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第1頁(共1頁)2024-2025學年遼寧省撫順市六校協作體高三(下)期初數學試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(5分)若集合A={x|x2﹣3x﹣4=0},B={﹣4,﹣1,0,1,4},則A∩B=()A.{﹣4,1} B.{﹣1,4} C.{﹣4,0,1} D.{﹣1,0,4}2.(5分)復數z滿足z(1+i)=7﹣i,則|z|=()A.5 B.42 C.25 3.(5分)已知直線l:x﹣2y+3=0與圓C:x2+y2﹣2x+6y﹣15=0相交于A,B兩點,則|AB|=()A.5 B.5 C.25 4.(5分)已知向量OA→=(3,2),OB→=(2,4),A.6 B.4 C.﹣6 D.﹣45.(5分)在四棱錐P﹣ABCD中,E,F分別為側棱PC,PD上一點(不含端點),則“CD∥EF”是“CD∥平面BEF”的()A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.(5分)已知f(x)是定義在R上的奇函數,f(x+3)+f(﹣x+1)=0,且f(1)=3,則f(2025)+f(2026)=()A.﹣3 B.0 C.3 D.67.(5分)將函數f(x)=4sin(2x+π3)的圖象向右平移π3個單位長度,得到函數A.g(x)是奇函數 B.g(x)的圖象關于直線x=π12C.g(x)在[0,π2D.g(x)在[-π68.(5分)已知函數f(x)=ex-12x2-(1+a)x,若對任意兩個不相等的實數x1A.12 B.1 C.2 二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.(多選)9.(6分)已知橢圓C:x2m2+yA.1 B.2 C.3 D.4(多選)10.(6分)若隨機變量X服從兩點分布,其中P(X=0)=1A.E(X)=23 B.E(3X﹣1)=2 C.D(X)=29 D.(多選)11.(6分)如圖,在直三棱柱的兩條棱上分別取點A1,A2,A3,…,An,An+1,B1,B2,B3,…,Bn,Bn+1,使得AjBj∥Aj+1Bj+1(j=1,2,3,…,n),且直線AjBj與直線Aj+1Bj+1之間的距離均為2,分別過直線AjBj作垂直于該三棱柱底面的截面,得到n個四棱柱,若該三棱柱的高為1,記A1B1=a1,A2B2=a2,則()A.AjBj=2a1+(a2﹣a1)j B.Aj+1Bj+1=a1+(a2﹣a1)j C.第j個四棱柱的體積為3a1﹣a2+2(a2﹣a1)j D.前j個四棱柱的體積之和為2三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(5分)已知雙曲線C:x24-y25=1的左、右焦點分別為F1,F2,P是雙曲線C上的一點,且|PF13.(5分)若tan(α+π4)=2,則sin2α的值為14.(5分)設一個四位數的個位數、十位數、百位數、千位數分別為a,b,c,d,當a+d=b+c時,稱這個四位數為“和對稱四位數”,且a+d為這個“和對稱四位數”的對稱和,例如8440是一個“和對稱四位數”,其對稱和為8,則對稱和不大于4的“和對稱四位數”的個數為.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a(sinB+3(1)求角A的大小;(2)求2cosB+cosC的取值范圍.16.(15分)已知函數f(x)=xex+ax2.(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為2e+4,求a的值;(2)討論f(x)的零點個數.17.(15分)如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是矩形,EF∥DC,AE=DE=EF=AD=2,AB=4,CF=22(1)證明:平面ADE⊥平面ABCD.(2)求五面體ABCDEF的體積.(3)求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值.18.(17分)已知拋物線W:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線l1:x﹣y+1=0與W相切.(1)求W的方程.(2)過點F且與l1平行的直線l2與W相交于M,N兩點,求|MN|.(3)已知點P(4,4),直線l與W相交于A,B兩點(異于點P),若直線AP,BP分別和以F為圓心的動圓相切,試問直線l是否過定點?若是,請求出定點坐標;若不是,請說明理由.19.(17分)已知數列{an}的通項公式為an=4n﹣1,集合U={1,2,…,20},從U中隨機取三個元素組成集合E,記E={e1,e2,e3},SE(1)若E={2,3,4},求SE;(2)求SE>a17的概率;(3)若F?U,且F中元素的最大值為m,記F={f1,f2,…,fk},SF=af1+af2
2024-2025學年遼寧省撫順市六校協作體高三(下)期初數學試卷參考答案與試題解析一.選擇題(共8小題)題號12345678答案BACCACDB二.多選題(共3小題)題號91011答案BDACDBCD一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(5分)若集合A={x|x2﹣3x﹣4=0},B={﹣4,﹣1,0,1,4},則A∩B=()A.{﹣4,1} B.{﹣1,4} C.{﹣4,0,1} D.{﹣1,0,4}【分析】解集合A中的一元二次方程,得到集合A,再利用集合的交集運算即可求解.【解答】解:由題意可知,A={﹣1,4},B={﹣4,﹣1,0,1,4},則A∩B={﹣1,4}.故選:B.2.(5分)復數z滿足z(1+i)=7﹣i,則|z|=()A.5 B.42 C.25 【分析】利用復數的除法化簡復數,利用復數的模長公式可求得結果.【解答】解:z(1+i)=7﹣i,故z=7-i1+i=則|z|=3故選:A.3.(5分)已知直線l:x﹣2y+3=0與圓C:x2+y2﹣2x+6y﹣15=0相交于A,B兩點,則|AB|=()A.5 B.5 C.25 【分析】求出圓心、半徑及圓心到直線的距離,再利用圓的弦長公式計算得解.【解答】解:根據題意可知,圓C:(x﹣1)2+(y+3)2=25的圓心C(1,﹣3),半徑r=5,圓心C到直線l的距離d=|1-2×(-3)+3|所以|AB|=2r故選:C.4.(5分)已知向量OA→=(3,2),OB→=(2,4),A.6 B.4 C.﹣6 D.﹣4【分析】由向量的線性運算與數量積的坐標表示,可得答案.【解答】解:因為OC→=(-1,-3),OA→所以AB→=(-1,2),則AB→故選:C.5.(5分)在四棱錐P﹣ABCD中,E,F分別為側棱PC,PD上一點(不含端點),則“CD∥EF”是“CD∥平面BEF”的()A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【分析】運用線面平行的判定定理和性質定理來判斷“CD∥EF”與“CD∥平面BEF”之間的條件關系.【解答】解:根據題意可知,在四棱錐P﹣ABCD中,E,F分別為側棱PC,PD上一點,由CD∥EF,CD?平面BEF,EF?平面BEF,得CD∥平面PEF,由CD∥平面BEF,CD?平面PCD,平面PCD∩平面BEF=EF,得CD∥EF,故“CD∥EF”是“CD∥平面BEF”的充要條件.故選:A.6.(5分)已知f(x)是定義在R上的奇函數,f(x+3)+f(﹣x+1)=0,且f(1)=3,則f(2025)+f(2026)=()A.﹣3 B.0 C.3 D.6【分析】由題意可得函數的周期性,進而分析可得答案.【解答】解:根據題意,f(x)是定義在R上的奇函數,且f(x+3)+f(﹣x+1)=0,則有f(x+3)=﹣f(﹣x+1)=f(x﹣1),變形可得f(x+4)=f(x),即f(x)是周期為4的周期函數,則有f(﹣2)=f(2),同時f(x)為奇函數,則有f(﹣2)=﹣f(x),綜合可得:f(2)=0,故f(2025)+f(2026)=f(1)+f(2)=3+0=3.故選:C.7.(5分)將函數f(x)=4sin(2x+π3)的圖象向右平移π3個單位長度,得到函數A.g(x)是奇函數 B.g(x)的圖象關于直線x=π12C.g(x)在[0,π2D.g(x)在[-π6【分析】根據三角函數的變換規則得到g(x)解析式,再根據正弦函數的性質一一判斷即可.【解答】解:將函數f(x)=4sin(2x+π3)的圖象向右平移π3個單位長度得到g(x)=f(x-π3)=4sin[2(x-A中,顯然g(x)不是奇函數,故A錯誤.B中,可得g(π12)=4sin(2×π12-π3)=4sin(-π6)=﹣2≠±4,所以C中,當x∈[0,π2]時,2x-π3∈[-π3,2π3]?[-π2+2kπ,π2D中,由x∈[-π6,π3即g(x)在[-π6,π3故選:D.8.(5分)已知函數f(x)=ex-12x2-(1+a)x,若對任意兩個不相等的實數x1A.12 B.1 C.2 【分析】結合單調性定義可得函數g(x)=f(x)+x單調遞增,則g′(x)≥0恒成立,即a≤ex﹣x恒成立,構造函數h(x)=ex﹣x,借助導數研究其單調性從而得其最值即可得解.【解答】解:不妨設x1>x2,因為f(x所以f(x1)+x1>f(x2)+x2,令g(x)=f(x)+x=e則g(x1)>g(x2),所以g(x)在R上單調遞增,則g′(x)=ex﹣x﹣a≥0恒成立,即a≤ex﹣x恒成立,令h(x)=ex﹣x,則h′(x)=ex﹣1,當x<0時,h′(x)<0,h(x)單調遞減,當x>0時,h′(x)>0,h(x)單調遞增,所以h(x)≥h(0)=1,所以a≤1,所以a的最大值為1.故選:B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.(多選)9.(6分)已知橢圓C:x2m2+yA.1 B.2 C.3 D.4【分析】根據橢圓的性質判斷焦點位置,再結合橢圓離心率公式列出關于m的方程,進而求解m的值.【解答】解:∵m2-(3m-4)=m2-3m+4=(m-32)∴由橢圓C:x2m2得m2-3m+4m2=故選:BD.(多選)10.(6分)若隨機變量X服從兩點分布,其中P(X=0)=1A.E(X)=23 B.E(3X﹣1)=2 C.D(X)=29 D.【分析】利用兩點分布結合期望和方差公式求出E(X)、D(X)的值,并結合期望和方差的性質判斷即可.【解答】解:隨機變量X服從兩點分布,其中P(X=0)=1則P(X=1)=23,則故E(3X-1)=3E(X)-1=3×2D(X)=(0-23故選:ACD.(多選)11.(6分)如圖,在直三棱柱的兩條棱上分別取點A1,A2,A3,…,An,An+1,B1,B2,B3,…,Bn,Bn+1,使得AjBj∥Aj+1Bj+1(j=1,2,3,…,n),且直線AjBj與直線Aj+1Bj+1之間的距離均為2,分別過直線AjBj作垂直于該三棱柱底面的截面,得到n個四棱柱,若該三棱柱的高為1,記A1B1=a1,A2B2=a2,則()A.AjBj=2a1+(a2﹣a1)j B.Aj+1Bj+1=a1+(a2﹣a1)j C.第j個四棱柱的體積為3a1﹣a2+2(a2﹣a1)j D.前j個四棱柱的體積之和為2【分析】由題意可知{AjBj}是等差數列,可判斷A,B選項;C選項利用四棱柱的體積公式即可求出;D選項利用等差數列的前n項和公式求解.【解答】解:根據題意可得數列{AjBj}是公差為a2﹣a1,首項為a1的等差數列,因此AjBj=a1+(j﹣1)(a2﹣a1)=2a1﹣a2+(a2﹣a1)j,所以選項A錯誤;又因為Aj+1Bj+1=a1+(a2﹣a1)j,所以選項B正確;第j個四棱柱的體積為[2a1-根據第j個四棱柱的體積為3a1﹣a2+2(a2﹣a1)j可知,四棱柱的體積是公差為2(a2﹣a1),首項為a1+a2的等差數列,因此前j個四棱柱的體積之和為j(a1+故選:BCD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(5分)已知雙曲線C:x24-y25=1的左、右焦點分別為F1,F2,P是雙曲線C上的一點,且|PF【分析】運用雙曲線定義解題即可.【解答】解:因為雙曲線C:x24-y25=1中,又點P在雙曲線C的左支上,所以|PF2|≥a+c=5,與|PF2|=4矛盾,所以點P在雙曲線C的右支上,所以|PF1|﹣|PF2|=2a=4,所以|PF1|﹣4=4,所以|PF1|=8.故答案為:8.13.(5分)若tan(α+π4)=2,則sin2α的值為3【分析】由已知利用兩角和的正切函數公式,特殊角的三角函數值可求tanα的值,利用二倍角的正弦函數公式,同角三角函數基本關系式即可化簡所求,即可得解.【解答】解:∵tan(α+π4)=tanα+11-tanα∴sin2α=2sinαcosα故答案為:3514.(5分)設一個四位數的個位數、十位數、百位數、千位數分別為a,b,c,d,當a+d=b+c時,稱這個四位數為“和對稱四位數”,且a+d為這個“和對稱四位數”的對稱和,例如8440是一個“和對稱四位數”,其對稱和為8,則對稱和不大于4的“和對稱四位數”的個數為40.【分析】四位數的個位、十位、百位、千位分別為a,b,c,d,滿足a+d=b+c=s≤4.根據s的取值(1,2,3,4)分別計算.【解答】解:設a+d=b+c=s≤4.當s=1時:d的可能值為1(對應a=0),共1種組合,b+c=1的解有2種:(0,1),(1,0),四位數的個數:1×2=2,當s=2時:d的可能值為1,2(對應a=1,0),共2種組合,b+c=2的解有3種:(0,2),(1,1),(2,0),四位數的個數:2×3=6,當s=3時:d的可能值為1,2,3(對應a=2,1,0),共3種組合,b+c=3的解有4種:(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),四位數的個數:3×4=12,當s=4時:d的可能值為1,2,3,4(對應a=3,2,1,0),共4種組合,b+c=4的解有5種:(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),四位數的個數:4×5=20,將以上結果相加,總數為2+6+12+20=40,因此,對稱和不大于4的“和對稱四位數”共有40個.故答案為:40.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a(sinB+3(1)求角A的大小;(2)求2cosB+cosC的取值范圍.【分析】(1)利用正弦定理進行邊化角,由三角函數的誘導公式與和角公式,結合三角形的幾何性質,可得答案;(2)由三角函數的差角公式與輔助角公式,整理可得正弦型函數,根據正弦函數的性質,可得答案.【解答】解:(1)因為a(sinB+3所以sinA(sinB+3因為sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAsinB+3即sinAsinB=3因為0<B<π2,所以sinB≠0,所以sinA=3因為0<A<π2,所以(2)因為A=π3,所以B+C=2π因為△ABC是銳角三角形,所以0<B<π2,所以2cosB+cosC=2cosB+cos(=3因為π6<B<π所以12<sin(B+π所以2cosB+cosC的取值范圍是(316.(15分)已知函數f(x)=xex+ax2.(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為2e+4,求a的值;(2)討論f(x)的零點個數.【分析】(1)根據導數的幾何意義,函數在某點處的切線斜率等于該點處的導數值,通過求導并代入已知條件可求出a的值.(2)先根據零點概念計算得到x=0或ex+ax=0.再構造函數g(x)=ex+ax,對a進行分類討論,借助導數研究函數單調性和最值,分析函數的零點情況即可.【解答】解:(1)函數f(x)=xex+ax2,則f′(x)=(x+1)ex+2ax,又曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為2e+4,∴f′(1)=2e+2a=2e+4,解得a=2.(2)令f(x)=xex+ax2=0,解得x=0或ex+ax=0.設g(x)=ex+ax.當a>0時,g(x)是R上的增函數,∵g(-1a)=∴g(x)有唯一的零點x0∈(-1a,0)當a=0時,g(x)=ex>0恒成立,g(x)沒有零點,則f(x)有唯一的零點.當a<0時,g′(x)=ex+a.由g′(x)>0,得x>ln(﹣a),由g′(x)<0,得x<ln(﹣a),則g(x)在(﹣∞,ln(﹣a))上單調遞減,在(ln(﹣a),+∞)上單調遞增,故g(x)min=g(ln(﹣a))=﹣a+aln(﹣a).當﹣e<a<0時,g(x)min=﹣a+aln(﹣a)>0,∴g(x)沒有零點,則f(x)有唯一的零點;當a=﹣e時,g(x)min=﹣a+aln(﹣a)=0,∴g(x)有一個零點,則f(x)有兩個零點;當a<﹣e時,g(x)min=﹣a+aln(﹣a)<0,∵g(-1a)=∴g(x)有兩個小于0的零點,則f(x)有三個零點.綜上,當﹣e<a≤0時,f(x)有唯一的零點;當a>0或a=﹣e時,f(x)有兩個零點;當a<﹣e時,f(x)有三個零點.17.(15分)如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是矩形,EF∥DC,AE=DE=EF=AD=2,AB=4,CF=22(1)證明:平面ADE⊥平面ABCD.(2)求五面體ABCDEF的體積.(3)求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值.【分析】(1)由勾股定理與矩形可得線線垂直,利用線面垂直的判定與面面垂直的判定,可得答案;(2)將圖形分割為三棱柱與四棱錐,利用三棱柱與四棱錐的體積公式,可得答案;(3)由題意建立坐標系,求得平面的法向量,根據面面角的向量公式,可得答案.【解答】解:(1)證明:取棱CD的中點G,連接EG,易證四邊形CFEG為平行四邊形,則EG=CF=22因為DE=DG=2,所以DE2+DG2=EG2,所以DE⊥DG,因為四邊形ABCD是矩形,所以AD⊥DC,因為AD,DE?平面ADE,且AD∩DE=D,所以DC⊥平面ADE,因為DC?平面ABCD,所以平面ADE⊥平面ABCD.(2)取棱AD的中點O,連接OE,因為AE=DE=AD=2,所以OE⊥AD,OE=3因為平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,所以OE⊥平面ABCD,取棱AB的中點H,連接GF,GH,HF,則VABCDEF(3)取棱BC的中點M,連接OM,易證OA,OM,OE兩兩垂直,以O為坐標原點,OA→,OM→,OE→的方向分別為x,y則B(1,4,0),C(﹣1,4,0),F(0,2,3則BC→=(-2,0,0),設平面BCF的法向量為n→則n→⊥BC令y=3,得n平面ADE的一個法向量為m→設平面ADE與平面BCF所成的角為θ,則cosθ=|cos<m18.(17分)已知拋物線W:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線l1:x﹣y+1=0與W相切.(1)求W的方程.(2)過點F且與l1平行的直線l2與W相交于M,N兩點,求|MN|.(3)已知點P(4,4),直線l與W相交于A,B兩點(異于點P),若直線AP,BP分別和以F為圓心的動圓相切,試問直線l是否過定點?若是,請求出定點坐標;若不是,請說明理由.【分析】(1)通過聯立直線與拋物線方程,利用判別式為0求出p的值,進而得到拋物線方程;(2)先求出直線l2的方程,再聯立直線l2與拋物線方程,利用拋物線的焦點弦長公式求出|MN|;(3)設出直線l的方程,聯立直線l與拋物線方程,根據直線AP,BP分別和以F為圓心的動圓相切,同構得到a,b是一元二次方程(16﹣r2)x2+(8﹣2r2)x+1﹣2r2=0的兩個實數根,借助韋達定理求出y=-316,【解答】解:(1)聯立直線與拋物線可得y2=2px,x-y+1=0,化簡得y2﹣2py由于l1與W相切,因此(﹣2p)2﹣8p=0,解得p=2或p=0(舍去),因此W:y2=4x.(2)根據第一問可知F(1,0).由于l1∥l2,因此l2:x﹣y﹣1=0.設N(x2,y2),M(x1,y1),聯立拋物線方程和l2y2=4x,x-y-1=0,化簡得y2﹣4y﹣4=0,根據韋達定理可得y1y2=﹣4,y1+|MN|=x1+x2+p=y1+1+y2+1+2=8.(3)設B(4b2,4b),A(4a2,4a),那么直線l:x=(a+b
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