第3講二項式定理計數原理、概率、隨機變量及其分布第十章

(本講對應系統復習P273)課標要求考情概覽1.能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題考向預測：從近三年高考情況來看，本講為每年高考的常考知識點.預測本年度將會考查：①求二項式的特定項或項的系數；②求二項式系數的最大項或二項式系數的和；③與其他知識進行綜合考查.題型以客觀題形式考查，難度不大，屬中、低檔題型.學科素養：主要考查數學抽象、數學運算的素養欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11.二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝

；(2)通項公式：Tk＋1＝

，它表示第k＋1項；

(3)二項式系數：二項展開式中各項的系數為

.

2.二項式系數的性質

性質性質描述對稱性在二項展開式中與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即

增減性最大值

2n

2n－1

1.(教材習題改編)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展開式中，含x3的項的系數是(

)A.74B.121

C.－74D.－121

2.(2023年北京三模)已知(x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1＋a2＋…＋a10＝(

)A.210B.0C.1D.－1

DD

D

AC

－28

重難突破能力提升2求展開式中的項或項的系數

示通法求二項式展開式中的項或項的系數，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零，求有理項時，指數為整數等)解出項數r＋1，代回通項公式即可.考向1幾個多項式和的展開式中的特定項

D

考向2幾個多項式積的展開式中的特定項

(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數是(

)A.56B.84C.112D.168

D

考向3三項展開式中特定項

(2023年鄭州模擬)2x－x4的展開式中的常數項與x－1x2＋a3展開式中的常數項相等，則a的值為(

)A.－3B.－2C.2D.3D

【解題技巧】二項式展開式問題的常見題型及其解法：(1)求幾個多項式積的特定項：可先分別化簡或展開為多項式和的形式，再分類考慮特定項產生的每一種情形，求出相應的特定項，最后進行合并即可.(2)求幾個多項式和的特定項：先分別求出每一個多項式中的特定項，再合并，通常要用到方程或不等式的知識求解.(3)三項展開式特定項：①通常將三項式轉化為二項式積的形式，然后利用多項式積的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法求解；②將其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式展開，然后再分類考慮特定項產生的所有可能情形.

C

D

2

二項式系數的和與各項系數的問題

C

ABD

二項式定理的應用

(1)(2022年荊門模擬)若今天(第一天)是星期二，則第1510天是(

)A.星期三B.星期日C.星期二D.星期五(2)利用二項式定理計算1.056，則其結果精確到0.01的近似值是(

)A.1.23B.1.24C.1.33D.1.34C

D

【解題技巧】二項式定理應用的題型及解法：(1)在證明整除問題或求余數問題時要進行合理的變形，使被除式(數)展開后的每一項都含有除式的因式.(2)二項式定理的一個重要用途是做近似計算：當n不是很大，|x|較小時，(1＋x)n≈1＋nx.

C

B

素養微專直擊高考3

典例精析C

【點評】通項公式法即利用二項式展開式的通項公式，根據題意，對相應的指數進行賦值，從而解決指定項問題的方法，此方法適用于已知二項式，求常數項、指定項的系數等問題.破解此類題的關鍵點：①求通項，根據二項式(a＋b)n的展開式的通項公式整理出Tr＋1＝m·xf(r).②找方程，依題設條件中的指定項的相關信息，尋找關于r的方程.③解方程，通過解方程，求出r的值.④得結論，把r的值代入通項公式，得結論.1.(2022年廣西模擬)(2x2－1)(2x＋1)n展開式的各項的系數之和為243，則展開式