∠GNO＝90°，∴∠OQM+∠QOM＝90°，∴∠OQM＝∠GON，∴△QOM≌△OGN（AAS），∴QM＝ON，OM＝GN，∵點C（1，0），∠QCO＝45°，∴OC＝1，△QMC為等腰直角三角形，設OM＝t，則CM＝QM＝t+1，∴ON＝QM＝t+1，GN＝OM＝t，∴點G的坐標為（t+1，t），∵點G（t+1，t）在反比例函數y=6∴t（t+1）＝6，解得：t1＝2，t2＝﹣3（不合題意，舍去），當t＝2時，t+1＝3，∴點Q的坐標為（﹣2，3）．24．【答案】（1）y=1（2）MC=25（3）M(2，?9【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2x+c過A(?1，0)，C(0，?5∴a+2+c=0c=?解得：a=1∴拋物線解析式為：y=1（2）∵拋物線y=12x2?2x?52∴B（5，0），∴BC解析式為：y=1如圖，過M點作ME⊥x軸，垂足為E，交BC于點M′，∵DM⊥BC，∴∠DMM′＝OBC，又∵∠BOC＝∠MDM′＝90°，∴△MDM′∽△BOC，∴DMMM′又∵DM=5∴MM’=25設M(m，12m∴12解得：m1∴M(5∵C(0，?5∴MC=25（3）∵A(?1，0)，C(0，?5∴AC解析式為：y=?5過M作y軸平行線交射線AC于點F，∵射線AC平分MN，設M(n，12n∴FM==1過M作y軸垂線，垂足為H，∵MN∥BC，∴∠OCB＝∠HNM，∴tan