第頁2025年高考數學總復習《數列》專項測試卷及答案（考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是數列的前n項和，若，，則（

）A．數列是等比數列 B．數列是等差數列C．數列是等比數列 D．數列是等差數列2．意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：，其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列稱為“斐波那契數列”．若把該數列的每一項除以所得的余數按相對應的順序組成新數列，則數列的前項和是（

）A． B． C． D．3．已知等比數列的前項積為，若，則（

）A． B． C． D．4．已知數列的前n項和為，，，則（

）A． B．C． D．5．已知數列通項公式為，若對任意，都有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知等差數列中，，公差，前項和為，則下列結論中錯誤的是（

）A．數列為等差數列B．當時，值取得最大C．存在不同的正整數，使得D．所有滿足的正整數中，當時，值最大7．若數列滿足（，為常數），則稱數列為調和數列.已知數列為調和數列，且，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．48．已知數列的首項，且，，則滿足條件的最大整數（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知數列中，，，則下列結論正確的是（

）A． B．是遞增數列 C． D．10．已知是等差數列的前n項和，且，，則下列選項正確的是（

）A．數列為遞減數列 B．C．的最大值為 D．11．已知數列滿足，，則的值可能為（

）A．1 B． C． D．12．對于任意非零實數x，y﹐函數滿足，且在單調遞減，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．為奇函數 D．在定義域內單調遞減第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．各項均為正數的等比數列的前項和為，且，，成等差數列，若，則．14．設數列的前項和為，且.請寫出一個滿足條件的數列的通項公式.15．已知數列滿足，，則．16．已知數列滿足，，記數列的前n項和為．若對于任意，不等式恒成立，則實數k的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）已知數列的前項和為，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)若數列，求數列的前項和．18．（12分）已知等差數列的前n項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)求證：．19．（12分）數列前項和滿足，數列滿足．(1)求數列和的通項公式；(2)對任意，將數列中落入區間內項的個數記為，求數列前項和．20．（12分）已知數列的前項和為，且滿足，．(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，求數列的前項和．21．（12分）已知等比數列的公比，且，首項，前n項和為.(1)若，且為定值，求q的值；(2)若對任意恒成立，求q的取值范圍.22．（12分）設數列的前n項和為，已知，.(1)證明數列為等比數列；(2)設數列的前n項積為，若對任意恒成立，求整數的最大值.參考答案第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是數列的前n項和，若，，則（

）A．數列是等比數列 B．數列是等差數列C．數列是等比數列 D．數列是等差數列【答案】C【解析】因①可得，當時，②，于是，由①-②可得：，即，可得，因，在中，取，可得，即，故數列不是等比數列，選項A，B錯誤；又因當時，都有，代入中，可得，整理得：，故數列是等比數列，即選項C正確，D錯誤.故選：C.2．意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：，其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列稱為“斐波那契數列”．若把該數列的每一項除以所得的余數按相對應的順序組成新數列，則數列的前項和是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，除以所得余數分別為；，即是周期為的周期數列，因為，，所以數列的前項和為.故選：C3．已知等比數列的前項積為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設等比數列的公比為，則，則，所以.故選：B.4．已知數列的前n項和為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，則，整理得，又，則，因此數列是首項為1，公差為1的等差數列，則，所以.故選：D.5．已知數列通項公式為，若對任意，都有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，恒成立，所以對恒成立，故，又當時，為單調遞增的數列，故要使對任意，都有，則，即，解得，綜上可得，故選:C6．已知等差數列中，，公差，前項和為，則下列結論中錯誤的是（

）A．數列為等差數列B．當時，值取得最大C．存在不同的正整數，使得D．所有滿足的正整數中，當時，值最大【答案】C【解析】，得，數列為等差數列，A正確；當的對稱軸為，因為，所以當時，值取得最大，B正確；因為當的對稱軸為，且，因此不存在整數對稱點，即不存在不同的正整數，使得，C錯誤；由題可知，，解得，，化簡可得，根據二次函數性質可知當時，取最大值，因為，所以當時，值最大，D正確.故選：C.7．若數列滿足（，為常數），則稱數列為調和數列.已知數列為調和數列，且，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】數列為調和數列,故，所以為等差數列，由，所以，故，所以，故，故，由于，當且僅當時等號成立，故的最大值為2，故選:B8．已知數列的首項，且，，則滿足條件的最大整數（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以數列是等比數列，首項為，公比為，所以，即，所以，而當時，單調遞增，又因為，且，所以滿足條件的最大整數.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知數列中，，，則下列結論正確的是（

）A． B．是遞增數列 C． D．【答案】BD【解析】由，可得，則，又由，可得，所以數列表示首項為，公比為的等比數列，所以，所以，由，所以A不正確；由，即，所以是遞增數列，所以B正確；由，所以C錯誤；由，，所以，所以D正確.故選：BD.10．已知是等差數列的前n項和，且，，則下列選項正確的是（

）A．數列為遞減數列 B．C．的最大值為 D．【答案】ABC【解析】設等差數列的公差為d，由于，，故，則，B正確；，則數列為遞減數列，A正確，由以上分析可知，時，，故的最大值為，C正確；，D錯誤，故選：ABC11．已知數列滿足，，則的值可能為（

）A．1 B． C． D．【答案】AD【解析】由可得，故或，當時，則，因此，故，若時，則為等比數列，且公比為，則故選：AD12．對于任意非零實數x，y﹐函數滿足，且在單調遞減，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．為奇函數 D．在定義域內單調遞減【答案】AC【解析】令，則，解得，故A正確；因為，即，所以是以為首項，2為公比的等比數列，故，故B錯誤；由題意，函數的定義域為，關于原點對稱，令，則，令代換，則，由兩式可得，化簡可得，所以為奇函數，故C正確；因為在單調遞減，函數為奇函數，可得在上單調遞減，但是不能判斷在定義域上的單調性，例如，故D錯誤.故選：AC第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．各項均為正數的等比數列的前項和為，且，，成等差數列，若，則．【答案】15【解析】設等比數列的公比為，因為，，成等差數列，所以，所以，因為，且各項均為正數，所以解得，所以.故答案為：1514．設數列的前項和為，且.請寫出一個滿足條件的數列的通項公式.【答案】（答案不唯一）【解析】因為，則數列遞減，又，即最大，所以符合．故答案為：（答案不唯一）15．已知數列滿足，，則．【答案】4082【解析】因為，所以，，又，所以，，因為，所以，兩式相減得，所以的所有奇數項成等差數列，首項為1，公差為4，的所有偶數項成等差數列，首項為3，公差為4，所以當n為奇數時，，當n為偶數時，，綜述：（），所以，所以.故答案為：4082.16．已知數列滿足，，記數列的前n項和為．若對于任意，不等式恒成立，則實數k的取值范圍為．【答案】【解析】由題設，而，則是首項、公比都為2的等比數列，所以，則，所以，則在上恒成立，要使不等式恒成立，只需，所以實數k的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）已知數列的前項和為，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)若數列，求數列的前項和．【解析】（1）因為，當時，，當時，，則，當時，不成立，所以.（2）由（1）可得，所以.18．（12分）已知等差數列的前n項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)求證：．【解析】（1）設數列的首項為，公差為.則.由，可得；（2）由（1），，則.故.19．（12分）數列前項和滿足，數列滿足．(1)求數列和的通項公式；(2)對任意，將數列中落入區間內項的個數記為，求數列前項和．【解析】（1），①，當時，，當時，②，兩式①-②得，即，其中，也滿足上式，故是以為首項，為公比的等比數列，故；；（2），令，解得，又，故，則，故，所以為等比數列，首項為，公比為3，所以.20．（12分）已知數列的前項和為，且滿足，．(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，求數列的前項和．【解析】（1）因為，時，,兩式相減得，

，，，，相乘得，所以，

當時符合上式，所以；（2），當為奇數時，.21．（12分）已知等比數列的公比，且，首項，前n項和為.(1)若，且為定值，求q的值；(2)若對任意恒成立，求q的取值范圍.【解析】（1）易知，若，且為定值，則當且僅當時，為定值－1.（2）因為，所以，當時，有，即