第5講古典概型計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第十章

(本講對應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)P282)課標(biāo)要求考情概覽1.理解古典概型及其概率計算公式，能計算一些隨機事件包含基本事件及其事件發(fā)生的概率(重點、難點).2.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率考向預(yù)測：從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點之一.預(yù)測本年度將會考查：①古典概型的基本計算；②古典概型與其他知識相結(jié)合.題型以解答題為主，也可出選擇題、填空題，以實際或數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的材料為背景考查，試題難度中等.學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03配套訓(xùn)練02重難突破

能力提升基礎(chǔ)整合自測糾偏11.基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是

的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成

的和.

互斥

基本事件

有限個

相等

古典概率

古典概型

【特別提醒】古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個數(shù)時，它們是等可能的.

C

D

D

ABD5.(2022年乙卷)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

.

一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性.并不是所有的試驗都是古典概型，下列三類試驗不是古典概型：(1)基本事件個數(shù)有限，但非等可能；(2)基本事件個數(shù)無限，但等可能；(3)基本事件個數(shù)無限，也不等可能.重難突破能力提升2古典概型的判斷

袋中有大小相同的3個白球、2個紅球、2個黃球，每個球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中隨機摸出一個球.(1)把每個球的編號看作一個樣本點建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的顏色作為劃分樣本點的依據(jù)，有多少個樣本點？以這些樣本點建立的概率模型是不是古典概型？解：(1)因為樣本點個數(shù)有限，而且每個樣本點發(fā)生的可能性相同，所以是古典概型.(2)把球的顏色作為劃分樣本點的依據(jù)，可得到“取得一個白色球”“取得一個紅色球”“取得一個黃色球”，共3個樣本點.這些樣本點個數(shù)有限，但“取得一個白色球”的概率與“取得一個紅色球”或“取得一個黃色球”的概率不相等，即不滿足等可能性，故不是古典概型.【解題技巧】判斷一個試驗是古典概型的步驟如下：(1)明確試驗及其結(jié)果.(2)判斷所有結(jié)果(樣本點)是否有限.(3)判斷有限個結(jié)果是否等可能出現(xiàn)，這需要有日常生活的經(jīng)驗.另外，題目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的語言.③

【變式精練】1.(2023年朔州月考)下列概率模型：①在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點中任取一點；②某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)；③某小組有男生5人、女生3人，從中任選1人做演講；④一只使用中的燈泡的壽命長短；⑤中秋節(jié)前夕，某市工商部門調(diào)查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)量，給該品牌月餅評“優(yōu)”或“差”.其中屬于古典概型的是

.

【解析】①不屬于，原因是所有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點有無限多個，不滿足有限性；②不屬于，原因是命中0環(huán)，1環(huán)，…，10環(huán)的概率不一定相同，故不滿足等可能性；③屬于，原因是滿足有限性，且任選1人與性別無關(guān)，是等可能的；④不屬于，原因是燈泡的壽命是任何一個非負(fù)實數(shù)，有無限多種可能，不滿足有限性；⑤不屬于，原因是該品牌月餅被評為“優(yōu)”或“差”的概率不一定相同，不滿足等可能性.古典概型的概率

D

B

2.古典概型中樣本點個數(shù)的探求方法：

枚舉法適合樣本點個數(shù)較少且易一一列舉的問題樹狀圖法適用于較為復(fù)雜的問題中樣本點個數(shù)的探求，尤其是有序問題排列、組合法在求解一些較為復(fù)雜的問題時，可利用排列、組合知識求出樣本點個數(shù)

A

古典概型的交匯問題

示通法解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算.

②當(dāng)A為第二類點，顯然不存在這樣的點.③當(dāng)A為第三類點，以2號點為例，有5種圖示：

D

考向3古典概型與統(tǒng)計相結(jié)合

(2023年濟南調(diào)研)某學(xué)校團委組織了一次“奧運會”知識講座活動，活動結(jié)束后隨機抽取120名學(xué)生對講座情況進行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為1∶1，抽取的學(xué)生中男生有40名對講座活動滿意，女生中有30名對講座活動不滿意.(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.10的獨立性檢驗，能否以此推斷對講座活動是否滿意與性別有關(guān)；性別滿意情況

合計滿意不滿意男生

女生

合計

120

α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

性別滿意情況合計滿意不滿意男生402060女生303060合計7050120

B

化事件—將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件辨概型—判斷事件是否是古典概型列事件—選用合適的方法列舉基本事件求概率—代入相應(yīng)的概率公式求解

↓

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↓【解題技巧】求古典概型交匯問題的解題流程：【變式精練】3.(1)從集合{1，2，4}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{2，4，5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(2，－1)垂直的概率為

.

(2)已知a∈{－2，0，1，2，3}，b∈{3，5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是

.

(3)飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎(chǔ)，全民積極維護飲用水水源安全，保障安全飲水，同時國家提倡節(jié)約用水.某校開展了“節(jié)約用水，從我做起”活動，從參賽的學(xué)生中隨機選取100人的成績作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖.頻率分布直方圖中a的值為