第十四章

整式的乘法與因式分解14.1.4整式的乘法第3課時整式的除法學習目標1.掌握同底數冪除法的運算法則并能正確計算.2.知道任何不等于0的數的0次冪都等于1.3.掌握單項式除以單項式及多項式除以單項式的

運算法則并能正確計算.木星的質量約是1.9×1024噸，地球的質量約是5.98×1021噸，你知道木星的質量約為地球質量的多少倍嗎?木星的質量約為地球質量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.想一想：上面的式子該如何計算?地球木星1.計算：(1)25×23=？(2)x6·x4=?(3)2m×2n=？28x102m+n本題直接利用同底數冪的乘法法則計算同底數冪的除法知識點1學生活動一

【一起探究】2.填空：(1)(

)(

)×23=28

(2)x6·(

)(

)=x10(3)(

)(

)×2n=2m+n25x42m本題逆向利用同底數冪的乘法法則計算相當于求28÷23=？相當于求x10÷x6=？相當于求2m+n÷2n=？3.觀察下面的等式，你能發現什么規律？(1)28÷23=25(2)x10÷x6=x4(3)2m+n÷2n=2m同底數冪相除，底數不變，指數相減=28–3=x10–6=2(m+n)–n4.試猜想：am÷an=?(m，n都是正整數，且m>n)am÷an=am–n

驗證：因為am–n

·an=am–n+n=am，所以am÷an=am–n.一般地，我們有

am

÷an=am–n(a≠0，m，n都是正整數，且m>n)

即同底數冪相除，底數不變，指數相減.想一想：am÷am=?(a≠0)同底數冪的除法想一想：am÷am=?(a≠0)答：am÷am=1，根據同底數冪的除法法則可得am÷am=a0.規定a0=1(a≠0)這就是說，除0以外任何數的0次冪都等于1.例1

計算：(1)x8÷x2;

(2)(ab)5÷(ab)2.解：(1)x8÷x2=x8–2=x6;

(2)(ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.素養考點1同底數冪除法法則的應用方法總結：計算同底數冪的除法時，先判斷底數是否相同或變形相同，若底數為多項式，可將其看作一個整體，再根據法則計算．

計算：(1)(–xy)13÷(–xy)8；(2)(x–2y)3÷(2y–x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.(3)原式＝(a2＋1)6–4–2＝(a2＋1)0＝1.解：(1)原式＝(–xy)13–8＝(–xy)5＝–x5y5；(2)原式＝(x–2y)3÷(x–2y)2＝x–2y；例2已知am＝12，an＝2，a＝3，求am–n–1的值．方法總結：解此題的關鍵是逆用同底數冪的除法，對am–n–1進行變形，再代入數值進行計算．解：∵am＝12，an＝2，a＝3，

∴am–n–1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.素養考點2同底數冪除法法則的逆運用

(1)已知xa=32，xb=4，求xa–b；解：xa–b=xa÷xb=32÷4=8；

(2)已知xm=5，xn=3，求x2m–3n.解：x2m–3n=(xm)2÷(xn)3=52

÷33=.

單項式除以單項式(1)計算：4a2x3·3ab2=

;(2)計算：12a3b2x3÷3ab2=

.12a3b2x3

知識點2學生活動二

【一起探究】(2)計算：12a3b2x3÷3ab2=

.4a2x3

解法2：原式=4a2x3·3ab2÷3ab2=4a2x3.理解：上面的商式4a2x3的系數4=12÷3；a的指數2=3–1，b的指數0=2–2，而b0=1，x的指數3=3–0.解法1：

12a3b2x3÷3ab2相當于求(

)·3ab2=12a3b2x3.

由(1)可知括號里應填4a2x3.單項式相除，

把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.

單項式除以單項式的法則理解商式＝系數?同底的冪

?被除式里單獨有的冪底數不變，指數相減.保留在商里作為因式.被除式的系數除式的系數例

計算：(1)28x4y2÷7x3y；(2)–5a5b3c÷15a4b.=4xy；(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c解:(1)原式=(28÷7)x4–3y2–1=ab2c.單項式除法以單項式法則的應用素養考點多項式除以單項式要按照法則逐項進行，不得漏項，并且要注意符號的變化.下列計算錯在哪里？怎樣改正？(1)4a8÷2a2=2a4(

)

(2)10a3÷5a2=5a

(

)

2a62a××系數相除同底數冪的除法，底數不變，指數相減.(3)(–9x5)÷(–3x)

=–3x4(

)

(4)12a3b

÷4a2=3a

(

)

3x47ab××只在一個被除式里含有的字母，要連同它的指數寫在商里，防止遺漏.求商的系數，應注意符號.計算：(1)(2a2b2c)4z÷(–2ab2c2)2；(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z．解：(1)原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.方法總結：掌握整式的除法的運算法則是解題的關鍵，在計算過程中注意有乘方的先算乘方，再算乘除．多項式除以單項式一幅長方形油畫的長為(a+b)，寬為m，求它的面積.面積為(a+b)m=ma+mb.若已知油畫的面積為(ma+mb)，寬為m，如何求它的長？長為(ma+mb)÷m.知識點3問題1：問題2：學生活動三

【一起探究】如何計算(am+bm)÷m?計算(am+bm)÷m就相當于求()

·m=am+bm，因此不難推斷出括里應填a+b.又知am÷m+bm÷m=a+b.即(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m問題3：多項式除以單項式，就是用多項式的

除以這個

，再把所得的商

.單項式每一項相加關鍵：應用法則是把多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式.

多項式除以單項式的法則例1計算(12a3–6a2+3a)÷3a.解：(12a3–6a2+3a)÷3a

=12a3÷3a+(–6a2)÷3a+3a÷3a

=4a2+(–2a)+1

=4a2–2a+1.方法總結：多項式除以單項式，實質是利用乘法的分配律，將多項式除以單項式問題轉化為單項式除以單項式問題來解決．計算過程中，要注意符號問題.素養考點1多項式除以單項式的法則的應用計算：(1)(6x3y4z–4x2y3z＋2xy3)÷2xy3；

(2)(72x3y4–36x2y3＋9xy2)÷(–9xy2)．(2)原式=72x3y4÷(–9xy2)＋(–36x2y3)÷(–9xy2)＋9xy2÷(–9xy2)=–8x2y2＋4xy–1.解：(1)原式=6x3y4z÷2xy3–4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3=3x2yz–2xz＋1；例2先化簡，后求值：[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.解：原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，原式＝x–y＝2015–2014＝1.＝x–y.把x＝2015，y＝2014代入上式，得素養考點2多項式除以單項式的化簡求值問題求值：(21x4y3–35x3y2+7x2y2)÷(–7x2y)，其中x=1，y=–2解:原式=21x4y3÷(–7x2y)–35x3y2÷(–7x2y)+7x2y2÷(–7x2y)=–3x2y2+5xy–y把x＝1，y＝–2代入上式，得

2.如果(x+a)(x+b)的結果中不含x的一次項，那么a、b滿足(

)A．a=bB．a=0C．a=–bD．b=01.計算(x–1)(x–2)的結果為(

)A．x2+3x–2B．x2–3x–2C．x2+3x+2D．x2–3x+23.已知ab=a+b+1，則(a–1)(b–1)=_____．CD24.計算：(1)(x?3y)(x+7y)；(2)(2x+5y)(3x?2y).解:

(1)

(x?3y)(x+7y)=x2

+4xy–21y2；

(2)

(2x

+5

y)(3x?2y)=6x2

+11xy?10y2.=x2

+7xy?3yx–21y2；

=2x?3x?2x?2y+5

y?

3x?5y?2y=6x2

?4xy+

15xy?10y2.5.化簡求值：(4x+3y)(4x–3y)+(2x+y)(3x–5y)，其中x=1，y=–2.解:原式=當x=1，y=–2時，原式=22×1–7×1×(–2)–14×(–2)2=22+14–56=–20.整式的除法同底數冪的除法單項式除以單項式

底數不變，指數相減1.系數相除；2.同底數的冪相除；3.只在被除式里的因式照搬作為商的一個因式多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式的問題0指數冪的性質除0以外任何數的0次冪都等于1

1.

am

÷

an

＝

(

a

≠0，

m

，

n

都是正整數，并且

m

＞

n

).2.

a0＝

(

a

≠0).am－

n

1

課后作業

1.

計算

a10÷

a2＝(

C

)A.

a5B.

a－5C.

a8D.

a－82.1＋(－2)0的計算結果是(

B

)A.

3B.

2C.

－2D.

－1CB

1.

計算

a10÷

a2＝(

C

)A.

a5B.

a－5C.

a8D.

a－82.1＋(－2)0的計算結果是(

B

)A.

3B.

2C.

－2D.

－1CB3.

計算(

a2)3÷(

a2)2的結果是(

B

)A.

a

B.

a2C.

a3D.

a44.

下列運算結果正確的是(

C

)A.

x4＋

x4＝2

x8B.

(－2

x2)3＝－6

x6C.

x6÷

x3＝

x3D.

x2·

x3＝

x65.

若

am

＝14，

an

＝7，則

am－

n

＝

?.6.

若

m

－

n

＝2，則10

m

÷10

n

＝

?.BC2

100

(1)－

m9÷

m3；

(2)(－

a

)6÷(－

a

)3；(3)

a4÷

a

；

(4)62

m＋3÷6

m

.解：(1)原式＝－1×

m9－3＝－

m6.(2)原式＝(－

a

)6－3＝(－

a

)3＝－

a3.(3)原式＝

a4－1＝

a3.(4)原式＝6(2

m＋3)－

m

＝6

m＋3.7.

計算：8.

已知2

x

－5

y

－4＝0，求4

x

÷32

y

的值.解：2

x

－5

y

－4＝0，移項，得2

x

－5

y

＝4.4

x

÷32

y

＝22

x

÷25

y

＝22

x－5

y

＝24＝16.第十四章整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法14.1.4整式的乘法《同底數冪的除法》同步練習

同底數冪的除法1.

計算

a3÷

a

得

a？，則“？”是(

C

)A.

0B.

1C.

2D.

32.

x16÷

x4·

x2的運算結果是(

C

)A.

x2B.

x10C.

x14D.

x8CC3.

下列計算正確的是(

C

)A.

x2(

m＋1)÷

xm＋1＝

x2B.

(

xy

)8÷(

xy

)4＝(

xy

)2C.

x10÷(

x7÷

x2)＝

x5D.

x4

n

÷

x2

n

·

x2

n

＝1C4.

計算：(1)

a8÷

a3；解：

a8÷

a3＝

a8－3＝

a5.(2)(－

x

)6÷(－

x

)3；解：(－

x

)6÷(－

x

)3＝(－

x

)6－3＝(－

x

)3＝－

x3.(3)(

y

－

x

)9÷(

x

－

y

)3.解：(

y

－

x

)9÷(

x

－

y

)3＝－(

x

－

y

)9÷(

x

－

y

)3＝－(

x

－

y

)9－3＝－(

x

－

y

)6.

同底數冪的除法的逆運算5.

若

ax

＝18，

ay

＝6，則

ax－

y

＝(

B

)A.

6B.

3C.

9D.

126.

已知

am

＝9，

am－

n

＝3，則

an

的值是(

B

)A.

－3B.

3D.

17.

已知3

x

－2

y

－3＝0，則103

x

÷102

y

＝

?.【解析】103

x

÷102

y

＝103

x－2

y

，∵3

x

－2

y

－3＝0，∴3

x

－2

y

＝3，故原式＝103＝1

000.BB1

000

零指數冪8.

使(

x

－2)0有意義的條件是(

C

)A.

x

≠0B.

x

＝0C.

x

≠2D.

不受限制【解析】要使(

x

－2)0有意義，則

x

－2≠0，即

x

≠2.C9.

若(－2)2

n＋6＝1，則

n

的值是

?.【解析】2

n

＋6＝0，解得

n

＝－3.－3

10.

若

xa

＝4，

xb

＝5，則

x3

a－2

b

的值為(

B

)C.

2D.

52B

(2)已知(

m

－2)

m

＝1，則正整數

m

的值為

?.16

3或0

12.

【教材第106頁習題14.1第13題改編】已知22

m

＝16，32

n

＝

256，2

a

＝1(1)

m

＝

，25

n－

m

＝

?；【解析】∵22

m

＝16＝24，∴2

m

＝4.∴

m

＝2.∵32

n

＝256，∴25

n

＝

256.25

n－

m

＝25

n

÷2

m

＝256÷22＝64.2

64

(2)先化簡再求值：

x

(

x

＋

a

)－

x

(

m

＋

x

)

，其中

x

＝3.解：

x

(

x

＋

a

)－

x

(

m

＋

x

)＝

ax

－

mx

，∵

m

＝2，∴

x

(

x

＋

a

)－

x

(

m

＋

x

)＝

ax

－2

x

＝(

a

－2)

x

.∵2

a

＝1，∴

a

＝0.當

x

＝3

，

a

＝0時，原式＝(0－2)×3＝－6.

13.

陳燦同學在學習了“除零以外的任何數的零次冪的值為

1”后，遇到這樣一道題：“如果(

x

－2)

x＋3＝1，求

x

的值”，他解答

出來的結果為

x

＝－3.老師說他考慮的不夠全面，你能幫助陳燦同學解

答這個問題嗎？解：能.當

x

－2＝1，即

x

＝3時，(3－2)3＋3＝16＝1，滿足題意；當

x

－2

＝－1，即

x

＝1時，(1－2)1＋3＝(－1)4＝1，滿足題意；當

x

＝－3時，

(－3－2)－3＋3＝(－5)0＝1，滿足題意.∴當(

x

－2)

x＋3＝1時，

x

的值為3或

1或－3.

一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為

，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的

?作為商的一個因式.商的因式指數課后作業

1.

計算6

a6÷(－2

a2)的結果是(

B

)A.

－3

a3B.

－3

a42.

若□×3

ab

＝3

a2

b

，則□內應填的代數式是(

C

)A.

ab

B.

3

ab

C.

a

D.

3

a

BC3.

下列運算中錯誤的是(

A

)A.

a3＋

a2＝

a5B.

x2

y

÷

y

＝

x2D.

a6÷

a4＝

a2

5.

已知6

m4

nx

÷2

myn2＝3

mn

，則

x

＝

，

y

＝

?.AB3

3

6.

若矩形的面積為18

a3

b2平方厘米，它的長為3

a2

b

厘米，則寬為

?

?.7.

計算：6

ab

厘米(1)8

x6

y4

z

÷(－4

x2

y2)；

(2)(

xy2

z

)2÷(－2

xy

)；

(3)5

a3

b2

c

÷(－4

ab

)2.解：(1)8

x6

y4

z

÷(－4

x2

y2)＝－2

x4

y2

z

.

第十四章整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法14.1.4整式的乘法《單項式除以單項式》同步練習

單項式除以單項式1.

計算8

x8÷(－2

x2)的結果是(

C

)A.

－4

x2B.

－4

x4C.

－4

x6D.

4

x62.

下列計算結果為

x6的是(

D

)A.

x3·

x2B.

(－

x2)3·

x

C.

(

x3)4÷

x2D.

(－

x3

y2)2÷

y4CD

A.

m

＝6，

n

＝1B.

m

＝5，

n

＝1C.

m

＝5，

n

＝0D.

m

＝6，

n

＝0

B4.

下列計算，結果正確的是(

D

)A.

8

x6÷2

x2＝4

x3C.

(－2

x2

y2)3÷(－

xy

)3＝－2

x3

y3D.

(－

xy2)2÷(－

x2

y

)＝－

y3D【解析】A.原式＝4

x4，故A選項錯誤；B.原式＝2

x3，故B選項錯誤；C.原式＝8

x3

y3，故C選項錯誤；D.原式＝

x2

y4÷(－

x2

y

)＝－

y3，故D選項正確.5.

計算：(1)2

x2

y3÷(－3

xy

)；

(2)(1.5×109)÷(－5×106).(結果用科學記數法表示)解：原式＝－3×102.

A.

m

＝2，

n

＝3B.

m

＝1，

n

＝3C.

m

＝4，

n

＝3D.

m

＝4，

n

＝1

C7.

如圖，甲、乙、丙三人合作完成一道計算題目，規則是每人只能看到前一個人給的式子，進行一步計算后將結果傳遞給下一人.自己負責的一步出現錯誤的是(

C

)A.

只有甲B.

乙和丙C.

甲和丙D.

甲、乙、丙C【解析】(－2

x2)3·(

x4÷

x3)＝(－8

x6)·(

x4÷

x3)，故甲計算錯誤；(－8

x5)·(

x4÷

x3)＝(－8

x5)·

x

，故乙計算正確；(－8

x5)·

x

＝－8

x6，故丙計算錯誤.

9.

按下列程序計算，把答案填寫在表格內，然后看看有什么

規律，想想為什么有這樣的規律？2

x

→立方→÷(－

x2)→＋8

x

→答案(1)填表內空格：輸入

x

41－2…答案00000…00000(3)證明你發現的規律.證明：(2

x

)3÷(－

x2)＋8

x

＝－8

x

＋8

x

＝0.(2)你發現的規律是

?；除0外的

x

的值都使答案為0

2

x

→立方→÷(－

x2)→＋8

x

→答案

一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項

?

，再把所得的商

?.除以這個單項式

相加

1.

(2

a3

b2－10

a4

c

)÷2

a3等于(

C

)A.

a6

b2

c

B.

a5

b2

c

C.

b2－5

ac

D.

b4

c

－

a4

c

C課后作業

2.

(

x17

y

＋

x14

z

)÷(－

x7)2等于(

A

)A.

x3

y

＋

z

B.

－

xy3＋

z

C.

－

x17

y

＋

z

D.

xy

＋

z

3.

與單項式－3

a2

b

的積是6

a3

b2－3

a2

b2－3

a2

b

的多項式是

?

?.4.

一個長方形的面積為6

a3－3

ab

，長是3

a

，則它的寬為

?.A－2

ab

＋

b

＋1

2

a2－

b

(1)(2

a4

－6

a2＋4

a

)÷2

a

；

(2)(9

a5－15

a3＋6

a

)÷(4

a

－

a

).解：(1)原式＝2

a4÷2

a

－6

a2÷2

a

＋4

a

÷2

a

＝

a3－3

a

＋2.(2)原式＝(9

a5－15

a3＋6

a

)÷3

a

＝9

a5÷3

a

－15

a3÷3

a

＋6

a

÷3

a

＝3

a4－5

a2＋2.5.

計算：6.

先化簡，再求值：(12

a3－6

a2＋3

a

)÷3

a

，其中

a

＝－1.解：(12

a3－6

a2＋3

a

)÷3

a

＝12

a3÷3

a

－6

a2÷3

a

＋3

a

÷3

a

＝4

a2－2

a

＋1，∵

a

＝－1，∴原式＝4×(－1)2－2×(－1)＋1＝7.第十四章整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法14.1.4整式的乘法《多項式除以單項式》同步練習

1.

(6

x4＋5

x2－3

x

)÷(－3

x

)的結果是(

C

)A.

－2

x3－5

x2＋3

x

C2.

長方形的面積為4

a2－6

ab

＋2

a

，若它的一邊長為2

a

，則它的周長為

(

D

)A.

4

a

－3

b

B.

8

a

－6

b

C.

4

a

－3

b

＋1D.

8

a

－6

b

＋2【解析】長方形的一邊長為2

a

，則其鄰邊長是(4

a2－6

ab

＋2

a

)÷2

a

＝

2

a

－3

b

＋1，∴周長是2[(2

a

－3

b

＋1)＋2

a

]＝8

a

－6

b

＋2.D3.

若多項式－12

x2

y3＋16

x3

y2＋4

x2

y2的一個因式是－4

x2

y2，則另一個

因式是(

B

)A.

3

y

＋4

x

－1B.

3

y

－4

x

－1C.

3

y

－4

x

＋1D.

3

y

－4

x

B4.

一個三角形的面積為3

xy

－4

y

，一邊長是2

y

，則這條邊上的高為

?

?.5.

【教材第104頁練習第3題改編】判斷下列各式的計算是否正確，如

果不正確，請改正過來.3

x

－4

(1)(6

ab

＋5

a

)÷

a

＝5

b

＋5；解：(1)不正確，改正：(6

ab

＋5

a

)÷

a

＝6

ab

÷

a

＋5

a

÷

a

＝6

b

＋5；(2)(8

x2

y

－4

xy2)÷(－4

xy

)＝－2

x

－

y

；解：(2)不正確，改正：(8

x2

y

－4

xy2)÷(－4

xy

)＝－2

x

＋

y

；(3)(15

x2

yz

－10

xy2)÷5

xy

＝3

x

－2

y

；解