第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年浙江省杭州市杭四吳山中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(0,1)的直線傾斜角為(

)A.45° B.90° C.135° D.0°2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a5=10，a9=18，記S9A.a3=6，S9=90 B.a3=6，S9=94

C.3.拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A.(1,0) B.(2,0) C.(0,18)4.已知A(0,4,0)，B(3,0,0)，C(0,0,2)，則平面ABC的一個(gè)法向量可以為(

)A.(4,3,6) B.(?4,3,6) C.(4,?3,6) D.(4,3,?6)5.若雙曲線x2a2?y2b2A.y=±2x B.y=±2x C.y=±6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a3為2a2與A.22 B.12 C.7.已知點(diǎn)O(0,0)，點(diǎn)P滿足|PO|=1，則點(diǎn)P到直線x?my?4=0的距離的最大值為(

)A.2 B.4 C.3 D.58.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(4)=0，當(dāng)x>0時(shí)，有xf′(x)?f(x)<0恒成立，則不等式可xf(x)>0的解集為(

)A.(?4,0)∪(0,+∞) B.(?4,0)∪(0,4)

C.(?∞,?4)∪(4,+∞) D.(?∞,?4)∪(0,4)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知正方體ABCD?A1B1A.{DA,DC,DD1} 10.下列說法正確的有(

)A.直線傾斜角越大，斜率越大B.過點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)的直線方程是x?x1x1?x211.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E為棱BB1的中點(diǎn)，A.存在符合條件的點(diǎn)F，使得B1F//平面A1ED

B.不存在符合條件的點(diǎn)F，使得BF⊥DE

C.異面直線A1D與EC1所成角的余弦值為55

D.三棱錐F?12.曲線f(x)=ex?2x在點(diǎn)(0,1)13.數(shù)列an=18,n=114.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2a四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，已知在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB//CD，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=4，AD=DC=2，E是B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是16.(本小題12分)

已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

(1)證明{Snn}是等差數(shù)列；

(2)設(shè)Tn為數(shù)列{Sn17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實(shí)常數(shù))．

(1)若a=?1，求證：f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)；

(2)當(dāng)a=?4時(shí)，求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值與最小值及相應(yīng)的x值；

(3)若存在x∈[1,e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求實(shí)數(shù)18.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，其中一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)．

(1)求C的方程；

(2)過左焦點(diǎn)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在C上．

(i)若△PAB的重心G為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線AB的方程；

(ii)19.(本小題12分)

同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為：設(shè)a，b∈Z，m∈N?且m>1.若m|a?b則稱a與b關(guān)于模m同余，記作a≡b(modm)(“|”為整除符號(hào))．

(1)解同余方程x2?x≡0(mod3)；

(2)設(shè)(1)中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列{an}，其中a1<a2<a3<?<an．

①若bn=an+1?a參考答案1.B

2.A

3.D

4.A

5.B

6.B

7.D

8.B

9.AC

10.CD

11.ABD

12.x+y?1=0

13.?4

14.(15.解：(1)證明：由AA1⊥平面ABCD，AD⊥AB，

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA1為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由AB=AA1=4，AD=DC=2，E是B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD1的中點(diǎn)，

所以C(2,2,0)，D1(0,2,4)，E(3,1,4)，B1(4,0,4)，F(xiàn)(0,2,2)，A(0,0,0)，A1(0,0,4)，

所以D1E=(3,?1,0),CB1=(2,?2,4),CF=(?2,0,2)，

設(shè)平面CB1F的法向量為n=(x1,y1,z1)，

則n⊥CB1n⊥CF，所以n?CB1=2x1?2y1+4z1=016.(1)證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則Sn=na1+n(n?1)2d，

∴Snn=a1+(n?1)2d=d2n+a1?d2，則S11=a17.解：(1)證明：f′(x)=?1x+2x=2x2?1x，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

故f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)；

(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，

f′(x)=2x?4x=2(x2?2)x，

當(dāng)1≤x<2時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)2<x≤e時(shí)，f′(x)>0，

所以f(x)在[1,2)上單調(diào)遞減，在(2,e]上單調(diào)遞增，且f(1)=1<f(e)=e2?4，

所以當(dāng)x=2時(shí)，最小值為f(2)=2?2ln2，當(dāng)x=e時(shí)，最大值為f(e)=e2?4；

(3)由題設(shè)alnx+x2≤(a+2)x在x∈[1,e]上能成立，則x2?2x≤a(x?lnx)，

對(duì)于y=x?lnx，則在x∈[1,e]上，y′=1?1x≥0恒成立，

故y=x?lnx在[1,e]上單調(diào)遞增，且x=1時(shí)，y=1，即在[1,e]上x?lnx≥1恒成立，

所以a≥x2?2xx?lnx在x∈[1,e]上能成立，

令g(x)=x2?2xx?lnx且x∈[1,e]，

則g′(x)=2(x?1)(x?lnx)?(1?1x)(x18.解：(1)由題可得ca=1c=1b2=a2?c2，解得：a2=4b2=3，

所以C的方程為：x24+y23=1；

(2)(i)因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)為(?1,0)，直線AB的斜率不為零，

設(shè)直線AB的方程為x=my?1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，

聯(lián)立x=my?1x24+y23=1，消去x得：(3m2+4)y2?6my?9=0，

所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=?93m2+4，

因?yàn)?/p>