山東省威海市2024年中考數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的．每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）1．一批食品，標準質量為每袋454g．現隨機抽取4個樣品進行檢測，把超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示．那么，最接近標準質量的是（）A．+7 B．﹣5 C．﹣3 D．10【答案】C【解析】【解答】解：∵|10|>|+7|>|-5|>|-3|，

∴最接近標準質量的是C.故答案為：C.【分析】比較各數的絕對值的大小，選擇絕對值最小值即可求解.2．據央視網2023年10月11日消息，中國科學技術大學中國科學院量子創新研究院與上海微系統所、國家并行計算機工程技術研究中心合作，成功構建了255個光子的量子計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術水平和量子計算優越性的世界紀錄．“九章三號”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內所處理的最高復雜度的樣本，需要當前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間．將“百萬分之一”用科學記數法表示為（）A．1×10﹣5 B．1×10﹣6 C．1×10﹣7 D．1×10﹣8【答案】B【解析】【解答】解：百萬分之一=0.000001=1×10-6.故答案為：B.【分析】利用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原數左邊起第一個不為0數字前面的“0”的個數決定.3．下列各數中，最小的數是（）A．﹣2 B．﹣（﹣2） C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵-（-2）=2，

∴，

∴最小的數是-2.故答案為：A.【分析】利用“正數大于負數，兩個負數相比較，絕對值大的反而小”把這幾個數從小到大排列，即可求解.4．下列運算正確的是（）A．x5+x5＝x10 B．m+n2?C．a6÷a2＝a4 D．（﹣a2）3＝﹣a5【答案】C【解析】【解答】解：A、x5+x5=2x5，故A錯誤；

B、，B錯誤；

C、a6÷a2=a4，C正確；

D、(-a2)3=-a6，D錯誤.

故答案為：C.

【分析】利用“合并同類項、分式的乘法、同底數冪的除法、冪的乘方、積的乘方”法則逐項進行計算即可.5．下列幾何體都是由四個大小相同的小正方體搭成的．其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、三視圖如下圖，A不符合題意；

B、三視圖如下圖，B不符合題意；

C、三視圖如下圖，C不符合題意；

D、三視圖如下圖，D不符合題意.

故答案為：D.

【分析】根據小正方體組合體的三視圖逐項判斷即可.6．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點C是AO的中點．過點C作CE⊥AO交于點E，過點E作ED⊥OB，垂足為點D．在扇形內隨機選取一點P，則點P落在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵CE⊥AO，ED⊥OB，∠AOB=90°，

∴∠OCE=∠ODE=∠AOB=90°，

∴四邊形OCED是矩形，

∴，

∴，

∵點C是AO的中點，AO=OE，

∴2CO=OE，

在中，，

∴∠COE=60°，∴∠BOE=∠AOB-∠COE=90°-60°=30°，

設扇形AOB的半徑為r，

∴，，

∴點P落在陰影部分的概率為.

故答案為：B.【分析】易證四邊形OCED是矩形，從而得，求出，接下來利用特殊角的三角函數值求出∠COE=60°，從而得∠BOE=30°，設扇形AOB的半徑為r，根據扇形的面積公式求出陰影部分、扇形AOB的面積，最后利用概率公式進行計算即可.7．定義新運算：①在平面直角坐標系中，{a，b}表示動點從原點出發，沿著x軸正方向（a≥0）或負方向（a＜0）平移|a|個單位長度，再沿著y軸正方向（b≥0）或負方向（b＜0）平移|b|個單位長度．例如，動點從原點出發，沿著x軸負方向平移2個單位長度，再沿著y軸正方向平移1個單位長度，記作（﹣2，1）．②加法運算法則：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d為實數．若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，則下列結論正確的是（）A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3【答案】B【解析】【解答】解：根據題意，得3+m=-1，5+n=2，

解得m=-4，n=-3.

故答案為：B.

【分析】根據題意中的運算法則可得3+m=-1，5+n=2，解方程即可.8．《九章算術》是我國古老的數學經典著作，書中提到這樣一道題目：以繩測井．若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？題目大意是：用繩子測量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多4尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長比井深多1尺．繩長、井深各是多少尺？若設繩長x尺，井深y尺，則符合題意的方程組是（）A． B． C． D．【答案】C9．如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E在BC上，點F在CD上，連接AE，AF，EF，EF交AC于點G．下列結論錯誤的是（）A．若，則EF∥BDB．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，則EF∥BDC．若EF∥BD，CE＝CF，則∠EAC＝∠FACD．若AB＝AD，AE＝AF，則EF∥BD【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，

A、∵，

∴，

∵∠ECF=∠BCD，

∴，

∴∠CEF=∠CBD，

∴EF∥BD，A正確；

B、∵AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，

∴AC平分∠BCD，∠AEC=∠AFC=90°，

∴∠ACB=∠ACD，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠ACD=∠DAC，

∴DA=DC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

在和中，

，

∴，

∴CE=CF，

又∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF，

∴∠OGF=90°，

∴∠OGF=∠AOD，

∴EF∥BD，B正確；

C、∵CE=CF，

∴∠CEF=∠CFE，

∵EF∥BD，

∴∠CBD=∠CEF，∠CDB=∠CFE，∠AOD=∠OGF，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠OGF=90°，

又∵CE=CF，

∴AC垂直平分EF，

∴AE=AF，

∴∠EAC=∠FAC，C正確；

D、∵AB=AD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

當AE=AF，且CE=CF時，有AC垂直平分EF，

∴要使EF∥BD，則需添加條件CE=CF，D錯誤.故答案為：D.【分析】根據平行四邊形性質得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC.根據相似三角形的判定定理得，從而有∠CEF=∠CBD，由“同位角相等，兩直線平行”證得EF∥BD，可對A作出判斷；根據角平分線的判定定理得AC平分∠BCD，然后結合平行線的性質證出∠ACD=∠DAC，從而有DA=DC，進而得到四邊形ABCD是菱形，根據菱形的性質有∠AOD=90°，接下來利用證，得CE=CF，從而有AC垂直平分EF，得∠OGF=∠AOD=90°，由“同位角相等，兩直線平行”證得EF∥BD，可對B作出判斷；根據等腰三角形性質、平行線性質得∠CBD=∠CDB，∠AOD=∠OGF，從而有CB=CD，證出四邊形ABCD是菱形，根據菱形的性質得∠AOD=∠OGF=90°，從而有AC垂直平分EF，得AE=AF，進而求出∠EAC=∠FAC，可對C作出判斷；

先證四邊形ABCD是菱形，得AC⊥BD，當AE=AF，且CE=CF時，有AC垂直平分EF，所以要使EF∥BD，需添加條件”CE=CF“，可對D作出判斷.10．同一條公路連接A，B，C三地，B地在A，C兩地之間．甲、乙兩車分別從A地、B地同時出發前往C地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續行駛．如圖表示甲、乙兩車之間的距離y（km）與時間x（h）的函數關系．下列結論正確的是（）A．甲車行駛h與乙車相遇 B．A，C兩地相距220kmC．甲車的速度是70km/h D．乙車中途休息36分鐘【答案】A【解析】【解答】解：如圖，D點表示乙車休息，E點表示兩車相遇，F點表示乙車繼續行駛，

∴乙車中途休息時間為：3-2=1（h），D錯誤；

在DE-EF時，乙車不動，甲車行駛，

∴甲車的速度為，C錯誤；

∴A、C兩地相距4×60=240（km），B錯誤；

設乙車休息前的速度為xkm/h，

∴2×60+（40-20）=2x，

解得x=70km/h，即乙車休息前的速度為70km/h，

設甲車行駛yh與乙車相遇，

∴60y=70×2+20，

解得，A正確.

故答案為：A.【分析】根據函數圖象得D、E、F三點所包含的信息，從而有乙車休息時間，在DE-EF時，乙車不動，甲車行駛，從而得甲車的速度，進而有A、C兩地的距離，設乙車休息前的速度為xkm/h，觀察函數圖象得關于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可得乙車休息前的速度，接下來設甲車行駛yh與乙車相遇，觀察函數圖象，列出關于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得兩車相遇的時間.二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．只要求填出最后結果）11．計算：．【答案】【解析】【解答】解：.故答案為：.【分析】先利用二次根式的乘法法則進行計算，再進行二次根式的化簡，最后合并同類二次根式即可.12．因式分解：（x+2）（x+4）+1＝．【答案】（x+3）2【解析】【解答】解：(x+2）(x+4)+1=x2+6x+9=(x+3)2.故答案為：(x+3)2.【分析】先利用整式乘法的運算法則整理算式，最后利用完全平方公式進行因式分解.13．如圖，在正六邊形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足為點I．若∠EFG＝20°，則∠ABI＝.【答案】50°【解析】【解答】解：在正六邊形ABCDEF中，，

∵AH∥FG，

∴∠GFA+∠FAH=180°，

∴∠EFG+∠BAI=∠EFA+∠FAB-（∠GFA+∠FAH）=120°+120°-180°=60°，

∵∠EFG=20°，

∴∠BAI=40°，

∵BI⊥AH，

∴∠AIB=90°，

∴∠ABI=90°-40°=50°.故答案為：50°.【分析】根據正多邊形的性質、多邊形內角和得∠EFA=∠FAB=120°，然后”兩直線平行，同旁內角互補“得∠GFA+∠FAH=180°，從而有∠EFG+∠BAI=60°，進而求出∠BAI=40°，最后根據直角三角形兩銳角互余求出∠ABI的度數.14．計算：．【答案】-x-2【解析】【解答】解：.故答案為：-x-2.【分析】先通分，再根據分式的加減法法則進行計算即可.15．如圖，在平面直角坐標系中，直線y1＝ax+b（a≠0）與雙曲線y2（k≠0）交于點A（﹣1，m），B（2，﹣1）．則滿足y1≤y2的x的取值范圍．【答案】-1≤x＜0或x≥2【解析】【解答】解：∵兩函數交點為A（-1，m），B（2，-1），

∴滿足y1≤y2的x的取值范圍是-1≤x<0或x≥2.故答案為：-1≤x＜0或x≥2.【分析】根據兩函數的圖象以及交點橫坐標即可得出答案.16．將一張矩形紙片（四邊形ABCD）按如圖所示的方式對折，使點C落在AB上的點C'處，折痕為MN，點D落在點D'處，C'D'交AD于點E．若BM＝3，BC'＝4，AC'＝3，則DN＝．【答案】【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，BC=AD，

∵BM=3，BC'=4，

∴根據勾股定理得，

∵AC'=3，

∴CD=AB=AC'+BC'=3+4=7，BM=AC'，

∵折疊的性質，

∴∠EC'M=∠C=∠D'=∠D=90°，CM=C'M=5，C'D'=CD=7，DN=D'N，

∴AD=BC=BM+CM=3+5=8，

∵∠EC'M=90°，∠A=90°，

∴∠AC'E+∠BC'M=∠AC'E+∠AEC'=90°，

∴∠BC'M=∠AEC'，

在和中，

，

∴，

∴C'E=C'M=5，AE=BC'=4，

∴D'E=C'D'-C'E=7-5=2，

設DN=D'N=x，

∴EN=AD-AE-DN=8-4-x=4-x，

在中，根據勾股定理得，x2+22=(4-x)2，

解得，即.故答案為：.【分析】根據矩形的性質、折疊的性質，利用勾股定理求出CM=C'M=5，AB=CD=C'D'=7，BC=AD=8，∠A=∠B=∠C=∠D=∠EC'M=∠D'=90°，接下來利用”一線三垂直“模型得，從而有C'E=C'M=5，AE=BC'=4，求出D'E=2，設DN=D'N=x，得EN=4-x，利用勾股定理得關于x的方程，解方程求出x的值即可.三、解答題（本大題共8小題，共72分）17．某公司為節能環保，安裝了一批A型節能燈，一年用電16000千瓦?時．后購進一批相同數量的B型節能燈，一年用電9600千瓦?時．一盞A型節能燈每年的用電量比一盞B型節能燈每年用電量的2倍少32千瓦?時．求一盞A型節能燈每年的用電量．【答案】解：設一盞B型節能燈每年的用電量為x千瓦?時，則一盞A型節能燈每年的用電量為（2x﹣32）千瓦?時，根據題意得：，解得：x＝96，經檢驗，x＝96是所列方程的解，且符合題意，∴2x﹣32＝2×96﹣32＝160（千瓦?時），答：一盞A型節能燈每年的用電量為160千瓦?時．【解析】【分析】設一盞B型節能燈每年的用電量為x千瓦?時，則一盞A型節能燈每年的用電量為（2x﹣32）千瓦?時，根據A、B型節能燈的數量相同列出關于x的分式方程，解分式方程，經檢驗得x的值，從而代入求2x-32的值即可求解.18．為增強學生體質，某校在八年級男生中試行“每日鍛煉，每月測試”的引體向上訓練活動，設定6個及以上為合格．體育組為了解一學期的訓練效果，隨機抽查了20名男生2至6月份的測試成績．其中，2月份測試成績如表1，6月份測試成績如圖1（尚不完整）．整理本學期測試數據得到表2和圖2（尚不完整）．表1：2月份測試成績統計表個數0136810人數484121表2：本學期測試成績統計表平均數/個眾數/個中位數/個合格率2月2.6a120%3月3.13425%4月44535%5月4.555540%6月b86c請根據圖表中的信息，解答下列問題：（1）將圖1和圖2中的統計圖補充完整，并直接寫出a，b，c的值；（2）從多角度分析本次引體向上訓練活動的效果；（3）若將此活動在鄰校八年級推廣，該校八年級男生按400人計算，以隨機抽查的20名男生訓練成績為樣本，估算經過一學期的引體向上訓練，可達到合格水平的男生人數．【答案】（1）解：6月測試成績中，引體向上3個的人數為20-4-1-6-4＝5（人），補充統計圖如下：∴，，

根據表2可得a＝1；（2）解：本次引體向上訓練活動的效果明顯，理由如下：從平均數和合格率看，平均數和合格率逐月增加，從中位數看，引體向上個數逐月增加，從眾數看，引體向上的個數越來越大（答案不唯一，合理即可）；（3）解：400×55%＝220（人），答：估算經過一學期的引體向上訓練，可達到合格水平的男生人數約220人．【解析】【分析】（1）觀察圖1，用總人數減去引體向上個數不為3個的其他人數，從而求出引體向上3個的人數，進而補充完整圖1，利用平均數、眾數的定義求出b、a的值，根據題意計算出合格率c；

（2）可從平均數、眾數、中位數、合格率入手進行分析；

（3）根據樣本估計總體，用樣本中的合格率×八年級男生人數即可求解.19．某校九年級學生開展利用三角函數解決實際問題的綜合與實踐活動，活動之一是測量某護堤石壩與地平面的傾斜角．測量報告如下表（尚不完整）．課題測量某護堤石壩與地平面的傾斜角成員組長：×××??組員：×××，×××，×××測量工具竹竿，米尺測量示意圖說明：AC是一根筆直的竹竿．點D是竹竿上一點，線段DE的長度是點D到地面的距離．∠α是要測量的傾斜角測量數據…………（1）設AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，請根據表中的測量示意圖，從以上線段中選出你認為需要測量的數據，把表示數據的小寫字母填寫在“測量數據”一欄．（2）根據（1）中選擇的數據，寫出求∠α的一種三角函數值的推導過程．（3）假設sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根據（2）中的推導結果，利用計算器求出∠α的度數．你選擇的按鍵順序為▲．【答案】（1）解：需要的數據為：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；（2）解：過點A作AM⊥CB于點M，

∴∠AMB＝90°，∵DE⊥CB，

∴∠DEC=∠AMB=90°，∴DE∥AM，∴△CDE∽△CAM，∴，即，∴，∴；（3）①【解析】【解答】解：（3）解：∵，∴按鍵順序為2ndF，sin，0，?，8，6，＝，

故答案為：①．

【分析】（1）根據題意，選擇需要的數據即可；

（2）過點A作AM⊥CB于點M，根據垂直的定義得∠DEC=∠AMB=90°，由“同位角相等，兩直線平行”得DE∥AM，從而證出△CDE∽△CAM，根據相似三角形的性質得，代入求出，最后根據正弦的定義求出sinα的值即可；

（3）由（2）有，即可確定計算器的按鍵順序.20．（1）感悟?如圖1，在△ABE中，點C，D在邊BE上，AB＝AE，BC＝DE．求證：∠BAC＝∠EAD．（2）應用?：①如圖2，用直尺和圓規在直線BC上取點D，點E（點D在點E的左側），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不寫作法，保留作圖痕跡）；②如圖3，用直尺和圓規在直線AC上取一點D，在直線BC上取一點E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】（1）解：如圖1，過點A作AH⊥BE于點H，

∵AB＝AE，

∴AH平分∠BAE，BH=EH，

∴∠BAH＝∠EAH，

∵BC＝DE，

∴CH=DH，

∴AH垂直平分CD，

∴AC=AD，

∴AH平分∠CAD，

∴∠CAH＝∠DAH，

∴∠BAC＝∠DAE；（2）解：①如圖2，點D，E即為所求；

②如圖3，點D，E即為所求．

【解析】【分析】（1）過點A作AH⊥BE于點H，根據等腰三角形的“三線合一”得AH平分∠BAE，BH=EH，從而有∠BAH=∠EAH，CH=DH，進而求出AH垂直平分CD，根據垂直平分線的性質、等腰三角形的“三線合一”的AH平分∠CAD，利用角平分線的定義得∠CAH＝∠DAH，最后根據角的和差關系即可得證；

（2）①由（1）可知，以A為圓心，AB、AC分別為半徑作圓交BC于點E、D即可求解；

②延長AC，在延長線上取一點D，使DC=AC，接下來作∠CDE=∠BAC即可求解.21．定義?我們把數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值．數軸上表示數a，b的點A，B之間的距離AB＝a﹣b（a≥b）．特別的，當a≥0時，表示數a的點與原點的距離等于a﹣0．當a＜0時，表示數a的點與原點的距離等于0﹣a．應用?如圖，在數軸上，動點A從表示﹣3的點出發，以1個單位/秒的速度沿著數軸的正方向運動．同時，動點B從表示12的點出發，以2個單位/秒的速度沿著數軸的負方向運動．（1）經過多長時間，點A，B之間的距離等于3個單位長度？（2）求點A，B到原點距離之和的最小值．【答案】（1）解：設經過t秒，點A，B之間的距離等于3個單位長度，根據題意，得：|（-3+t）-（12-2t）|＝3，解得：t＝4或t＝6，答：經過4秒或6秒，點A，B之間的距離等于3個單位長度；（2）解：設經過x秒，點A，B到原點距離之和為y，根據題意，得：y＝|-3+x|+|12-2x|，當x≤3時，y＝|-3+x|+|12-2x|＝3-x+12-2x＝-3x+15，

∵-3<0，

∴y隨x的增大而減小，∴當x＝3時，y值最小，為6，當3＜x<6時，y＝|-3+x|+|12-2x|＝-3+x+12-2x＝-x+9，當x≥6時，y＝|-3+x|+|12-2x|＝-3+x-12+2x＝3x-15，

∵3>0，

∴y隨x的增大而增大，∴當x＝6時，y值最小，為3，綜上所述，點A，B到原點距離之和的最小值為3．【解析】【分析】（1）設經過t秒，點A，B之間的距離等于3個單位長度，根據題意列出關于t的方程，解方程求出t的值即可求解；

（2）設經過x秒，點A，B到原點距離之和為y，先根據題意表示出y，再分類討論，利用一次函數的增減性求y的最小值.22．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且BC＝CD．點E是線段AB延長線上一點，連接EC并延長交射線AD于點F．∠FEG的平分線EH交射線AC于點H，∠H＝45°．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的長．【答案】（1）證明：如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BC＝CD，

∴，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AF，

∴∠OCE＝∠F，∵EH平分∠FEG，

∴2∠FEH＝2∠GEH=∠FEG，∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEG＝∠F+∠BAF，∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，

∵∠BAF=2∠BAC，∴2∠H＝∠F，

∵∠H=45°，

∴∠F=90°，∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF，∵OC是半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：由（1）得∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠ACO=∠BCE，又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠BCE＝∠OAC，∵∠CEB＝∠CEA，∴△BCE∽△CAE，

∵BE=2，CE=4，∴，∴CE2＝BE?AE，即16＝2AE，解得AE＝8，∴AB＝8-2＝6，在Rt△ABC中，AB＝6，，

根據勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即5BC2=36，

解得，∴，∵∠F＝∠ACB＝90°，∠FAC＝∠BAC，∴△FAC∽△CAB，∴，∴．【解析】【分析】（1）連接OC，根據等腰三角形的性質、圓周角定理得得∠OAC＝∠DAC，從而有OC∥AF，進而得∠OCE＝∠F，根據角平分線的定義、三角形外角的性質得2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，從而有2∠H＝∠F=∠OCE=90°，最后根據切線的判定定理得證；

（2）根據直徑所對的圓周角是直角得∠ACB=90°，從而得∠ACO=∠BCE，根據等腰三角形的性質得∠ACO＝∠OAC，從而有∠BCE＝∠OAC，根據相似三角形的判定定理證得△BCE∽△CAE，由相似三角形的性質得，從而有CE2＝BE?AE，進而求出AE=8，然后求出AB=6，接下來利用勾股定理得5BC2=36，解方程求出BC的長，從而求AC的長，根據相似三角形的判定定理得△FAC∽△CAB，由相似三角形的性質得，最后代入計算出AF即可.23．如圖，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E為對角線AC上一動點，以DE為一邊作∠DEF＝60°，EF交射線BC于點F，連接BE，DF．點E從點C出發，沿CA方向以每秒2cm的速度運動至點A處停止．設△BEF的面積為ycm2，點E的運動時間為x秒．（1）求證：BE＝EF；（2）求y與x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）求x為何值時，線段DF的長度最短．【答案】（1）證明：設CD與EF相交于點M，∵四邊形ABCD為菱形，

∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD，

∴∠ABC=∠DCF，∵∠ABC＝60°，∴∠DCF＝60°，

∵∠DEF=60°，

∴∠DEF=∠DCF，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE，又∵∠DEF＝∠DCF，∴∠CDE＝∠CFE，∴∠CBE＝∠CFE，∴BE＝EF；（2）解：過點E作EN⊥BC于N，∴∠ENC＝90°，∵BE＝EF，∴BF＝2BN，∵四邊形ABCD為菱形，AB=10，

∴ВС＝АВ＝10，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ECN＝60°，ВС＝АВ＝AC=10，∵CE＝2x，

∴，，∴BN＝BC-CN＝10-x，∴BF＝2（10-x），

∴，∵0＜2x≤10，∴0＜x≤5，

∴；（3）解：∵BE＝DE，BE＝EF，∴DE＝EF，∵∠DEF＝60°，∴△DEF為等邊三角形，∴DE＝DF=EF，∴BE＝DF，∴線段DF的長度最短，即BE的長度最短，當BE⊥AC時，BE取最短，如圖，由（2）有△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝AC＝10，∵BE⊥AC，

∴，

∵CE=2x，

∴2x=5，

解得，∴當時，線段DF的長度最短．24．已知拋物線y＝x2+bx+c（b