山東省泰安市2024年中考數學試卷一、選擇題（本大題共12小題,在每小題給出的四個選項中,只有一個是正確的,請把正確選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分)1．的相反數是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：的相反數是故答案為：C.【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數，可求解.2．下列運算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、，不能合并，原選項錯誤，不合題意；

B、，原選項錯誤，不合題意；

C、，原選項錯誤，不合題意；

D、，原選項正確，符合題意.故答案為：D.【分析】本題考查整式運算，熟練掌握整式加減，單項式除以單項式，多項式乘以多項式，冪的乘方，積的乘方等知識，是解題關鍵，根據法則對選項逐一判斷，可得答案.3．下面圖形中，中心對稱圖形的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【解答】解：第1個、第2個、第3個是中心對稱圖形，共3個.故答案為：C.【分析】本題考查中心對稱圖形的概念，根據概念及特點可得答案.4．據泰山景區2024年1月4日消息，2023年泰山景區累計接待進山游客超860萬人次，同比增長，劇新了歷年游客是最高紀是.數據860萬用科學記數法表示為（）A． B． C． D．8.【答案】D【解析】【解答】解：860萬=8600000=8.60×106故答案為：D.【分析】把一個數表示成a×10n的形式時，a和n的確定方法如下：將原數的小數點移到從左到右第1個不是0的數字的后邊即可得到a的值n的確定方法有兩種：①n為比原數整數位數少1的正整數；②小數點向左移動了幾位，n就等于幾.5．如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE=21°，則∠ACD的度數是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵等邊三角形ABC

∴∠ABC=∠ACB=60°∵直線l∥m

∴∠EBC+∠DCB=180°

∴∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°

即21°+60°+60°+∠ACD=180°

∴∠ACD=39°

故答案為：B.【分析】本題考查平行線的性質，等邊三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題關鍵；由等邊三角形ABC得∠ABC=∠ACB=60°；根據直線l∥m得∠EBC+∠DCB=180°，可得∠ACD=39°.6．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，則∠A的度數為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB是的直徑

∴∠C=90°

∵

∴∠ABD=∠AOD=25°

∵BA平分

∴∠ABC=∠ABD=25°

∴∠A=90°-∠ABC=65°故答案為：A.【分析】由直徑所對的圓周角是直角得∠C=90°，根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得∠ABD=∠AOD=25°，由角平分線的定義得∠ABC=∠ABD=25°，最后根據直角三角形兩銳角互余可得∠A=65°.7．關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵關于的一元二次方程有實數根

∴=(-3)2-4×2k≥0

解得k≤故答案為：B.【分析】本題考查一元二次方程的根的情況，由根的判別式與0的關系決定；當＞0，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當=0，一元二次方程有兩個相等的實數根；當＜0，一元二次方程無實數根；當≥0，一元二次方程有實數根，據此可得答案.8．我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容大致如下：用九百九十九文錢，可買甜果苦果共一千個，若，試向買甜果苦果各幾個?若設買甜果個，買苦果個，可列出符合題意的二元一次方程組：根據已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應為（）A．甜果七個用四文錢，苦果九個用十一文錢B．甜果十一個用九文錢，苦果四個用七文錢C．甜果四個用七文錢，苦果十一個用九文錢D．甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢【答案】D【解析】【解答】解：設買甜果個，買苦果個，由知，x+y=1000是購買總數的數量關系，則另一方程為購買總價的數量關系，可知為甜果的單價，為苦果的單價，故答案為：D.【分析】本題考查二元一次方程組的應用，理清題目的數量關系，購買總數，購買總價，可得答案.9．如圖，中，，分別以頂點A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點和點，作直線MN分別與BC，AC交于點和點；以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點和點，再分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧、兩弧交于點，作射線AP.若射線AP恰好經過點，則下列四個結論：①；②AP垂直平分線段BF；③CE=2BE；④.其中，正確結論的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】【解答】解：由題意知：MN為線段AC的垂直平分線，AP為∠BAC的角平分線，

∴EA=EC，FA=FC=AC，∠EAC=∠EAB=∠BAC，

∴∠EAC=∠C=∠EAB

∵∠ABC=90°

∴∠BAC+∠C=90°

∴∠C=30°，故①正確；

∴AB=AC=AF，

∴AP垂直平分BF，故②正確；

∴BE=FE

∴CE=2BE，故③正確；

過F作FH⊥BC于H，如圖

則FH為的中位線

∴FH=AB

∴.

即，故④正確，

正確結論的個數有4個.

故答案為：D.

【分析】本題考查尺規作圖—線段垂直平分線，角平分線，30°直角三角形的性質，等腰三角形的性質，中位線的性質等知識，熟練掌握以上知識是解題關鍵；由題知：MN為線段AC的垂直平分線，AP為∠BAC的角平分線，證∠C=30°，AP垂直平分BF，CE=2BE，可知①②③正確，過F作FH⊥BC于H，可得FH=AB，，④正確，可得答案。10．兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓的圓心重合.若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，由題知：OA=OO'=AO'=2∴是等邊三角形

∴，

∴

故答案為：A.【分析】本題考查扇形面積的計算，等邊三角形的判定與性質及面積，熟練掌握扇形面積公式（，n為圓心角度數，r為半徑）及等邊三角形面積公式（，a為等邊三角形邊長）是解題關鍵；由題知是等邊三角形，OA=OO'=AO'=2，得，，得.11．如圖所示是二次函數的部分圖象，該函數圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點的縱坐標是2.則下列結論：①2a+b=0；②方程一定有一個根在-2和-1之間；③方程一定有兩個不相等的實數根；④.其中，正確結論的個數有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【解答】解：如圖可知：c=2，對稱軸為直線x=1，∴，則2a+b=0，故①正確；

由圖象知：二次函數與x軸有2個交點，則對應方程有2個根，一個根在2和3之間，由對稱性知另一根在-1和0之間，故②錯誤；

二次函數與直線y=有2個交點，則對應方程一定有兩個不相等的實數根，故③正確；

∵二次函數與x軸的另一交點在-1和0之間

∴x=-1，y=a-b+2＜0

∴b-a＞2，故④錯誤；

綜上，正確的有2個.

故答案為：B.【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數的開口方向，對稱軸，與x軸，y軸的交點，與一元二次方程關系等知識是解題關鍵；根據圖象得c=2，對稱軸為直線x=，與x軸有2個交點，則對應方程有2個根，一個根在2和3之間，由對稱性知另一根在-1和0之間，可知②④錯誤，①正確；方程的根可理解為兩個函數的交點問題，可知③正確，可得答案.12．如圖，菱形ABCD中，，點是AB邊上的點，，點是BC上的一點，是以點為直角頂點，為角的直角三角形，連結AG.當點在直線BC上運動時，線段AG的最小值是（）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】【解答】解：如圖所示，過點E作EP⊥BC于P，過點P作PK⊥AB于K，連接PG并延長，過點A作AH⊥GP于H∴∠EPF=90°

∴∠EPF+∠EGF=180°

∴點E、G、F、P四點共圓

∴∠EPG=∠EFG=30°

∵∠B=60°，BE=8

∴∠BEP=30°，BP=4，EP=

∴∠BEP=∠EPG，PK=

∴AB∥PH

∴AH=PK=

∴AG≥AH

∴線段AG的最小值是

故答案為：C.【分析】本題考查菱形的性質，30°直角三角形的性質，勾股定理，圓內接四邊形性質，平行線的判定與性質，垂線段最短等知識，熟練掌握以上知識，添加正確的輔助線是解題關鍵。過點E作EP⊥BC于P，過點P作PK⊥AB于K，連接PG并延長，過點A作AH⊥GP于H，證點E、G、F、P四點共圓

∴∠EPG=∠EFG=30°，證AB∥PH，得AH=PK=，由AG≥AH，線段AG的最小值是.二、填空題(本大題共6小題、滿分24分.只要求填寫最后結果,每小題填對得4分)13．單項式的次數是.【答案】3【解析】【解答】解：單項式的次數是1+2=3故答案為：3.【分析】本題考查單項式的次數，單項式中所有字母指數的和是單項式的次數，據此可得答案.14．某學校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動.小明和小穎去學校圖書室借閱書籍，小明準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機選擇一本，小穎準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是.【答案】【解析】【解答】解：小明和小穎隨機選擇一本書籍的所有情況共有9種，其中，小明和小穎恰好選中書名相同的書的情況有2種，則小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是.故答案為：.【分析】本題考查用列表法或樹狀圖法求概率，掌握列表法或樹狀圖法求概率的方法是關鍵.15．在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度.他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機.如圖，無人機在河上方距水面高60米的點處測得瞭望臺正對岸處的俯角為，測得瞭望臺頂端處的俯角為，已知瞭望臺高12米(圖中點A，B，C，P在同一平面內).那么大汶河此河段的寬AB為米.(參考數據：)【答案】74【解析】【解答】解：如圖，過點P作PH⊥AB于H，過點C作CK⊥PH于K

∴∠PHB=∠B=∠CKH-90°

∴四邊形CBHK為矩形

∴BC=KH，CK=BH

由題知：∠A=50°，∠PCK=63.6°，PH=60米，BC=12米

∴PK=PH-KH=48米，KH=12米

在中，tan∠A=tan50°=

∴AH=

在中，tan∠PCK=tan63.6°=

∴CK=

∴BH=

∴AB=AH+BH=+50+24=74米

則大汶河此河段的寬AB為74米.

故答案為：74.

【分析】本題考查解直角三角形的應用—仰角俯角，明確已知條件，添加正確的輔助線，找出線段之間的數量關系，準確應用銳角三角函數是解題關鍵；過點P作PH⊥AB于H，過點C作CK⊥PH于K得PH=60米，BC=KH=12米，CK=BH，PK=48米，解直角三角形tan∠A=得AH=；由tan∠PCK=得CK=，則可得AB.16．如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園.已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是平方米.【答案】450【解析】【解答】解：設圍成菜園的寬為x米，則長為（60-2x）米，根據題意得：

，

解得10≤x＜30

則菜園面積S=x（60-2x）=-2x2+60x=-2(x-15)2+450∴x=15時，菜園的最大面積是450平方米.

故答案為：450.【分析】本題考查二次函數的實際應用—面積問題，根據題意，設圍成菜園的寬為x米，則長為（60-2x）米，結合所給范圍及實際情況，可得10≤x＜30，由S=-2(x-15)2+450，可得x=15時，菜園的最大面積是450平方米.17．如圖，AB是的直徑，AH是的切線，點為上任意一點，點為的中點，連結BD交AC于點，延長BD與AH相交于點.若，則AE的長為.【答案】【解析】【解答】解：∵AH為的切線

∴∠FAB=90°

即∠FAD+∠DAB=90°

∵AB為的直徑

∴∠ADB=90°

∴∠DAB+∠B=90°

∴∠FAD=∠B

∵點D為的中點

∴=

∴∠DAC=∠B

∴∠FAD=∠B=∠DAC

∵DF=1，

∴，，

∴AD=2，DE=1

∴AE=故答案為：.【分析】本題考查圓的直徑，切線性質，銳角三角函數，勾股定理等知識，熟練掌握以上知識是解題關鍵。由AH為的切線得∠FAD+∠DAB=90°；由AB為的直徑得∠DAB+∠B=90°，由點D為的中點得∠DAC=∠B，得∠FAD=∠B=∠DAC，根據，得AD=2，DE=1，得AE=.18．如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規律擺成的“小屋子”.按照此規律繼續擺下去，第個“小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍.【答案】12【解析】【解答】解：第（1）個“小屋子”中圖形“○”個數是1個；“●”的個數是4個，4=2×1+2；

第（2）個“小屋子”中圖形“○”個數是3個，1+2=3；“●”的個數是6個，6=2×2+2；

第（3）個“小屋子”中圖形“○”個數是6個，1+2+3=6；“●”的個數是8個，8=2×3+2；

第（4）個“小屋子”中圖形“○”個數是10個，1+2+3+4=10；“●”的個數是10個，10=2×4+2；

第（5）個“小屋子”中圖形“○”個數是15個，1+2+3+4+5=15；“●”的個數是12個，12=2×5+2；

以此類推，第（n）個“小屋子”中圖形“○”個數是1+2+3+4+5+6+···（n-1）+n=個，；“●”的個數是2n+2；

當小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍時，則=3（2n+2）；

解得n=12故答案為：12.【分析】本題考查圖形規律及一元一次方程，找出圖形規律是解題關鍵；由每個圖形的“○”個數的變化得和“●”的個數的變化，則規律是第（n）個“小屋子”中圖形“○”個數是1+2+3+4+5+6+···（n-1）+n=個，“●”的個數是2n+2，根據題意，列出方程即可得n值.三、解答題(本大題共7小題,滿分78分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟)19．（1）計算：；（2）化簡：.【答案】（1）解：

=7（2）解：

【解析】【分析】本題考查實數的混合運算及分式的化簡，掌握特殊三角函數值，負整數指數冪，絕對值，二次根式的性質，因式分解的方法，完全平方公式，平方差等知識是解題關鍵。

（1）計算tan60°，=4，，，按實數運算法則計算即可；

（2）先通分，除法變乘法，因式分解，約分化簡。20．某超市打算購進一批蘋果.現從甲、乙兩個供應商供應的蘋果中各隨機抽取10個，測得它們的直徑(單位：)，并制作統計圖如下：根據以上信息，解答下列問題：（1）統計量供應商平均數中位數眾數甲8080b乙ma76則，，b=.（2）蘋果直徑的方差越小，蘋果的大小越整齊，據此判斷，供應商供應的蘋果大小更為整齊。(填“甲”或“乙”)（3）超市規定直徑(含)以上的蘋果為大果.超市打算購進甲供應商的蘋果2000個，其中，大果約有多少個?【答案】（1）80；79.5；83（2）甲（3）解：2000×=600（個）

答：大約有600個.【解析】【解答】解：（1）平均數m==80；

把乙組的數據按從小到大的順序排列，處于中間位置的兩個數是79和80，=79.5，則中位數a=79.5；

甲組數據中，83出現了3次，次數最多，則眾數b=83；

故答案為：80；79.5；83；

（2）解：甲的方差==5.8；

乙的方差==18.4

∵5.8＜18.4

∴甲供應商的蘋果大小更為整齊.

故答案為：甲；

【分析】本題考查統計圖，平均數，中位數，眾數，方差及意義，用樣本估計整體等知識，熟練掌握以上知識是解題關鍵.

（1）從乙圖，把數據按從小到大的順序排列，可得a；根據求平均數公式可得m；從甲圖可得眾數b；（2）計算方差，越小越整齊，可得答案；

（3）計算出樣本的大果百分數，可知總體的大果數量.21．直線與反比例函數的圖像相交于點，與軸交于點.（1）求直線的表達式；（2）若，請直接寫出滿足條件的的取值范圍；（3）過點作軸的平行線交反比例函數的圖象于點，求的面積.【答案】（1）解：∵點A（-2，m），點B（n，-1）在反比例函數的圖象上

∴-2m=-8，-n=-8

∴m=4，n=8

∴點A（-2，4），點B（8，-1）

∵點A（-2，4），點B（8，-1）在直線上

∴

解得：k=，b=3

∴直線（2）解：∵直線與反比例函數的圖象交于點A（-2，4），點B（8，-1）

∴x＜-2，；

0＜x＜8，

∴，滿足條件的的取值范圍是x＜-2或0＜x＜8（3）解：∵直線

∴x=0，y=3

∴點C（0，3）

∵過點作軸的平行線交反比例函數的圖象于點

∴D的縱坐標為3，橫坐標為

∴CD=

∴S△ACD=

∴的面積是.【解析】【分析】本題考查待定系數法求一次函數與反比例函數解析式，函數與不等式的關系，與坐標軸的交點坐標，求三角形面積等知識，熟練掌握待定系數法求函數解析式是關鍵；

（1）由反比例函數可得A（-2，4），點B（8，-1），代入直線，得k=，b=3；可得直線；

（2）由函數圖象可得x＜-2，；0＜x＜8，；則滿足條件的的取值范圍是x＜-2或0＜x＜8；

（3）由直線得點C（0，3），得CD=，得S△ACD=.22．隨著快遞行業的快速發展，全國各地的農產品有了更廣闊的銷售空間.某農產品加工企業有甲、乙兩個組共35名工人.甲組每天加工3000件農產品，乙組每天加工2700件農產品.已知乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的1.2倍.求甲、乙兩組各有多少名工人?【答案】解：設甲組有x名工人，乙組有（35-x）名工人.根據題意得：

解得：x=20

經檢驗，x=20是分式方程的解.

則35-x=15

答：甲組有20名工人，乙組有15名工人.【解析】【分析】本題考查分式方程的應用，由題意，理清數量關系是關鍵；設甲組有x名工人，乙組有（35-x）名工人，根據“乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的1.2倍”列出方程，可得答案，注意檢驗.23．綜合與實踐為了研究折紙過程蘊含的數學知識，某校九年級數學興趣小組的同學進行了數學折紙探究活動.（1）【探索發現】同學們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點的對應點恰好落在矩形的一邊CD上，折痕為EF，將紙片展平，連結BG.EF與BG相交于點H.同學們發現圖形中四條線段成比例，即，請你判斷同學們的發現是否正確，并說明理由.（2）【拓展延伸】同學們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，BD是平行四邊形紙片ABCD的一條對角線，同學們將該平行四邊形紙片翻折，使點的對應點，點的對應點都落在對角線BD上，折痕分別是BE和DF.將紙片展平，連結EG，FH，FG.同學們探究后發現，若，那么點恰好是對角線BD的一個“黃金分割點”，即.請你判斷同學們的發現是否正確，并說明理由.【答案】（1）解：同學們的發現正確.

如圖，過點E作EP⊥BC于P，則∠EPF=90°，∠PEF+∠EFP=90°

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠ABC=∠C=90°，四邊形ABPE為矩形

∴∠EPF=∠C，∠CBG+∠BGC=90°，AB=EP

∵把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點的對應點恰好落在矩形的一邊CD上，折痕為EF，

∴EF垂直平分BG

∴∠BHF=90°

∴∠CBG+∠EFP=90°

∴∠EFP=∠BGC

∴

∴

∴???????（2）解：正確

由折疊知：AB=BG，∠1=∠2

∵平行四邊形ABCD

∴CD=AB=BG

∵FG∥CD

∴，∠2=∠3

∴∠1=∠3

∴GF=GD

∴

∴.

則點恰好是對角線BD的一個“黃金分割點”，【解析】【分析】本題考查折疊的性質，矩形的性質，平行四邊形的性質，三角形相似的判定與性質等知識，熟練掌握以上知識是關鍵；

（1）過點E作EP⊥BC于P，∠EPF=90°，得∠EPF=∠C，AB=EP，證∠EFP=∠BGC，證，得，則；

（2）由折疊知AB=BG，∠1=∠2，由平行四邊形得CD=AB=BG；由FG∥CD得，證GF=GD；可得.24．如圖1，在等腰Rt中，，點D，E分別在AB，CB上，、連結AE，CD，取AE中點，連結BF.（1）求證：CD=2BF，CD⊥BF；（2）將△DBE繞點順時針旋轉到圖2的位置.①請直接寫出BF與CD的位置關系；②求證：.【答案】（1）證明：∵AB=CB，∠ABE=∠CBD=90°，EB=DB

∴，∠ABF+∠FBE=90°

∴AE=CD，∠BAE=∠BCD

∵F為AE的中點

∴AE=2BF，AF=BF

∴CD=2BF，

∠BAE=∠ABF

∴∠BCD+∠FBE=90°

∴CD⊥BF（2）解：①BF⊥CD

②如圖，延長BF到M，使BF=FM，連接AM，則BM=2BF

∵F為AE中點

∴EF=AF

∵∠EFB=∠AFM

∴

∴EB=AM，∠MAF=∠BEF

∴AM∥BE

∴∠MAB+∠ABE=180°

∵∠ABE+∠DBC=180°

∴∠MAB=∠DBC

∵BE=BD

∴AM=BD

∵AB=BC

∴

∴BM=CD

∴CD=2BF【解析】【解答】解：（2）①如圖，延長BF到M，使BF=FM，連接AM，則BM=2BF，過A作AP⊥CD于P，

∴∠APC=∠ABC=90°

∴∠BCD=∠BAP

∵F為AE中點

∴EF=AF

∵∠EFB=∠AFM

∴

∴EB=AM，∠MAF=∠BEF

∴AM∥BE

∴∠MAB+∠ABE=180°

∵∠ABE+∠DBC=180°

∴∠MAB=∠DBC

∵BE=BD

∴AM=BD

∵AB=BC

∴

∴∠ABM=∠BCD

∴∠ABM=∠BAP

∴BF∥AP

∴BF⊥CD；

【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，平行線的性質與判定，熟練掌握全等的判定與性質，正確添加輔助線是解題關鍵；

（1）用SAS證△ABE≌△CBD，得AE=CD，∠BAE=∠BCD；根據直角三角形斜邊中線得AE=2BF，AF=BF，得CD=2BF，∠BAE=∠ABF，∠BCD+∠FBE=90°，可證CD⊥BF；

（2）①延長BF到M，使BF=FM，連接AM，則BM=2BF，過A作AP⊥CD于P，證∠BCD=∠BAP，用SAS證△MAB≌△DBC，得∠ABM=∠BAP，得BF∥AP則BF⊥CD；

②延長BF到M，使BF=FM，連接AM，則